Avledning av Navier - Stokes ligninger - Derivation of the Navier–Stokes equations

Hensikten med denne artikkelen er å markere de viktige punktene i avledningen av Navier - Stokes -ligningene, så vel som dens anvendelse og formulering for forskjellige familier av væsker .

Grunnleggende forutsetninger

Navier - Stokes -ligningene er basert på antagelsen om at væsken, i omfanget av interesse, er et kontinuum - et kontinuerlig stoff i stedet for diskrete partikler. En annen antagelse er nødvendig at alle områder av interesse, inkludert trykk , strømningshastighet , tetthet og temperatur er differensierbar , i det minste svakt .

Ligningene er avledet fra de grunnleggende prinsippene for kontinuitet i masse , momentum og energi . Noen ganger er det nødvendig å vurdere et begrenset vilkårlig volum, kalt et kontrollvolum , som disse prinsippene kan brukes på. Dette begrensede volumet er markert med Ω og dets begrensende overflate ∂Ω . Kontrollvolumet kan forbli fast i rommet eller kan bevege seg med væsken.

Materialderivatet

Endringer i egenskapene til en væske i bevegelse kan måles på to forskjellige måter. Man kan måle en gitt egenskap ved enten å utføre målingen på et fast punkt i rommet når partikler av væsken passerer, eller ved å følge en pakke med væske langs strømlinjen . Derivatet til et felt med hensyn til en fast posisjon i rommet kalles Eulerian -derivatet, mens derivatet etter en pakke i bevegelse kalles det advective eller materielle (eller Lagrangian ) derivatet.

Materialderivatet er definert som den ikke -lineære operatøren :

${\ displaystyle {\ frac {D} {Dt}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {\ partiell} {\ delvis t}}+\ mathbf {u} \ cdot \ nabla}$

hvor u er strømningshastigheten. Det første uttrykket på høyre side av ligningen er det vanlige Eulerian-derivatet (derivatet på en fast referanseramme, som representerer endringer på et tidspunkt med hensyn til tid), mens det andre uttrykket representerer endringer av en mengde med hensyn til posisjon ( se adveksjon ). Dette "spesielle" derivatet er faktisk det vanlige derivatet av en funksjon av mange variabler langs en bane som følger væskebevegelsen; den kan avledes ved bruk av kjederegelen der alle uavhengige variabler kontrolleres for endring langs banen (det vil si totalderivatet ).

For eksempel kan måling av endringer i vindhastighet i atmosfæren oppnås ved hjelp av et vindmåler i en værstasjon eller ved å observere bevegelsen til en værballong. Anemometeret i det første tilfellet måler hastigheten til alle de bevegelige partiklene som passerer gjennom et fast punkt i rommet, mens instrumentet i det andre tilfellet måler hastighetsendringer når det beveger seg med strømmen.

Kontinuitetsligninger

Navier - Stokes -ligningen er en spesiell kontinuitetsligning . En kontinuitetsligning kan stammer fra bevaringsprinsipper for:

• masse ,
• momentum ,
• energi .

En kontinuitetsligning (eller bevaringslov ) er et integrert forhold som sier at endringshastigheten til en eller annen integrert eiendom φ definert over et kontrollvolum Ω må være lik det beløpet som går tapt eller oppnås gjennom grensene Γ for volumet pluss det som opprettes eller forbrukes av kilder og synker inne i volumet. Dette uttrykkes ved følgende integrale kontinuitetsligning:

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {\ Omega} \ varphi \ d \ Omega = -\ int _ {\ Gamma} \ varphi \ mathbf {u \ cdot n} \ d \ Gamma - \ int _ {\ Omega} s \ d \ Omega}$

hvor u er væskens strømningshastighet, n er den utadrettende enhetens normale vektor, og s representerer kildene og synkene i strømmen, og tar synkene som positive.

Den divergensteoremet kan påføres på den overflate integral , endrer den til en volum integral :

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {\ Omega} \ varphi \ d \ Omega =-\ int _ {\ Omega} \ nabla \ cdot (\ varphi \ mathbf {u}) \ d \ Omega -\ int _ {\ Omega} s \ d \ Omega.}$

Bruk av Reynolds -transportsetningen til integralen til venstre og deretter kombinere alle integralene:

${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partiell t}} \ d \ Omega =-\ int _ {\ Omega} \ nabla \ cdot (\ varphi \ mathbf {u} ) \ d \ Omega -\ int _ {\ Omega} s \ d \ Omega \ quad \ Rightarrow \ quad \ int _ {\ Omega} \ venstre ({\ frac {\ partiell \ varphi} {\ delvis t}}+ \ nabla \ cdot (\ varphi \ mathbf {u})+s \ right) d \ Omega = 0.}$

Integralet må være null for ethvert kontrollvolum; Dette kan bare være sant hvis selve integranden er null, slik at:

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell \ varphi} {\ delvis t}}+\ nabla \ cdot (\ varphi \ mathbf {u})+s = 0.}$

Fra denne verdifulle relasjonen (en veldig generisk kontinuitetsligning ) kan tre viktige begreper skrives kort: bevaring av masse, bevaring av momentum og bevaring av energi. Gyldigheten beholdes hvis φ er en vektor, i hvilket tilfelle vektor-vektorproduktet i det andre uttrykket vil være en dyade .

