Tidskonstant - Time constant

I fysikk og ingeniørfag er tidskonstanten , vanligvis angitt med den greske bokstaven τ (tau), parameteren som kjennetegner responsen på en trinninngang i et førsteordens, lineært tidsinvariant (LTI) system. Tidskonstanten er den viktigste karakteristiske enheten til et førsteordens LTI-system.

I tidsdomenet er det vanlige valget for å utforske tidsresponsen gjennom trinnresponsen på et trinninngang , eller impulsresponsen til en Dirac delta -funksjonsinngang . I frekvensdomenet (for eksempel ved å se på Fourier-transformasjonen av trinnresponsen, eller ved å bruke en inngang som er en enkel sinusformet tidsfunksjon) bestemmer tidskonstanten også båndbredden til et førsteordens tidsinvariant system, det vil si , frekvensen der utgangssignaleffekten faller til halvparten av verdien den har ved lave frekvenser.

Tidskonstanten blir også benyttet for å karakterisere frekvensresponsen av forskjellige signalbehandlingssystemer - magnetbånd , radiosendere og mottagere , ta opp skjæring og avspillingsutstyr, og digitale filtre - som kan modelleres eller tilnærmes ved første-ordens LTI systemer. Andre eksempler inkluderer tidskonstant som brukes i kontrollsystemer for integrerte og avledede handlingskontrollere, som ofte er pneumatiske , i stedet for elektriske.

Tidskonstanter er et trekk ved klumpet systemanalyse (klumpet kapasitetsanalysemetode) for termiske systemer, brukt når gjenstander avkjøles eller varmes jevnt under påvirkning av konvektiv kjøling eller oppvarming.

Fysisk representerer tidskonstanten den forløpte tiden som kreves for at systemresponsen skal gå ned til null hvis systemet hadde fortsatt å falle i begynnelseshastigheten, på grunn av den progressive endringen i forfallshastigheten vil responsen faktisk ha redusert i verdi til 1 /  e ≈ 36,8% på denne tiden (si fra en trinnvis nedgang). I et økende system er tidskonstanten tiden for systemets trinnrespons for å nå 1 - 1 /  e ≈ 63,2% av den endelige (asymptotiske) verdien (si fra en trinnøkning). Ved radioaktivt forfall er tidskonstanten relatert til forfallskonstanten ( λ ), og den representerer både gjennomsnittlig levetid for et forfallende system (for eksempel et atom) før det forfaller, eller tiden det tar for alle unntatt 36,8% av atomene å forfalle. Av denne grunn er tidskonstanten lengre enn halveringstiden , som er tiden for bare 50% av atomene å forfalle.

Differensial ligning

Første ordens LTI -systemer er preget av differensialligningen

${\displaystyle \tau {\frac {dV}{dt}}+V=f(t)}$

hvor τ representerer den eksponensielle forfallskonstanten og V er en funksjon av tiden t

${\displaystyle V=V(t).}$

Den høyre side er det forandringsfunksjonen f ( t ) som beskriver en utvendig driv funksjon av tid, som kan betraktes som systemets inngang , til hvilken V ( t ) er den reaksjon , eller systemets utgang. Klassiske eksempler på f ( t ) er:

Den Unit trappefunksjon , ofte betegnet med u ( t ) :

${\displaystyle u(t)={\begin{cases}0,&t<0\\1,&t\geq 0\end{cases}}}$

den impuls funksjon , ofte betegnet med δ ( t ) , og også den sinusformede inngangsfunksjon:

${\displaystyle f(t)=A\sin(2\pi ft)}$

eller

${\displaystyle f(t)=Ae^{j\omega t},}$

hvor A er amplituden til tvingingsfunksjonen, f er frekvensen i Hertz, og ω = 2 π f er frekvensen i radianer per sekund.

Eksempel løsning

En eksempelløsning på differensialligningen med startverdi V ₀ og ingen tvangsfunksjon er

${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }}$

hvor

${\displaystyle V_{0}=V(t=0)}$

er den opprinnelige verdien av V . Dermed er responsen et eksponentielt forfall med tidskonstant τ .

Diskusjon

Anta

${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }.}$

Denne oppførselen omtales som en "forfallende" eksponentiell funksjon. Tiden τ (tau) omtales som "tidskonstanten" og kan brukes (som i dette tilfellet) for å indikere hvor raskt en eksponensiell funksjon forfaller.

Her:

t = tid (vanligvis t > 0 i kontrollteknikk)

V ₀ = startverdi (se "spesifikke tilfeller" nedenfor).

