Sfærisk geometri - Spherical geometry

Summen av vinklene til en sfærisk trekant er ikke lik 180 °. En kule er en buet overflate, men lokalt er lovene til den flate (plane) euklidiske geometrien gode tilnærminger. I en liten trekant på overflaten av jorden er summen av vinklene bare litt over 180 grader.

En kule med en sfærisk trekant på.

Sfærisk geometri er geometrien til den todimensjonale overflaten til en kule . I denne sammenhengen refererer ordet "sfære" bare til den 2-dimensjonale overflaten, og andre begreper som "ball" eller "solid sfære" brukes til overflaten sammen med det tredimensjonale interiøret.

Sfærisk geometri har lenge studert for sine praktiske anvendelser til navigasjon og astronomi , og har mange likheter og forhold til, og viktige forskjeller fra, euklidisk plangeometri . Sfæren har for det meste blitt studert som en del av den tredimensjonale euklidiske geometrien (ofte kalt solid geometri ), overflaten tenkt som plassert inne i et omgivende 3-d rom. Det kan også analyseres med "indre" metoder som bare involverer selve overflaten, og ikke refererer til, eller til og med antar eksistensen av, noe omgivende rom utenfor eller inne i sfæren.

Fordi en sfære og et plan skiller seg ut geometrisk, har (indre) sfærisk geometri noen trekk ved en ikke-euklidisk geometri og blir noen ganger beskrevet som en. Sfærisk geometri ble imidlertid ikke ansett som en fullverdig ikke-euklidisk geometri som var tilstrekkelig til å løse det eldgamle problemet med om det parallelle postulatet er en logisk konsekvens av resten av Euklids aksiomer av plangeometri. Løsningen ble funnet i stedet i hyperbolsk geometri .

Oversikt

I plan (euklidisk) geometri er de grunnleggende begrepene punkter og (rette) linjer . I sfærisk geometri er de grunnleggende begrepene punkt og stor sirkel . Imidlertid krysser to store sirkler på et plan i to antipodale punkter, i motsetning til koplanære linjer i elliptisk geometri .

I det ytre tredimensjonale bildet er en stor sirkel skjæringspunktet mellom sfæren og et hvilket som helst plan gjennom midten. I den indre tilnærmingen er en stor sirkel en geodesikk ; en korteste vei mellom to av punktene forutsatt at de er nær nok. Eller i den (også indre) aksiomatiske tilnærmingen som er analog med Euklids aksiomer av plangeometri, er "stor sirkel" rett og slett et udefinert begrep, sammen med postulater som angir de grunnleggende forholdene mellom store sirkler og de også udefinerte "poengene". Dette er det samme som Euclids metode for å behandle punkt og linje som udefinerte primitive forestillinger og aksiomatisere deres forhold.

Store sirkler spiller på mange måter den samme logiske rollen i sfærisk geometri som linjer i euklidisk geometri, f.eks. Som sidene til (sfæriske) trekanter. Dette er mer enn en analogi; sfærisk og plan geometri og andre kan alle forenes under paraplyen av geometri bygget fra avstandsmåling , der "linjer" er definert til å bety korteste baner (geodesikk). Mange utsagn om geometrien til punkter og slike "linjer" er like sanne i alle de geometriene forutsatt at linjer er definert på den måten, og teorien kan lett utvides til høyere dimensjoner. Likevel, fordi dens anvendelser og pedagogikk er knyttet til solid geometri, og fordi generaliseringen mister noen viktige egenskaper av linjer i planet, bruker sfærisk geometri vanligvis ikke begrepet "linje" i det hele tatt for å referere til noe på selve sfæren. Hvis den er utviklet som en del av solid geometri, brukes punkter, rette linjer og plan (i euklidisk forstand) i det omkringliggende rommet.

I sfærisk geometri defineres vinkler mellom store sirkler, noe som resulterer i en sfærisk trigonometri som i mange henseender skiller seg fra vanlig trigonometri ; for eksempel overstiger summen av de indre vinklene til en sfærisk trekant 180 grader.