Bevaring av momentum

En generell momentligning oppnås når bevaringsforholdet brukes på momentum. Når den intensive egenskapen φ regnes som massestrømmen (også momentumtetthet ), det vil si produktet av massetetthet og strømningshastighet ρ u , ved å erstatte den generelle kontinuumligningen:

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell} {\ delvis t}} (\ rho \ mathbf {u})+\ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {u}) = \ mathbf { s}}$

der u ⊗ u er en dyade , et spesielt tilfelle av tensorprodukt , noe som resulterer i en andre rangert tensor; den divergens av en annen rang tensor er igjen en vektor (en første rang tensor).

Ved å bruke formelen for divergens av en dyade,

${\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf {a} \ otimes \ mathbf {b}) = (\ nabla \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {b} +\ mathbf {a} \ cdot \ nabla \ mathbf {b}}$

vi har da

${\ displaystyle \ mathbf {u} {\ frac {\ partiell \ rho} {\ delvis t}}+\ rho {\ frac {\ delvis \ mathbf {u}} {\ delvis t}}+\ mathbf {u} \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ rho +\ rho \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} +\ rho \ mathbf {u} \ nabla \ cdot \ mathbf {u} = \ mathbf {s }}$

Vær oppmerksom på at gradienten til en vektor er et spesialtilfelle for kovariansderivatet , og operasjonen resulterer i andre rangertensorer; bortsett fra i kartesiske koordinater, er det viktig å forstå at dette ikke bare er et element for element gradient. Omorganisere og gjenkjenne at u ⋅ ∇ ρ + ρ ∇ ⋅ u = ∇ ⋅ ( ρ u ) :

${\ displaystyle {\ begynne {justert} \ mathbf {u} \ venstre ({\ frac {\ partiell \ rho} {\ delvis t}} +\ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ rho +\ rho \ nabla \ cdot \ mathbf {u} \ right)+\ rho \ left ({\ frac {\ partiell \ mathbf {u}} {\ delvis t}}+\ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} \ høyre ) & = \ mathbf {s} \\ [6px] \ mathbf {u} \ venstre ({\ frac {\ partiell \ rho} {\ delvis t}}+\ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {u}) \ høyre)+\ rho \ venstre ({\ frac {\ partiell \ mathbf {u}} {\ delvis t}}+\ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} \ høyre) & = \ mathbf { s} \ end {align}}}$

Uttrykket til venstre i parentes er lik massekontinuitet (vist om et øyeblikk) lik null. Merker at det som er igjen på venstre side av ligningen er materialderivatet av strømningshastighet:

${\ displaystyle \ rho {\ frac {D \ mathbf {u}} {Dt}} = \ rho \ venstre ({\ frac {\ partiell \ mathbf {u}} {\ delvis t}}+\ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} \ right) = \ mathbf {s}}$

Dette ser ut til å være et uttrykk for Newtons andre lov ( F = m a ) når det gjelder kroppskrefter i stedet for punktkrefter. Hvert begrep i alle tilfeller av Navier - Stokes -ligningene er en kroppskraft. En kortere, men mindre streng måte å komme frem til dette resultatet på, ville være anvendelsen av kjederegelen for akselerasjon:

${\ displaystyle {\ begynne {justert} \ rho {\ frac {d} {dt}} {\ bigl (} \ mathbf {u} (x, y, z, t) {\ bigr)} = \ mathbf {s } \ quad & \ Rightarrow & \ rho \ left ({\ frac {\ partiell \ mathbf {u}} {\ delvis t}}+{\ frac {\ delvis \ mathbf {u}} {\ delvis x}} { \ frac {dx} {dt}}+{\ frac {\ partiell \ mathbf {u}} {\ delvis y}} {\ frac {dy} {dt}}+{\ frac {\ partiell \ mathbf {u} } {\ delvis z}} {\ frac {dz} {dt}} \ høyre) & = \ mathbf {s} \\\ quad & \ Rightarrow & \ rho \ left ({\ frac {\ partiell \ mathbf {u }} {\ delvis t}}+u {\ frac {\ delvis \ mathbf {u}} {\ delvis x}}+v {\ frac {\ delvis \ mathbf {u}} {\ delvis y}}+w {\ frac {\ partiell \ mathbf {u}} {\ delvis z}} \ høyre) & = \ mathbf {s} \\\ quad & \ Rightarrow & \ rho \ left ({\ frac {\ partiell \ mathbf { u}} {\ delvis t}}+\ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} \ right) & = \ mathbf {s} \ end {align}}}$

hvor u = ( u , v , w ) . Grunnen til at dette er "mindre strengt" er at vi ikke har vist at valget av

${\ displaystyle \ mathbf {u} = \ left ({\ frac {dx} {dt}}, {\ frac {dy} {dt}}, {\ frac {dz} {dt}} \ right)}$

er korrekt; men det er fornuftig siden derivatet med det valget av veier "følger" en flytende "partikkel", og for at Newtons andre lov skal fungere, må krefter summeres etter en partikkel. Av denne grunn er det konvektive derivatet også kjent som partikkelderivatet.