Spesifikke tilfeller

1. La ; da , og så${\displaystyle t=0}$${\displaystyle V=V_{0}e^{0}}$${\displaystyle V=V_{0}}$
2. La ; deretter${\displaystyle t=\tau }$${\displaystyle V=V_{0}e^{-1}\approx 0.37V_{0}}$
3. La , og så${\displaystyle V=f(t)=V_{0}e^{-t/\tau }}$${\textstyle \lim _{t\to \infty }f(t)=0}$
4. La ; deretter${\displaystyle t=5\tau }$${\displaystyle V=V_{0}e^{-5}\approx 0.0067V_{0}}$

Etter en periode på en tidskonstant når funksjonen e ⁻¹ = omtrent 37% av sin opprinnelige verdi. I tilfelle 4 når funksjonen fem ganger konstant en verdi på mindre enn 1% av originalen. I de fleste tilfeller anses denne 1% terskelen tilstrekkelig for å anta at funksjonen har forfallet til null - som tommelfingerregel er et stabilt system en kontroll som viser en så generell dempet oppførsel.

Forholdet mellom tid og båndbredde

Et eksempel på respons fra systemet til sinusbølgeforserende funksjon. Tidsakse i enheter av tidskonstanten τ . Responsen demper for å bli en enkel sinusbølge.

Frekvensrespons av system kontra frekvens i enheter av båndbredden f _3dB . Responsen normaliseres til en null frekvensverdi for enhet, og faller til 1/√2 ved båndbredden.

Anta at tvangsfunksjonen er valgt som sinusformet slik:

${\displaystyle \tau {\frac {dV}{dt}}+V=f(t)=Ae^{j\omega t}.}$

(Svar på en ekte cosinus- eller sinusbølgeinngang kan oppnås ved å ta den virkelige eller imaginære delen av det endelige resultatet i kraft av Eulers formel .) Den generelle løsningen på denne ligningen for ganger t ≥ 0 s , forutsatt at V ( t = 0 ) = V ₀ er:

${\displaystyle {\begin{aligned}V(t)&=V_{0}e^{-t/\tau }+{\frac {Ae^{-t/\tau }}{\tau }}\int _{0}^{t}\,dt'\ e^{t'/\tau }e^{j\omega t'}\\&=V_{0}e^{-t/\tau }+{\frac {1/\tau }{j\omega +1/\tau }}A\left(e^{j\omega t}-e^{-t/\tau }\right).\end{aligned}}}$

I lange tider blir de forfallne eksponensialene ubetydelige, og steady-state- løsningen eller langtidsløsningen er:

${\displaystyle V_{\infty }(t)={\frac {1/\tau }{j\omega +1/\tau }}Ae^{j\omega t}.}$

Størrelsen på dette svaret er:

${\displaystyle |V_{\infty }(t)|=A{\frac {1}{\tau \left(\omega ^{2}+(1/\tau )^{2}\right)^{1/2}}}=A{\frac {1}{\sqrt {1+(\omega \tau )^{2}}}}.}$

Etter konvensjon er båndbredden til dette systemet frekvensen der | V _∞ | ² faller til halv verdi, eller hvor ωτ = 1 . Dette er den vanlige båndbreddekonvensjonen , definert som frekvensområdet der effekten synker med mindre enn halvparten (høyst -3 dB). Bruker frekvensen i hertz, i stedet for radianer/s ( ω = 2 πf ):

${\displaystyle f_{\mathrm {3dB} }={\frac {1}{2\pi \tau }}.}$

Notasjonen f _3dB stammer fra uttrykket av kraft i desibel og observasjonen av at halvkraft tilsvarer et fall i verdien av | V _∞ | med en faktor 1/√2 eller med 3 desibel.

Dermed bestemmer tidskonstanten båndbredden til dette systemet.

Trinnrespons med vilkårlige innledende forhold

Trinnrespons av systemet for to forskjellige startverdier V ₀ , en over sluttverdien og en på null. Langtidsrespons er en konstant, V _∞ . Tidsakse i enheter av tidskonstanten .${\displaystyle \tau }$

Anta at tvangsfunksjonen er valgt som trinninngang, slik:

${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}V=f(t)=Au(t),}$

med u ( t ) Heaviside -trinnfunksjonen. Den generelle løsningen på denne ligningen for ganger t ≥ 0 s , forutsatt at V ( t = 0) = V ₀ er:

${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }+A\tau \left(1-e^{-t/\tau }\right).}$

(Det kan observeres at dette svaret er ω → 0 -grensen for svaret ovenfor på en sinusformet inngang.)