Forhold til lignende geometrier

Sfærisk geometri er nært beslektet med elliptisk geometri .

En viktig geometri relatert til den til sfæren er den for det virkelige projiserende planet ; det oppnås ved å identifisere antipodale punkter (par med motsatte punkter) på sfæren. Lokalt har det projiserende planet alle egenskapene til sfærisk geometri, men det har forskjellige globale egenskaper. Spesielt er den ikke-orienterbar eller ensidig, og i motsetning til sfæren kan den ikke tegnes som en overflate i et 3-dimensjonalt rom uten å krysse seg selv.

Begreper med sfærisk geometri kan også brukes på den avlange sfæren , selv om mindre modifikasjoner må implementeres på visse formler.

Høyere dimensjonale sfæriske geometrier eksisterer; se elliptisk geometri .

Historie

Gresk antikk

Det tidligste matematiske arbeidet i antikken som kommer ned til vår tid er På den roterende sfæren (Περὶ κινουμένης σφαίρας, Peri kinoumenes sphairas ) av Autolycus av Pitane , som levde på slutten av det fjerde århundre f.Kr.

Sfærisk trigonometri ble studert av tidlige greske matematikere som Theodosius av Bithynia , en gresk astronom og matematiker som skrev Sphaerics , en bok om sfæregeometrien , og Menelaus av Alexandria , som skrev en bok om sfærisk trigonometri kalt Sphaerica og utviklet Menelaus teorem .

Islamsk verden

The Book of Unknown Arcs of a Sphere skrevet av den islamske matematikeren Al-Jayyani regnes som den første avhandlingen om sfærisk trigonometri. Boken inneholder formler for høyrehendte trekanter, den generelle loven om sines og løsningen av en sfærisk trekant ved hjelp av polartriangelen.

Boken On Triangles av Regiomontanus , skrevet rundt 1463, er det første rene trigonometriske verket i Europa. Men Girolamo Cardano bemerket et århundre senere at mye av materialet sitt på sfærisk trigonometri ble tatt fra det tolvte århundre arbeidet i Andalusi lærd Jabir ibn Aflah .

Eulers arbeid

Leonhard Euler publiserte en serie viktige memoarer om sfærisk geometri:

L. Euler, Principes de la trigonométrie sphérique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits, Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1753), 1755, s. 233–257; Opera Omnia, serie 1, vol. XXVII, s. 277–308.
L. Euler, Eléments de la trigonométrie sphéroïdique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits, Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1754), 1755, s. 258–293; Opera Omnia, serie 1, vol. XXVII, s. 309–339.
L. Euler, De curva rectificabili in superficie sphaerica, Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 15, 1771, s. 195–216; Opera Omnia, serie 1, bind 28, s. 142–160.
L. Euler, De mensura angulorum solidorum, Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 2, 1781, s. 31–54; Opera Omnia, serie 1, vol. XXVI, s. 204–223.
L. Euler, Problematis cuiusdam Pappi Alexandrini constructio, Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 4, 1783, s. 91–96; Opera Omnia, serie 1, vol. XXVI, s. 237–242.
L. Euler, Geometrica et sphaerica quaedam, Mémoires de l'Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg 5, 1815, s. 96–114; Opera Omnia, serie 1, vol. XXVI, s. 344–358.
L. Euler, Trigonometria sphaerica universa, ex primis principiis breviter et dilucide derivata, Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 3, 1782, s. 72–86; Opera Omnia, serie 1, vol. XXVI, s. 224–236.
L. Euler, Variae speculationses super area triangulorum sphaericorum, Nova Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 10, 1797, s. 47–62; Opera Omnia, serie 1, vol. XXIX, s. 253–266.