Bevaring av masse

Mass kan også vurderes. Når den intensive egenskapen φ regnes som massen, ved å erstatte den generelle kontinuumligningen, og ta s = 0 (ingen massekilder eller synker):

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell \ rho} {\ delvis t}}+\ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {u}) = 0}$

hvor ρ er massetettheten (masse per volumenhet), og u er strømningshastigheten. Denne ligningen kalles massekontinuitetsligningen , eller rett og slett den kontinuitetsligningen. Denne ligningen følger vanligvis Navier - Stokes -ligningen.

Ved inkomprimerbar væske , Dρ/Dt= 0 (tettheten etter banen til et væskeelement er konstant) og ligningen reduseres til:

${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {u} = 0}$

som faktisk er en uttalelse om bevaring av volum.

Cauchy momentum -ligning

Den generiske tettheten til momentumkildene som er sett tidligere, blir spesifikk først ved å dele den opp i to nye termer, en for å beskrive indre spenninger og en for ytre krefter, for eksempel tyngdekraften. Ved å undersøke kreftene som virker på en liten terning i en væske, kan det vises at

${\ displaystyle \ rho {\ frac {D \ mathbf {u}} {Dt}} = \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}}+\ mathbf {f}}$

hvor σ er Cauchy stress tensor , og f står for kroppskrefter som er tilstede. Denne ligningen kalles Cauchy momentum-ligningen og beskriver den ikke-relativistiske momentumbevaringen av ethvert kontinuum som bevarer masse. σ er en rang to symmetrisk tensor gitt av dens kovariante komponenter. I ortogonale koordinater i tre dimensjoner er det representert som 3 × 3 -matrisen :

${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {xx} & \ tau _ {xy} & \ tau _ {xz} \\\ tau _ {yx} & \ sigma _ {åå } & \ tau _ {yz} \\\ tau _ {zx} & \ tau _ {zy} & \ sigma _ {zz} \ end {pmatrix}}}$

hvor σ er normale spenninger og τ skjærspenninger . Denne matrisen er delt inn i to termer:

${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {xx} & \ tau _ {xy} & \ tau _ {xz} \\\ tau _ {yx} & \ sigma _ {åå } & \ tau _ {yz} \\\ tau _ {zx} & \ tau _ {zy} & \ sigma _ {zz} \ end {pmatrix}} =-{\ begin {pmatrix} p & 0 & 0 \\ 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & p \ end {pmatrix}}+{\ begin {pmatrix} \ sigma _ {xx}+p & \ tau _ {xy} & \ tau _ {xz} \\\ tau _ {yx} & \ sigma _ {yy} +p & \ tau _ {yz} \\\ tau _ {zx} & \ tau _ {zy} & \ sigma _ {zz} +p \ end {pmatrix}} =-p \ mathbf {I} +{\ boldsymbol {\ tau}}}$

hvor I er 3 × 3 identitetsmatrisen og τ er den deviatoriske spenningstensoren . Vær oppmerksom på at det mekaniske trykket p er lik negativet av gjennomsnittlig normal spenning:

${\ displaystyle p =-{\ tfrac {1} {3}} \ venstre (\ sigma _ {xx}+\ sigma _ {yy}+\ sigma _ {zz} \ høyre).}$

Motivasjonen for å gjøre dette er at trykket vanligvis er en variabel av interesse, og også dette forenkler påføring på spesifikke væskefamilier senere siden tensor τ lengst til høyre i ligningen ovenfor må være null for et fluid i hvile. Vær oppmerksom på at τ er sporløs . Cauchy -ligningen kan nå skrives i en annen mer eksplisitt form:

${\ displaystyle \ rho {\ frac {D \ mathbf {u}} {Dt}} =-\ nabla p+\ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ tau}}+\ mathbf {f}}$

Denne ligningen er fortsatt ufullstendig. For fullføring må man lage hypoteser om formene for τ og p , det vil si at man trenger en konstitutiv lov for spenningstensoren som kan oppnås for spesifikke væskefamilier og for trykket. Noen av disse hypotesene fører til Euler -ligningene (væskedynamikk) , andre fører til Navier - Stokes -ligningene. I tillegg, hvis strømmen antas komprimerbar, vil en statlig ligning være nødvendig, noe som sannsynligvis vil kreve ytterligere bevaring av energiformulering.

Påføring på forskjellige væsker

Den generelle formen for bevegelsesligningene er ikke "klar til bruk", spenningstensoren er fremdeles ukjent slik at mer informasjon er nødvendig; denne informasjonen er normalt en viss kunnskap om væskens viskøse oppførsel. For forskjellige typer væskestrøm resulterer dette i spesifikke former for Navier - Stokes ligninger.

Newtonsk væske

Komprimerbar Newtonsk væske

Formuleringen for Newtonske væsker stammer fra en observasjon fra Newton som for de fleste væsker,

${\ displaystyle \ tau \ propto {\ frac {\ partiell u} {\ delvis y}}}$

For å bruke dette på Navier - Stokes -ligningene, ble tre antagelser gjort av Stokes:

• Spenningstensoren er en lineær funksjon av strekkhastigheten tensor eller tilsvarende hastighetsgradienten.
• Væsken er isotrop.
• For en væske i hvile må ∇ ⋅ τ være null (slik at hydrostatisk trykk oppstår).