Langtidsløsningen er tidsuavhengig og uavhengig av innledende forhold:

${\displaystyle V_{\infty }=A\tau .}$

Tidskonstanten forblir den samme for det samme systemet uavhengig av startforholdene. Enkelt sagt, et system nærmer seg den endelige, steady-state-situasjonen med en konstant hastighet, uavhengig av hvor nær den verdien er ved et vilkårlig utgangspunkt.

Vurder for eksempel en elektrisk motor hvis oppstart er godt modellert av et første-ordens LTI-system. Anta at når motoren starter fra hvile1/8på et sekund for å nå 63% av sin nominelle hastighet på 100 o / min, eller 63 o / min - en mangel på 37 o / min. Da vil det bli funnet det etter det neste1/8et sekund har motoren økt 23 RPM ekstra, noe som tilsvarer 63% av den 37 RPM forskjellen. Dette bringer den til 86 RPM - fortsatt 14 RPM lav. Etter en tredje1/8 på et sekund, vil motoren ha oppnådd ytterligere 9 o / min (63% av den 14 o / min differansen), og setter den til 95 o / min.

Faktisk gitt enhver starthastighet s ≤ 100 RPM, 1/8et sekund senere vil denne motoren ha oppnådd ytterligere 0,63 × (100 - s ) o / min.

Eksempler

Tidskonstanter i elektriske kretser

Kondensatorspenning trinnrespons.

Induktorspenning trinnrespons.

I en RL -krets som består av en enkelt motstand og induktor, er tidskonstanten (i sekunder ) ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau ={\frac {L}{R}}}$

hvor R er motstanden (i ohm ) og L er induktansen (i Henrys ).

På samme måte, i en RC -krets sammensatt av en enkelt motstand og kondensator, er tidskonstanten (i sekunder): ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau =RC}$

hvor R er motstanden (i ohm ) og C er kapasitansen (i farads ).

Elektriske kretser er ofte mer komplekse enn disse eksemplene, og kan vise flere tidskonstanter (se trinnrespons og polspalting for noen eksempler.) I tilfelle der det er tilbakemelding , kan et system vise ustabile, økende svingninger. I tillegg er fysiske elektriske kretser sjelden virkelig lineære systemer, bortsett fra eksitasjoner med svært lav amplitude; tilnærming til linearitet er imidlertid mye brukt.

I digitale elektroniske kretser er et annet mål, FO4 ofte brukt. Dette kan konverteres til tidskonstante enheter via ligningen . ${\displaystyle 5\tau ={\text{FO4}}}$

Termisk tidskonstant

Tidskonstanter er et trekk ved den klumpete systemanalysen (klumpet kapasitetsanalysemetode) for termiske systemer, brukt når gjenstander avkjøles eller varmes jevnt under påvirkning av konvektiv kjøling eller oppvarming . I dette tilfellet er varmeoverføringen fra kroppen til omgivelsene på et gitt tidspunkt proporsjonal med temperaturforskjellen mellom kroppen og omgivelsene:

${\displaystyle F=hA_{s}\left(T(t)-T_{a}\right),}$

hvor h er varmeovergangstallet , og A _s er overflatearealet, T er temperaturen funksjon, det vil si, T ( t ) er kroppstemperaturen ved tidspunkt t , og t _en er konstant omgivelsestemperatur. Det positive tegnet indikerer konvensjonen om at F er positiv når varme forlater kroppen fordi temperaturen er høyere enn omgivelsestemperaturen ( F er en utoverstrøm). Hvis varmen går tapt til omgivelsene, fører denne varmeoverføringen til et temperaturfall i kroppen gitt av:

${\displaystyle \rho c_{p}V{\frac {dT}{dt}}=-F,}$

hvor ρ = tetthet, c _p = spesifikk varme og V er kroppsvolumet. Det negative tegnet indikerer at temperaturen synker når varmeoverføringen er utad fra kroppen (det vil si når F > 0). Likestiller disse to uttrykkene for varmeoverføringen,

${\displaystyle \rho c_{p}V{\frac {dT}{dt}}=-hA_{s}\left(T(t)-T_{a}\right).}$

Tydeligvis er dette et første-ordens LTI-system som kan støpes i formen:

${\displaystyle {\frac {dT}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}T={\frac {1}{\tau }}T_{a},}$

med

${\displaystyle \tau ={\frac {\rho c_{p}V}{hA_{s}}}.}$

Med andre ord fører større masser ρV med høyere varmekapasiteter c _p til langsommere temperaturendringer (lengre tidskonstant τ ), mens større overflateområder A _s med høyere varmeoverføring h fører til raskere temperaturendring (kortere tidskonstant τ ).

