Boussinesq tilnærming (vannbølger) - Boussinesq approximation (water waves)

Simulering av periodiske bølger over en undersjøisk stim med en Boussinesq-modell. Bølgene forplanter seg over en elliptisk formet undersjøisk stim på en plan strand. Dette eksemplet kombinerer flere effekter av bølger og grunt vann , inkludert refraksjon , diffraksjon , sporing og svak ikke-linearitet .

I væskedynamikk er Boussinesq-tilnærmingen for vannbølger en tilnærming som gjelder for svakt ikke-lineære og ganske lange bølger . Tilnærmingen er oppkalt etter Joseph Boussinesq , som først hentet dem i respons til observasjon av John Scott Russell av bølgen av oversettelse (også kjent som enslig bølge eller soliton ). 1872-papiret fra Boussinesq introduserer ligningene som nå kalles Boussinesq-ligningene .

Boussinesq-tilnærmingen for vannbølger tar hensyn til den vertikale strukturen til den horisontale og vertikale strømningshastigheten . Dette resulterer i ikke-lineære partielle differensiallikninger , kalt Boussinesq-ligninger , som inneholder frekvensdispersjon (som motsatt av grunnvannslikningene , som ikke er frekvensdispergerende). I kystteknikk , blir Boussinesq-type ligninger ofte benyttes i datamaskinmodeller for simulering av vannbølgene i grunne sjøer og havner .

Mens Boussinesq-tilnærmingen gjelder ganske lange bølger - det vil si når bølgelengden er stor sammenlignet med vanndypen - er Stokes-utvidelsen mer hensiktsmessig for korte bølger (når bølgelengden er av samme rekkefølge som vanndybden, eller kortere ).

Boussinesq tilnærming

Periodiske bølger i Boussinesq-tilnærmingen, vist i vertikalt tverrsnitt i bølgeutbredelsesretningen . Legg merke til de flate trauene og skarpe kammene på grunn av bølgelineariteten. Dette tilfellet (tegnet på skala ) viser en bølge med bølgelengden lik 39,1  m , bølgehøyden er 1,8 m ( dvs. forskjellen mellom topp og trauhøyde), og den gjennomsnittlige vanndybden er 5 m, mens gravitasjonsakselerasjonen er 9,81 m / s ² .

Den essensielle ideen i Boussinesq-tilnærmingen er eliminering av den vertikale koordinaten fra strømningslikningene, mens noen av påvirkningene fra den vertikale strukturen av strømmen under vannbølger beholdes . Dette er nyttig fordi bølgene forplanter seg i horisontalplanet og har en annen (ikke bølgelignende) oppførsel i vertikal retning. Ofte, som i Boussinesqs tilfelle, er interessen primært for bølgeforplantning.

Denne eliminasjonen av den vertikale koordinaten ble først gjort av Joseph Boussinesq i 1871, for å konstruere en omtrentlig løsning for den ensomme bølgen (eller bølgen av oversettelse ). I 1872 avledet Boussinesq ligningene som i dag er kjent som Boussinesq-ligningene.

Trinnene i Boussinesq-tilnærmingen er:

• en Taylor-utvidelse er laget av den horisontale og vertikale strømningshastigheten (eller hastighetspotensialet ) rundt en viss høyde ,
• denne Taylor-utvidelsen er avkortet til et endelig antall termer,
• bevaring av masse (se kontinuitetsligningen ) for en inkompressibel strømning og null- curl betingelse for en virvelfri strømning blir brukt, for å erstatte vertikale partielle deriverte av mengder i Taylor-utviklingen med horisontale partielle deriverte .

Deretter påføres Boussinesq-tilnærmingen på de gjenværende strømningslikningene for å eliminere avhengigheten av den vertikale koordinaten. Som et resultat er de resulterende partielle differensiallikningene i form av funksjonene til de horisontale koordinatene (og tiden ).

Tenk som eksempel på potensiell strømning over et vannrett seng i ( x, z ) -planet, med x den horisontale og z den vertikale koordinaten . Sengen ligger på z = - h , hvor h er gjennomsnittlig vanndyp. En Taylor-utvidelse er laget av hastighetspotensialet φ (x, z, t) rundt sengenivået z = - h :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ varphi \, = \, & \ varphi _ {b} \, + \, (z + h) \, \ left [{\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial z}} \ høyre] _ {z = -h} \, + \, {\ frac {1} {2}} \, (z + h) ^ {2} \, \ venstre [{\ frac {\ delvis ^ {2} \ varphi} {\ partial z ^ {2}}} \ right] _ {z = -h} \, \\ & + \, {\ frac {1} {6}} \, (z + h) ^ {3} \, \ left [{\ frac {\ partial ^ {3} \ varphi} {\ partial z ^ {3}}} \ right] _ {z = -h} \, + \, { \ frac {1} {24}} \, (z + h) ^ {4} \, \ venstre [{\ frac {\ partial ^ {4} \ varphi} {\ partial z ^ {4}}} \ høyre ] _ {z = -h} \, + \, \ cdots, \ end {justert}}}$