Listen ovenfor angir det klassiske argumentet om at skjærbelastningshastigheten tensor (den (symmetriske) skjærdelen av hastighetsgradienten) er en ren skjær -tensor og ikke inkluderer noen til-/utstrømningsdel (noen kompresjons-/ekspansjonsdel). Dette betyr at sporet er null, og dette oppnås ved å trekke ∇ ⋅ u på en symmetrisk måte fra tensorens diagonale elementer. Kompresjonsbidraget til viskøs spenning legges til som en egen diagonal tensor.

Å bruke disse forutsetningene vil føre til:

${\ displaystyle \ tau = \ mu \ left (\ nabla \ mathbf {u} +\ left (\ nabla \ mathbf {u} \ right)^{\ mathsf {T}} \ right) +\ lambda \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {u} \ right) \ mathbf {I}}$

eller i tensorform

${\ displaystyle \ tau _ {ij} = \ mu \ venstre ({\ frac {\ partiell u_ {i}} {\ delvis x_ {j}}}+{\ frac {\ delvis u_ {j}} {\ delvis x_ {i}}} \ høyre)+\ delta _ {ij} \ lambda {\ frac {\ delvis u_ {k}} {\ delvis x_ {k}}}}$

Det vil si at devoratoren til deformasjonshastigheten tensor er identifisert til deviatorikken til spenningstensoren, opptil en faktor μ .

δ _ij er Kronecker -deltaet . μ og λ er proporsjonalitetskonstanter assosiert med antagelsen om at stress avhenger av belastning lineært; μ kalles den første viskositetskoeffisienten eller skjærviskositeten (vanligvis bare kalt "viskositet") og λ er den andre viskositet- eller volumviskositetskoeffisienten (og den er relatert til bulkviskositet ). Verdien av λ , som gir en viskøs effekt forbundet med volumendring, er svært vanskelig å bestemme, ikke engang dens tegn er kjent med absolutt sikkerhet. Selv i komprimerbare strømmer er begrepet som involverer λ ofte ubetydelig; men det kan noen ganger være viktig, selv i nesten inkomprimerbare strømmer, og det er et spørsmål om kontrovers. Når den tas null, er den vanligste tilnærmingen λ ≈ -2/3μ .

En enkel substitusjon av τ _ij i bevaringsligningen for momentum vil gi Navier - Stokes ligninger , som beskriver en komprimerbar newtonsk væske:

${\ displaystyle \ rho \ venstre ({\ frac {\ partiell \ mathbf {u}} {\ delvis t}}+\ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} \ høyre) =-\ nabla p+\ nabla \ cdot \ left [\ mu \ left (\ nabla \ mathbf {u} +\ left (\ nabla \ mathbf {u} \ right)^{\ mathsf {T}} \ right) \ right] +\ nabla \ cdot \ left [\ lambda \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {u} \ right) \ mathbf {I} \ right]+\ rho \ mathbf {g}}$

Kroppskraften har blitt dekomponert til tetthet og ekstern akselerasjon, det vil si f = ρ g . Den tilhørende massekontinuitetsligningen er:

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell \ rho} {\ delvis t}}+\ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {u}) = 0}$

I tillegg til denne ligningen er det nødvendig med en statlig ligning og en ligning for bevaring av energi. Statens ligning som skal brukes avhenger av kontekst (ofte den ideelle gassloven ), bevaring av energi vil lese:

${\ displaystyle \ rho {\ frac {Dh} {Dt}} = {\ frac {Dp} {Dt}}+\ nabla \ cdot (k \ nabla T)+\ Phi}$

Her er h den spesifikke entalpien , T er temperaturen , og Φ er en funksjon som representerer spredning av energi på grunn av viskøse effekter:

${\ displaystyle \ Phi = \ mu \ venstre (2 \ venstre ({\ frac {\ delvis u} {\ delvis x}} \ høyre)^{2} +2 \ venstre ({\ frac {\ delvis v} { \ delvis y}} \ høyre)^{2} +2 \ venstre ({\ frac {\ delvis w} {\ delvis z}} \ høyre)^{2}+\ venstre ({\ frac {\ delvis v} {\ delvis x}}+{\ frac {\ delvis u} {\ delvis y}} \ høyre)^{2}+\ venstre ({\ frac {\ delvis w} {\ delvis y}}+{\ frac {\ delvis v} {\ delvis z}} \ høyre)^{2}+\ venstre ({\ frac {\ delvis u} {\ delvis z}}+{\ frac {\ delvis w} {\ delvis x} } \ right)^{2} \ right)+\ lambda (\ nabla \ cdot \ mathbf {u})^{2}.}$

Med en god tilstandsligning og gode funksjoner for avhengighet av parametere (for eksempel viskositet) på variablene, ser dette ligningssystemet ut til å modellere dynamikken til alle kjente gasser og de fleste væsker.