Eiendommer

Sfærisk geometri har følgende egenskaper:

Eventuelle to store sirkler skjærer seg i to diametralt motsatte punkter, kalt antipodale punkter .
Eventuelle to punkter som ikke er antipodale punkter, bestemmer en unik storsirkel.
Det er en naturlig enhet for vinkelmåling (basert på en revolusjon), en naturlig lengdeenhet (basert på omkretsen til en stor sirkel) og en naturlig arealeenhet (basert på området for sfæren).
Hver store sirkel er assosiert med et par antipodale punkter, kalt polene som er de vanlige skjæringspunktene til settet med store sirkler vinkelrett på den. Dette viser at en stor sirkel, med hensyn til avstandsmåling på overflaten av sfæren , er en sirkel: stedet for punkter alt i en bestemt avstand fra et senter.
Hvert punkt er assosiert med en unik storsirkel, kalt polens sirkel for punktet, som er den store sirkelen på planet gjennom midten av sfæren og vinkelrett på sfærens diameter gjennom det gitte punktet.

Siden det er to buer bestemt av et par punkter, som ikke er antipodale, bestemmer ikke tre ikke-kollinære punkter på den store sirkelen de bestemmer en unik trekant. Men hvis vi bare vurderer trekanter hvis sider er mindre buer med store sirkler, har vi følgende egenskaper:

Vinkelsummen av en trekant er større enn 180 ° og mindre enn 540 °.
Arealet til en trekant er proporsjonalt med overskuddet av vinkelsummen over 180 °.
To trekanter med samme vinkelsum er like i areal.
Det er en øvre grense for området med trekanter.
Sammensetningen (produktet) av to refleksjoner over en stor sirkel kan betraktes som en rotasjon rundt et av skjæringspunktene til deres akser.
To trekanter er kongruente hvis og bare hvis de samsvarer under et endelig produkt av slike refleksjoner.
To trekanter med tilsvarende vinkler like er kongruente (dvs. alle lignende trekanter er kongruente).

Forholdet til Euclids postulater

Hvis "linje" betegnes som stor sirkel, adlyder sfærisk geometri to av Euklids postulater : det andre postulatet ("å produsere [utvide] en endelig rett linje kontinuerlig i en rett linje") og det fjerde postulatet ("at alle rette vinkler er like hverandre "). Imidlertid bryter det de tre andre: i motsetning til det første postulatet, er det ikke en unik korteste rute mellom to punkter ( antipodale punkter som nord- og sørpolen på en sfærisk klode er moteksempler); i motsetning til det tredje postulatet inneholder ikke en sfære sirkler med vilkårlig stor radius; og i motsetning til det femte (parallelle) postulatet , er det ikke noe punkt der en linje kan trekkes gjennom som aldri krysser en gitt linje.

En uttalelse som tilsvarer det parallelle postulatet er at det eksisterer en trekant hvis vinkler legger opp til 180 °. Siden sfærisk geometri bryter med det parallelle postulatet, eksisterer det ingen slik trekant på overflaten av en sfære. Summen av vinklene til en trekant på en kule er 180 ° (1 + 4 f ) , hvor f er brøkdelen av kuleoverflaten som er omsluttet av trekanten. For enhver positiv verdi på f overstiger dette 180 °.

Se også

Merknader

Referanser

Meserve, Bruce E. (1983) [1959], Fundamental Concepts of Geometry , Dover, ISBN 0-486-63415-9
Papadopoulos, Athanase (2015), Euler, la géométrie sphérique et le calcul des variationer. I: Leonhard Euler: Mathématicien, physicien et théoricien de la musique (dir. X. Hascher et A. Papadopoulos) , CNRS Editions, Paris, ISBN 978-2-271-08331-9
Van Brummelen, Glen (2013). Heavenly Mathematics: The Glemt kunst av sfærisk trigonometri . Princeton University Press . ISBN 9780691148922. Hentet 31. desember 2014 .
Roshdi Rashed og Athanase Papadopoulos (2017) Menelaus 'Sfærikk: Tidlig oversettelse og al-Mahani' / alHarawis versjon. Kritisk utgave av Menelaus 'sfærer fra de arabiske manuskriptene, med historiske og matematiske kommentarer , De Gruyter- serien: Scientia Graeco-Arabica 21 ISBN 978-3-11-057142-4

Languages

In other projects