hvor φ _b (x, t) er hastighetspotensialet ved sengen. Påkaller Laplaces ligning for φ , som gjelder for ukomprimerbar flyt , gir:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ varphi \, = \, & \ left \ {\, \ varphi _ {b} \, - \, {\ frac {1} {2}} \, (z + h ) ^ {2} \, {\ frac {\ partial ^ {2} \ varphi _ {b}} {\ partial x ^ {2}}} \, + \, {\ frac {1} {24}} \ , (z + h) ^ {4} \, {\ frac {\ partial ^ {4} \ varphi _ {b}} {\ partial x ^ {4}}} \, + \, \ cdots \, \ right \} \, \\ & + \, \ venstre \ {\, (z + h) \, \ venstre [{\ frac {\ delvis \ varphi} {\ delvis z}} \ høyre] _ {z = -h } \, - \, {\ frac {1} {6}} \, (z + h) ^ {3} \, {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} \ left [{\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial z}} \ right] _ {z = -h} \, + \, \ cdots \, \ right \} \\ = \, & \ left \ {\, ​​\ varphi _ {b} \, - \, {\ frac {1} {2}} \, (z + h) ^ {2} \, {\ frac {\ partial ^ {2} \ varphi _ {b}} {\ partial x ^ {2}}} \, + \, {\ frac {1} {24}} \, (z + h) ^ {4} \, {\ frac {\ partial ^ { 4} \ varphi _ {b}} {\ delvis x ^ {4}}} \, + \, \ cdots \, \ høyre \}, \ slutt {justert}}}$

siden den vertikale hastigheten ∂ φ / ∂ z er null ved den - ugjennomtrengelige - horisontale sengen z = - h . Denne serien kan senere avkortes til et endelig antall termer.

Originale Boussinesq ligninger

Derivasjon

For vannbølger på en inkompressibel væske og virvelfri strømning i ( x , z ) plan, er grensebetingelsene på den frie overflaten høyde z = η ( x , t ) er:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} \, & + \, u \, {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} \, - \, w \, = \, 0 \\ {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} \, & + \, {\ frac {1} {2}} \, \ left (u ^ {2} + w ^ {2} \ høyre) \, + \, g \, \ eta \, = \, 0, \ end {justert}}}$

hvor:

u er den horisontale strømningshastighetskomponenten : u = ∂ φ / ∂ x ,

w er den vertikale strømningshastighetskomponenten : w = ∂ φ / ∂ z ,

g er akselerasjonen av tyngdekraften .

Nå brukes Boussinesq-tilnærmingen for hastighetspotensialet φ , som gitt ovenfor, under disse grenseforholdene . Videre, i de resulterende ligninger bare den lineære og kvadratiske betingelser med hensyn på r | og u _b fastholdes (med u _b = ∂ cp _b / ∂ x den horisontale hastighets ved sjikt z = - h ). Den kubiske og høyere ordens ledd er antatt å være neglisjerbar. Deretter oppnås følgende delvise differensialligninger :

sett A - Boussinesq (1872), ligning (25)

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} \, & + \, {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \, \ left [\ left (h + \ eta \ right) \, u_ {b} \ right] \, = \, {\ frac {1} {6}} \, h ^ {3} \, {\ frac {\ partial ^ {3} u_ {b}} {\ partial x ^ {3}}}, \\ {\ frac {\ partial u_ {b}} {\ partial t}} \, & + \, u_ {b} \, {\ frac {\ partial u_ {b}} {\ partial x}} \, + \, g \, {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} \, = \, {\ frac {1} {2 }} \, h ^ {2} \, {\ frac {\ partial ^ {3} u_ {b}} {\ partial t \, \ partial x ^ {2}}}. \ end {justert}}}$

Dette ligningssettet er avledet for en flat, horisontal seng, dvs. gjennomsnittlig dybde h er konstant uavhengig av posisjon x . Når høyre side av ovenstående ligninger er satt til null, reduseres de til grunnvannsligningene .