Ukomprimerbar newtonsk væske

For det spesielle (men veldig vanlige) tilfellet av inkomprimerbar strøm, forenkler momentumligningene betydelig. Bruk følgende forutsetninger:

• Viskositeten μ vil nå være en konstant
• Den andre viskositetseffekten λ = 0
• Den forenklede massekontinuitetsligningen ∇ ⋅ u = 0

Dette gir inkomprimerbare Navier-Stokes-ligninger , som beskriver inkomprimerbar newtonsk væske:

${\ displaystyle \ rho \ venstre ({\ frac {\ partiell \ mathbf {u}} {\ delvis t}}+\ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} \ høyre) =-\ nabla p+\ nabla \ cdot \ left [\ mu \ left (\ nabla \ mathbf {u} +\ left (\ nabla \ mathbf {u} \ right)^{\ mathsf {T}} \ right) \ right] +\ rho \ mathbf {g}}$

så ser vi på de viskøse begrepene i x momentum -ligningen, for eksempel har vi:

${\ displaystyle {\ begynne {justert} og {\ frac {\ partiell} {\ delvis x}} \ venstre (2 \ mu {\ frac {\ delvis u} {\ delvis x}} \ høyre)+{\ frac {\ delvis} {\ delvis y}} \ venstre (\ mu \ venstre ({\ frac {\ delvis u} {\ delvis y}}+{\ frac {\ delvis v} {\ delvis x}} \ høyre) \ høyre)+{\ frac {\ partiell} {\ delvis z}} \ venstre (\ mu \ venstre ({\ frac {\ delvis u} {\ delvis z}}+{\ frac {\ delvis w} {\ delvis x}} \ høyre) \ høyre) \\ [8px] & \ qquad = 2 \ mu {\ frac {\ partiell ^{2} u} {\ delvis x ^{2}}}+\ mu {\ frac {\ delvis ^{2} u} {\ delvis y ^{2}}}+\ mu {\ frac {\ delvis ^{2} v} {\ delvis y \, \ delvis x}}+\ mu {\ frac {\ partiell ^{2} u} {\ delvis z ^{2}}}+\ mu {\ frac {\ delvis ^{2} w} {\ delvis z \, \ delvis x}} \\ [8px ] & \ qquad = \ mu {\ frac {\ partiell ^{2} u} {\ delvis x ^{2}}}+\ mu {\ frac {\ delvis ^{2} u} {\ delvis y ^{ 2}}}+\ mu {\ frac {\ partiell ^{2} u} {\ delvis z ^{2}}}+\ mu {\ frac {\ delvis ^{2} u} {\ delvis x ^{ 2}}}+\ mu {\ frac {\ partiell ^{2} v} {\ delvis y \, \ delvis x}}+\ mu {\ frac {\ delvis ^{2} w} {\ delvis z \ , \ delvis x}} \\ [8px] & \ qquad = \ mu \ nabla ^{2} u+\ mu {\ frac {\ partiell} {\ delvis x}} {\ cance ltil {0} {\ venstre ({\ frac {\ delvis u} {\ delvis x}}+{\ frac {\ delvis v} {\ delvis y}}+{\ frac {\ delvis w} {\ delvis z }} \ høyre)}} \\ [8px] & \ qquad = \ mu \ nabla ^{2} u \ end {align}} \,}$

På samme måte for y og z momentum retninger har vi μ ∇ ² v og μ ∇ ² w .

Løsningen ovenfor er nøkkelen til å utlede Navier - Stokes ligninger fra bevegelsesligningen i væskedynamikk når tetthet og viskositet er konstant.

Ikke-newtonske væsker

En ikke-newtonsk væske er en væske hvis strømningsegenskaper på noen måte skiller seg fra Newtons væsker . Vanligvis er viskositeten til ikke-newtonske væsker en funksjon av skjærhastigheten eller skjærhastigheten. Imidlertid er det noen ikke-newtonske væsker med skjæreuavhengig viskositet, som likevel viser normale stressforskjeller eller annen ikke-newtonsk oppførsel. Mange saltløsninger og smeltede polymerer er ikke-newtonske væsker, i likhet med mange vanlige stoffer som ketchup , vaniljesaus , tannkrem , stivelsesuspensjoner, maling , blod og sjampo . I en newtonsk væske er forholdet mellom skjærspenningen og skjærhastigheten lineær og passerer gjennom opprinnelsen, proporsjonalitetskonstanten er viskositetskoeffisienten. I en ikke-newtonsk væske er forholdet mellom skjærspenningen og skjærhastigheten annerledes og kan til og med være tidsavhengig. Studiet av de ikke-newtoniske væskene kalles vanligvis reologi . Noen eksempler er gitt her.

Bingham væske

I Bingham -væsker er situasjonen litt annerledes:

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell u} {\ delvis y}} = {\ start {saker} 0, og \ tau <\ tau _ {0} \\ [5px] {\ dfrac {\ tau -\ tau _ {0}} {\ mu}}, og \ tau \ geq \ tau _ {0} \ end {cases}}}$

Dette er væsker som kan bære noe skjær før de begynner å strømme. Noen vanlige eksempler er tannkrem og leire .

Power-law væske

En kraft lov væske er en idealisert væske hvor den skjærspenning , τ , er gitt ved

${\ displaystyle \ tau = K \ venstre ({\ frac {\ delvis u} {\ delvis y}} \ høyre)^{n}}$

Dette skjemaet er nyttig for å tilnærme alle slags generelle væsker, inkludert tynning av skjær (for eksempel latexmaling) og skjærfortykning (for eksempel blanding av maisstivelse).