Sammenligning med den innledende differensiallikningen antyder mulig generalisering til tidsvarierende omgivelsestemperaturer T _a . Imidlertid beholder vi det enkle konstante omgivelseseksemplet ved å erstatte variabelen Δ T ≡ ( T - T _a ):

${\displaystyle {\frac {d\Delta T}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}\Delta T=0.}$

Systemer som kjøling tilfredsstiller den ovennevnte eksponensielle ligningen sies å tilfredsstille Newtons lov om kjøling . Løsningen på denne ligningen antyder at i slike systemer er forskjellen mellom temperaturen i systemet og dets omgivelser Δ T som en funksjon av tiden t , gitt av:

${\displaystyle \Delta T(t)=\Delta T_{0}e^{-t/\tau },}$

hvor Δ T ₀ er den initielle temperaturforskjellen, ved tiden t = 0. Med ord, går ut i kropps den samme temperatur som den omgivende ved en eksponentielt langsom hastighet bestemt av tidskonstanten.

Tidskonstanter i nevrovitenskap

I en nervøs celle slik som en muskel eller nevron , tidskonstanten for den membranpotensialet er ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau =r_{m}c_{m}}$

hvor r _m er motstanden over membranen og c _m er membranens kapasitans .

Motstanden over membranen er en funksjon av antall åpne ionekanaler, og kapasitansen er en funksjon av egenskapene til lipiddobbeltlaget .

Tidskonstanten brukes til å beskrive stigningen og fallet av membranspenning, der økningen er beskrevet av

${\displaystyle V(t)=V_{\textrm {max}}\left(1-e^{-t/\tau }\right)}$

og fallet er beskrevet av

${\displaystyle V(t)=V_{\textrm {max}}e^{-t/\tau }}$

der spenningen er i millivolt, tiden er i sekunder og er i sekunder. ${\displaystyle \tau }$

V _max er definert som maksimal spenningsendring fra hvilepotensialet , hvor

${\displaystyle V_{\textrm {max}}=r_{m}I}$

hvor r _m er motstanden over membranen og I er membranstrømmen.

Innstilling for t = for stigningen setter V ( t ) lik 0,63 V _maks . Dette betyr at tidskonstanten er tiden som har gått etter at 63% av V _max er nådd ${\displaystyle \tau }$

Innstilling for t = for fallet setter V ( t ) lik 0,37 V _maks , noe som betyr at tidskonstanten er tiden som har gått etter at den har falt til 37% av V _maks . ${\displaystyle \tau }$

Jo større tidskonstanten er, jo langsommere stiger eller faller potensialet til et nevron. En lang tidskonstant kan resultere i tidsmessig summering , eller algebraisk summering av gjentatte potensialer. En kort tidskonstant frembringer heller en tilfeldighetsdetektor gjennom romlig summering .

Eksponensielt forfall

Ved eksponentiell forfall , for eksempel for en radioaktiv isotop, kan tidskonstanten tolkes som gjennomsnittlig levetid . Den halveringstid T _HL er relatert til den eksponentielle tidskonstanten ved ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle T_{HL}=\tau \ln 2.}$

Tidskonstantens gjensidige kalles forfallskonstanten , og er betegnet .${\displaystyle \lambda =1/\tau }$

Meteorologiske sensorer

En tidskonstant er mengden tid det tar for en meteorologisk sensor å reagere på en rask endring i et mål, og til det måler verdier innenfor nøyaktighetstoleransen som vanligvis forventes av sensoren.

Dette gjelder oftest målinger av temperatur, duggpunktstemperatur, fuktighet og lufttrykk. Radiosondes er spesielt påvirket på grunn av deres raske høydeøkning.

Se også

• RC -tidskonstant
• Cutoff frekvens
• Eksponensielt forfall
• Lead-lag kompensator
• Lengde konstant
• Stigetid
• Fall tid
• Frekvensrespons
• Impulsrespons
• Trinnrespons
• Overgangstid
• Oppgjørstid

Merknader

Referanser

Eksterne linker

• Konvertering av tidskonstant τ til cutoff -frekvens fc og omvendt
• Alt om kretser - Spennings- og strømberegninger
• Bygningens energi- og termiske tidskonstant