Under noen flere tilnærmelser, men ved den samme rekkefølge av nøyaktighet, ovenstående sett A kan reduseres til en enkelt differensialligning for den frie overflate høyde η :

sett B - Boussinesq (1872), ligning (26)

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ eta} {\ partial t ^ {2}}} \, - \, gh \, {\ frac {\ partial ^ {2} \ eta} {\ partial x ^ {2}}} \, - \, gh \, {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} \ left ({\ frac {3} {2}} \ , {\ frac {\ eta ^ {2}} {h}} \, + \, {\ frac {1} {3}} \, h ^ {2} \, {\ frac {\ partial ^ {2} \ eta} {\ partial x ^ {2}}} \ høyre) \, = \, 0.}$

Fra begrepene mellom parenteser kan viktigheten av ikke-linearitet av ligningen uttrykkes i form av Ursell-nummeret . I dimensjonsløse mengder , ved bruk av vanndybden h og gravitasjonsakselerasjonen g for ikke-dimensjonalisering, lyder denne ligningen, etter normalisering :

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial \ tau ^ {2}}} \, - \, {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial \ xi ^ {2}}} \, - \, {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ xi ^ {2}}} \ left (\, 3 \, \ psi ^ {2} \, + \, {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial \ xi ^ {2}}} \, \ right) \, = \, 0,}$

med:

${\ displaystyle \ psi \, = \, {\ frac {1} {2}} \, {\ frac {\ eta} {h}}}$	: den dimensjonsløse overflatehøyde,
${\ displaystyle \ tau \, = \, {\ sqrt {3}} \, t \, {\ sqrt {\ frac {g} {h}}}}$	: den dimensjonsløse tiden, og
${\ displaystyle \ xi \, = \, {\ sqrt {3}} \, {\ frac {x} {h}}}$	: den dimensjonsløse horisontale posisjonen.

Lineær fasehastighet i kvadrat c ² / ( gh ) som en funksjon av det relative bølgetallet kh .
A = Boussinesq (1872), ligning (25),
B = Boussinesq (1872), ligning (26),
C = full lineær bølgeteori, se spredning (vannbølger)

Lineær frekvensspredning

Vannbølger med forskjellige bølgelengder beveger seg med forskjellige fasehastigheter , et fenomen kjent som frekvensdispersjon . For tilfellet med uendelig minimal bølgeamplitude er terminologien lineær frekvensdispersjon . Frekvensdispersjonsegenskapene til en ligning av Boussinesq-typen kan brukes til å bestemme området for bølgelengder, som det er en gyldig tilnærming for .

De lineære frekvensdispersjonsegenskapene for ovenstående sett A av ligninger er:

${\ displaystyle c ^ {2} \, = \; gh \, {\ frac {1 \, + \, {\ frac {1} {6}} \, k ^ {2} h ^ {2}} { 1 \, + \, {\ frac {1} {2}} \, k ^ {2} h ^ {2}}},}$

med:

• c den fasehastighet ,
• k i bølgetall ( k = 2π / λ , med λ den bølgelengden ).

Den relative feilen i fasehastigheten c for mengde A , sammenlignet med lineær teori for vannbølger , er mindre enn 4% for et relativt bølgetall kh <½ π . Så, i tekniske applikasjoner, er sett A gyldig for bølgelengder λ større enn 4 ganger vanndypet h .

De lineære frekvensdispersjonsegenskapene til ligning B er:

${\ displaystyle c ^ {2} \, = \, gh \, \ left (1 \, - \, {\ frac {1} {3}} \, k ^ {2} h ^ {2} \ right) .}$

Den relative feilen i fasehastigheten for ligning B er mindre enn 4% for kh <2π / 7 , tilsvarende bølgelengder λ lenger enn 7 ganger vanndypet h , kalt ganske lange bølger .

For korte bølger med k ² h ² > 3 blir ligning B fysisk meningsløs, fordi det ikke lenger er virkelig verdsatte løsninger av fasehastigheten . Det opprinnelige settet med to partielle differensialligninger (Boussinesq, 1872, ligning 25, se sett A ovenfor) har ikke denne mangelen.

De grunne vann ligningene har en relativ feil i fasehastighet som er mindre enn 4% for bølgelengder X, i overkant av 13 ganger vanndybden h .

Ligninger og utvidelser av Boussinesq-typen

Det er et overveldende antall matematiske modeller som blir referert til som Boussinesq-ligninger. Dette kan lett føre til forvirring, ettersom ofte blir de løst referert til som de Boussinesq ligninger, mens i virkeligheten en variant av dette, i betraktning. Så det er mer hensiktsmessig å kalle dem ligninger av typen Boussinesq . Strengt tatt er Boussinesq-ligningene det ovennevnte settet B , siden det brukes i analysen i resten av hans 1872-papir.