Stream funksjon formulering

I analysen av en flyt er det ofte ønskelig å redusere antall ligninger og/eller antall variabler. Den inkomprimerbare Navier - Stokes -ligningen med massekontinuitet (fire ligninger i fire ukjente) kan reduseres til en enkelt ligning med en enkelt avhengig variabel i 2D, eller en vektorligning i 3D. Dette aktiveres av to vektorberegningsidentiteter :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ times (\ nabla \ phi) & = 0 \\\ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {A}) & = 0 \ end {align}}}$

for en hvilken som helst differentiable skalar φ og vektoren A . Den første identiteten innebærer at ethvert begrep i Navier - Stokes -ligningen som kan representeres som gradienten til en skalar, vil forsvinne når krøllen i ligningen blir tatt. Vanligvis vil trykk p og ekstern akselerasjon g elimineres, noe som resulterer i (dette er sant i 2D så vel som 3D):

${\ displaystyle \ nabla \ times \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {u}} {\ partial t}}+\ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} \ right) = \ nu \ nabla \ times \ left (\ nabla ^{2} \ mathbf {u} \ right)}$

hvor det antas at alle kroppskrefter kan beskrives som gradienter (for eksempel er det sant for tyngdekraften), og tettheten er delt slik at viskositeten blir kinematisk viskositet .

Den andre vektorberegningsidentiteten ovenfor sier at divergensen av krøllen til et vektorfelt er null. Siden den (inkomprimerbare) massekontinuitetsligningen spesifiserer divergensen av strømningshastigheten som er null, kan vi erstatte strømningshastigheten med krøllen til en eller annen vektor ψ slik at massekontinuiteten alltid tilfredsstilles:

${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {u} = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad \ nabla \ cdot (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}}) = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad 0 = 0}$

Så, så lenge strømningshastigheten er representert gjennom u = ∇ × ψ , blir massekontinuiteten betingelsesløst tilfredsstilt. Med denne nye avhengige vektorvariabelen blir Navier - Stokes -ligningen (med krøllen tatt som ovenfor) en enkelt fjerdeordens vektorligning, som ikke lenger inneholder den ukjente trykkvariabelen og ikke lenger er avhengig av en egen massekontinuitetsligning:

${\ displaystyle \ nabla \ times \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}} (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}})+(\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi} }) \ cdot \ nabla (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}}) \ right) = \ nu \ nabla \ times \ left (\ nabla ^{2} (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi) }})\Ikke sant)}$

Bortsett fra å inneholde fjerdeordensderivater, er denne ligningen ganske komplisert, og er derfor uvanlig. Vær oppmerksom på at hvis kryssdifferensieringen utelates, er resultatet en tredje ordens vektorligning som inneholder et ukjent vektorfelt (trykkgradienten) som kan bestemmes ut fra de samme grensebetingelsene som man ville anvende for fjerdeordens ligning ovenfor.

2D -strømning i ortogonale koordinater

Den sanne nytten av denne formuleringen sees når strømmen er todimensjonal i naturen og ligningen er skrevet i et generelt ortogonalt koordinatsystem , med andre ord et system der basisvektorene er ortogonale. Vær oppmerksom på at dette på ingen måte begrenser anvendelsen til kartesiske koordinater , faktisk er de fleste vanlige koordinatsystemene ortogonale, inkludert kjente som sylindriske og uklare som toroidale .

3D -strømningshastigheten uttrykkes som (merk at diskusjonen ikke har brukt koordinater så langt):

${\ displaystyle \ mathbf {u} = u_ {1} \ mathbf {e} _ {1}+u_ {2} \ mathbf {e} _ {2}+u_ {3} \ mathbf {e} _ {3} }$

hvor e _i er basisvektorer, ikke nødvendigvis konstant og ikke nødvendigvis normalisert, og u _i er strømningshastighetskomponenter; la også koordinatene til rommet være ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) .

Anta nå at flyten er 2D. Dette betyr ikke at strømmen er i et plan, snarere betyr det at komponenten i strømningshastigheten i en retning er null og de resterende komponentene er uavhengige av samme retning. I så fall (ta komponent 3 til å være null):

${\ displaystyle \ mathbf {u} = u_ {1} \ mathbf {e} _ {1}+u_ {2} \ mathbf {e} _ {2}; \ qquad {\ frac {\ delvis u_ {1}} {\ delvis x_ {3}}} = {\ frac {\ delvis u_ {2}} {\ delvis x_ {3}}} = 0}$

Vektorfunksjonen ψ er fremdeles definert via:

${\ displaystyle \ mathbf {u} = \ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}}}$

men dette må forenkle på en eller annen måte også siden strømmen antas 2D. Hvis det antas ortogonale koordinater, får krøllen en ganske enkel form, og ligningen ovenfor utvidet blir:

${\ displaystyle u_ {1} \ mathbf {e} _ {1}+u_ {2} \ mathbf {e} _ {2} = {\ frac {\ mathbf {e} _ {1}} {h_ {2} h_ {3}}} \ venstre [{\ frac {\ partiell} {\ delvis x_ {2}}} \ venstre (h_ {3} \ psi _ {3} \ høyre)-{\ frac {\ partiell} { \ delvis x_ {3}}} \ venstre (h_ {2} \ psi _ {2} \ høyre) \ høyre]+}$