Noen retninger, der Boussinesq-ligningene er utvidet, er:

• varierende badymetri ,
• forbedret frekvensspredning ,
• forbedret ikke-lineær oppførsel,
• gjør en Taylor-utvidelse rundt forskjellige vertikale høyder ,
• dele væskedomenet i lag, og anvende Boussinesq-tilnærmelsen i hvert lag separat,
• inkludering av bølgebrytelse ,
• inkludering av overflatespenning ,
• utvidelse til interne bølger på et grensesnitt mellom fluiddomener med forskjellig massetetthet ,
• avledning fra et variasjonsprinsipp .

Ytterligere tilnærminger for enveis bølgeforplantning

Mens Boussinesq-ligningene tillater bølger som beveger seg samtidig i motsatte retninger, er det ofte fordelaktig å bare vurdere bølger som beveger seg i en retning. Under små tilleggsforutsetninger reduseres Boussinesq-ligningene til:

• den Korteweg-de Vries ligning for bølgeforplantning i en horisontal dimensjon ,
• den Kadomtsev-Petviashvili ligning for (i nærheten av enretnings) bølgeutbredelse i to horisontale dimensjoner ,
• den ikke-lineære Schrödinger-ligningen (NLS-ligning) for den kompleksverdede amplituden til smalbåndsbølger (sakte modulerte bølger).

Foruten ensomme bølgeløsninger , har Korteweg – de Vries-ligningen også periodiske og eksakte løsninger, kalt knudebølger . Dette er omtrentlige løsninger på Boussinesq-ligningen.

Numeriske modeller

En simulering med en Boussinesq-bølgemodell av nærbølger som beveger seg mot en havneinngang. Simuleringen er med BOUSS-2D-modulen på SMS .

Raskere enn sanntidsimulering med Boussinesq-modulen i Celeris, som viser bølgebryting og brytning nær stranden. Modellen gir et interaktivt miljø.

For simulering av bølgebevegelser nær kyster og havner, finnes det numeriske modeller - både kommersielle og akademiske - som benytter Boussinesq-ligninger. Noen kommersielle eksempler er Boussinesq-bølgemodulene i MIKE 21 og SMS . Noen av de gratis Boussinesq-modellene er Celeris, COULWAVE og FUNWAVE. De fleste numeriske modeller benytter teknikker for begrenset forskjell , endelig volum eller begrenset element for diskretisering av modellligningene. Vitenskapelige gjennomganger og sammenligninger av flere ligninger av Boussinesq-typen, deres numeriske tilnærming og ytelse er f.eks. Kirby (2003) , Dingemans (1997 , del 2, kapittel 5) og Hamm, Madsen & Peregrine (1993) .

Merknader

Referanser

• Boussinesq, J. (1871). "Théorie de l'intumescence liquide, applelée onde solitaire ou de translation, se propageant dans un canal rectangulaire" . Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . 72 : 755–759.
• Boussinesq, J. (1872). "Théorie des ondes et des remous qui se propagent le long d'un canal rectangulaire horizontal, en communiquant au liquide contenu dans ce canal des vitesses sensiblement pareilles de la surface au fond" . Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . Deuxième Série. 17 : 55–108.
• Dingemans, MW (1997). Bølgeforplantning over ujevne bunner . Avansert serie om havteknikk 13 . World Scientific, Singapore. ISBN 978-981-02-0427-3. Arkivert fra originalen 08.02.2012 . Hentet 21/01/2008 . Se del 2, kapittel 5 .
• Hamm, L .; Madsen, PA; Peregrine, DH (1993). "Bølgetransformasjon i nærsøysonen: En gjennomgang". Kystteknikk . 21 (1–3): 5–39. doi : 10.1016 / 0378-3839 (93) 90044-9 .
• Johnson, RS (1997). En moderne introduksjon til den matematiske teorien om vannbølger . Cambridge Texts in Applied Mathematics. 19 . Cambridge University Press. ISBN 0-521-59832-X.
• Kirby, JT (2003). "Boussinesq-modeller og applikasjoner til nærbølgeforplantning, surfsoneprosesser og bølgeinduserte strømmer". I Lakhan, VC (red.). Fremskritt innen kystmodellering . Elsevier Oceanography Series. 67 . Elsevier. s. 1–41. ISBN 0-444-51149-0.
• Peregrine, DH (1967). "Lange bølger på en strand". Journal of Fluid Mechanics . 27 (4): 815–827. Bibcode : 1967JFM .... 27..815P . doi : 10.1017 / S0022112067002605 .
• Peregrine, DH (1972). "Ligninger for vannbølger og tilnærmingene bak dem". I Meyer, RE (red.). Bølger på strender og resulterende sedimenttransport . Akademisk presse. s. 95–122. ISBN 0-12-493250-9.