${\ displaystyle {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \}+{\ frac {\ mathbf {e} _ {2}} {h_ {3} h_ { 1}}} \ venstre [{\ frac {\ partiell} {\ delvis x_ {3}}} \ venstre (h_ {1} \ psi _ {1} \ høyre)-{\ frac {\ partiell} {\ delvis x_ {1}}} \ venstre (h_ {3} \ psi _ {3} \ høyre) \ høyre]+{\ frac {\ mathbf {e} _ {3}} {h_ {1} h_ {2}} } \ venstre [{\ frac {\ partiell} {\ delvis x_ {1}}} \ venstre (h_ {2} \ psi _ {2} \ høyre)-{\ frac {\ partiell} {\ delvis x_ {2 }}} \ venstre (h_ {1} \ psi _ {1} \ høyre) \ høyre]}$

Undersøkelse av denne ligningen viser at vi kan sette ψ ₁ = ψ ₂ = 0 og beholde likhet uten tap av generalitet, slik at:

${\ displaystyle u_ {1} \ mathbf {e} _ {1}+u_ {2} \ mathbf {e} _ {2} = {\ frac {\ mathbf {e} _ {1}} {h_ {2} h_ {3}}} {\ frac {\ partiell} {\ delvis x_ {2}}} \ venstre (h_ {3} \ psi _ {3} \ høyre)-{\ frac {\ mathbf {e} _ { 2}} {h_ {3} h_ {1}}} {\ frac {\ partiell} {\ delvis x_ {1}}} \ venstre (h_ {3} \ psi _ {3} \ høyre)}$

betydningen her er at bare en komponent av ψ gjenstår, slik at 2D -strøm blir et problem med bare en avhengig variabel. Korsdifferensierte Navier - Stokes ligning blir to 0 = 0 ligninger og en meningsfull ligning.

Den gjenværende komponenten ψ ₃ = ψ kalles strømfunksjonen . Ligningen for ψ kan forenkle siden en rekke mengder nå vil være lik null, for eksempel:

${\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ psi}} = {\ frac {1} {h_ {1} h_ {2} h_ {3}}} {\ frac {\ partiell} {\ delvis x_ {3 }}} \ venstre (\ psi h_ {1} h_ {2} \ høyre) = 0}$

hvis skalafaktorene h ₁ og h ₂ også er uavhengige av x ₃ . Også fra definisjonen av vektoren Laplacian

${\ displaystyle \ nabla \ times (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}}) = \ nabla (\ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ psi}})-\ nabla ^{2} {\ boldsymbol {\ psi}} =-\ nabla ^{2} {\ boldsymbol {\ psi}}}$

Manipulering av kryssdifferensierte Navier - Stokes ligning ved bruk av de to ligningene ovenfor og en rekke identiteter vil til slutt gi 1D skalarligningen for strømfunksjonen:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ nabla ^{2} \ psi \ right)+(\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}}) \ cdot \ nabla \ venstre (\ nabla ^{2} \ psi \ right) = \ nu \ nabla ^{4} \ psi}$

hvor ∇ ⁴ er den biharmoniske operatøren . Dette er veldig nyttig fordi det er en enkelt selvstendig skalarligning som beskriver både momentum og massebevaring i 2D. De eneste andre ligningene som denne partielle differensiallikningen trenger er innledende og grensebetingelser.

Avledning av skalarstrømfunksjonsligningen

Fordeling av krøllen : ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partiell t}} (\ nabla \ times (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}})))+\ nabla \ times {\ bigl (} (\ nabla \ ganger {\ boldsymbol {\ psi}}) \ cdot \ nabla (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}})) \ \ bigr)} = \ nu \ nabla \ times \ left (\ nabla ^{2} ( \ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}}) \ right)}$ Erstatte krøllen med krøllen med Laplacian og utvide konveksjon og viskositet: ${\ displaystyle -{\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ nabla ^{2} {\ boldsymbol {\ psi}} \ right)+\ nabla \ times \ left (\ nabla \ left ( {\ frac {(\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}}) \ cdot (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}})} {2}} \ right)+\ left (\ nabla \ times (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}}) \ right) \ times (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}}) \ right) = \ nu \ left (\ nabla ^{2} (\ nabla (\ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ psi}}))-\ nabla ^{4} {\ boldsymbol {\ psi}} \ høyre)}$ Ovenfor er krøllen til en gradient null, og divergensen til ψ er null. Negerer: ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ nabla ^{2} {\ boldsymbol {\ psi}} \ right)+\ nabla \ times \ left (\ nabla ^{2} {\ boldsymbol {\ psi}} \ times (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}}) \ right) = \ nu \ nabla ^{4} {\ boldsymbol {\ psi}}}$ Utvide krøllen til kryssproduktet til fire termer: ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ nabla ^{2} {\ boldsymbol {\ psi}} \ right)+(\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}} ) \ cdot \ nabla \ left (\ nabla ^{2} {\ boldsymbol {\ psi}} \ right)-\ left (\ nabla ^{2} {\ boldsymbol {\ psi}} \ right) \ cdot \ nabla (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}})+\ left (\ nabla ^{2} {\ boldsymbol {\ psi}} \ right) (\ nabla \ cdot (\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}})))-(\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}}) \ left (\ nabla \ cdot \ left (\ nabla ^{2} {\ boldsymbol {\ psi}} \ right) \ right) = \ nu \ nabla ^{4} {\ boldsymbol {\ psi}}}$ Bare én av fire termer i den utvidede krøllen er null. Den andre er null fordi den er prikkproduktet av ortogonale vektorer, den tredje er null fordi den inneholder divergensen av strømningshastigheten, og den fjerde er null fordi divergensen av en vektor med bare komponent tre er null (siden det antas at ingenting (unntatt kanskje h 3 ) avhenger av komponent tre). ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ nabla ^{2} {\ boldsymbol {\ psi}} \ right)+(\ nabla \ times {\ boldsymbol {\ psi}} ) \ cdot \ nabla \ venstre (\ nabla ^{2} {\ boldsymbol {\ psi}} \ right) = \ nu \ nabla ^{4} {\ boldsymbol {\ psi}}}$ Denne vektorligningen er en meningsfull skalarligning og to 0 = 0 ligninger.

Forutsetningene for strømfunksjonsligningen er:

• Flyten er inkomprimerbar og newtonsk.
• Koordinater er ortogonale .
• Flyt er 2D: u ₃ =∂ u ₁/∂ x ₃ = ∂ u ₂/∂ x ₃ = 0
• De to første skalafaktorene i koordinatsystemet er uavhengige av den siste koordinaten: ∂ h ₁/∂ x ₃ = ∂ h ₂/∂ x ₃= 0 , ellers vises det ekstra vilkår.

Den strøm funksjon har noen nyttige egenskaper:

• Siden -∇ ² ψ = ∇ x (∇ x ψ ) = ∇ x u , den virvlingen av strømningen er bare den negative av Laplace-operatoren av strømmen funksjon.
• De nivåkurver i strømmen funksjon er strømlinjene .

Spenningstensoren

Avledningen av Navier - Stokes -ligningen innebærer vurdering av krefter som virker på væskeelementer, slik at en mengde som kalles spenningstensoren vises naturlig i Cauchy -momentumligningen . Siden divergensen av denne tensoren er tatt, er det vanlig å skrive ut ligningen fullstendig forenklet, slik at det opprinnelige utseendet til spenningstensoren går tapt.

Imidlertid har spenningstensoren fortsatt noen viktige bruksområder, spesielt for å formulere grensebetingelser ved væskegrensesnitt . Husker at σ = - p I + τ , for en newtonsk væske er spenningstensoren:

${\ displaystyle \ sigma _ {ij} =-p \ delta _ {ij}+\ mu \ venstre ({\ frac {\ partiell u_ {i}} {\ delvis x_ {j}}}+{\ frac {\ delvis u_ {j}} {\ delvis x_ {i}}} \ høyre)+\ delta _ {ij} \ lambda \ nabla \ cdot \ mathbf {u}.}$

Hvis væsken antas å være inkomprimerbar, forenkler tensoren betydelig. For eksempel i 3D kartesiske koordinater:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ sigma}} & =-{\ begin {pmatrix} p & 0 & 0 \\ 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & p \ end {pmatrix}}+\ mu {\ begin {pmatrix} 2 \ displaystyle {\ frac {\ partiell u} {\ delvis x}} og \ displaystyle {{\ frac {\ delvis u} {\ delvis y}}+{\ frac {\ delvis v} {\ delvis x}}} & \ displaystyle {{\ frac {\ partiell u} {\ delvis z}}+{\ frac {\ delvis w} {\ delvis x}}} \\\ displaystil {{\ frac {\ delvis v} {\ delvis x }}+{\ frac {\ partiell u} {\ delvis y}}} og 2 \ displaystyle {\ frac {\ partiell v} {\ delvis y}} og \ displaystyle {{\ frac {\ delvis v} {\ delvis z}}+{\ frac {\ delvis w} {\ delvis y}}} \\\ displaystil {{\ frac {\ delvis w} {\ delvis x}}+{\ frac {\ delvis u} {\ delvis z}}} & \ displaystyle {{\ frac {\ delvis w} {\ delvis y}}+{\ frac {\ delvis v} {\ delvis z}}} & 2 \ displaystyle {\ frac {\ delvis w} { \ delvis z}} \ end {pmatrix}} \\ [6px] & =-p \ mathbf {I} +\ mu \ venstre (\ nabla \ mathbf {u} +\ venstre (\ nabla \ mathbf {u} \) høyre)^{\ mathsf {T}} \ right) \\ [6px] & =-p \ mathbf {I} +2 \ mu \ mathbf {e} \ end {align}}}$

e er strekkhastigheten tensor, per definisjon:

${\ displaystyle e_ {ij} = {\ frac {1} {2}} \ venstre ({\ frac {\ partiell u_ {i}} {\ delvis x_ {j}}}+{\ frac {\ delvis u_ { j}} {\ delvis x_ {i}}} \ høyre).}$

Referanser

• Batchelor, G. K. (2000). En introduksjon til Fluid Dynamics . New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66396-0.
• White, Frank M. (2006). Viskøs væskestrøm (3. utg.). New York: McGraw Hill. ISBN 0-07-240231-8.
• Surface Tension Module , av John WM Bush, på MIT OCW
• Galdi, en introduksjon til den matematiske teorien til Navier-Stokes-ligningene: Steady-state-problemer. Springer 2011