Hermittpolynomer - Hermite polynomials

I matematikk er eremittpolynomene en klassisk ortogonal polynomsekvens .

Polynomene oppstår i:

• signalbehandling som hermitiske bølger for analyse av wavelet -transformasjoner
• sannsynlighet , for eksempel Edgeworth -serien , så vel som i forbindelse med brunsk bevegelse ;
• kombinatorikk , som et eksempel på en Appell -sekvens , som adlyder paraplyberegningen ;
• numerisk analyse som Gauss -kvadratur ;
• fysikk , der de gir opphav til egenstatene til den kvanteharmoniske oscillatoren ; og de forekommer også i noen tilfeller av varme -ligningen (når begrepet er tilstede);${\ displaystyle {\ begynne {justert} xu_ {x} \ ende {justert}}}$
• systemteori i forbindelse med ikke -lineære operasjoner på gaussisk støy .
• tilfeldig matriseteori i gaussiske ensembler .

Hermittpolynomer ble definert av Pierre-Simon Laplace i 1810, men i knapt gjenkjennelig form, og studert i detalj av Pafnuty Chebyshev i 1859. Chebyshevs arbeid ble oversett, og de ble senere oppkalt etter Charles Hermite , som skrev om polynomene i 1864, beskriver dem som nye. De var følgelig ikke nye, selv om Hermite var den første som definerte de flerdimensjonale polynomene i sine senere publikasjoner fra 1865.

Definisjon

I likhet med de andre klassiske ortogonale polynomene , kan eremittpolynomene defineres fra flere forskjellige utgangspunkt. Siden vi først bemerket at det er to forskjellige standardiseringer i vanlig bruk, er en praktisk metode som følger:

• Den "probabilist er Hermite polynomer" er gitt av

${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n} (x) = (-1)^{n} e^{\ frac {x^{2}} {2}} {\ frac {d^{n }} {dx^{n}}} e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}},}$

• mens "fysikerens eremittpolynomer" er gitt av

${\ displaystyle H_ {n} (x) = (-1)^{n} e^{x^{2}} {\ frac {d^{n}} {dx^{n}}} e^{- x^{2}}.}$

Disse ligningene har formen til en Rodrigues -formel og kan også skrives som,

${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n} (x) = \ venstre (x-{\ frac {d} {dx}} \ høyre)^{n} \ cdot 1, \ quad H_ {n} (x) = \ venstre (2x-{\ frac {d} {dx}} \ høyre)^{n} \ cdot 1.}$

De to definisjonene er ikke akkurat identiske; hver er en ny skalering av den andre:

${\ displaystyle H_ {n} (x) = 2^{\ frac {n} {2}} {\ mathit {He}} _ {n} \ venstre ({\ sqrt {2}} \, x \ høyre) , \ quad {\ mathit {He}} _ {n} (x) = 2^{-{\ frac {n} {2}}} H_ {n} \ venstre ({\ frac {x} {\ sqrt { 2}}} \ høyre).}$

Dette er eremittpolynomsekvenser av forskjellige varianter; se materialet om avvik nedenfor.

Notasjonen He og H er den som brukes i standardreferansene. Polynomene He _n er noen ganger betegnet med H _n , spesielt i sannsynlighetsteori, fordi

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}}}$

er sannsynlighetstetthetsfunksjonen for normalfordelingen med forventet verdi 0 og standardavvik 1.

• De første elleve sannsynlighetsmannens eremittpolynomer er:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathit {He}} _ {0} (x) & = 1, \\ {\ mathit {He}} _ {1} (x) & = x, \\ { \ mathit {He}} _ {2} (x) & = x^{2} -1, \\ {\ mathit {He}} _ {3} (x) & = x^{3} -3x, \ \ {\ mathit {He}} _ {4} (x) & = x^{4} -6x^{2} +3, \\ {\ mathit {He}} _ {5} (x) & = x ^{5} -10x^{3}+15x, \\ {\ mathit {He}} _ {6} (x) & = x^{6} -15x^{4}+45x^{2} -15 , \\ {\ mathit {He}} _ {7} (x) & = x^{7} -21x^{5}+105x^{3} -105x, \\ {\ mathit {He}} _ { 8} (x) & = x^{8} -28x^{6}+210x^{4} -420x^{2} +105, \\ {\ mathit {He}} _ {9} (x) & = x^{9} -36x^{7}+378x^{5} -1260x^{3}+945x, \\ {\ mathit {He}} _ {10} (x) & = x^{10} -45x^{8}+630x^{6} -3150x^{4}+4725x^{2} -945. \ End {align}}}$

• De første elleve fysikerens eremittpolynomer er:

${\ displaystyle {\ begin {align} H_ {0} (x) & = 1, \\ H_ {1} (x) & = 2x, \\ H_ {2} (x) & = 4x^{2}- 2, \\ H_ {3} (x) & = 8x^{3} -12x, \\ H_ {4} (x) & = 16x^{4} -48x^{2} +12, \\ H_ { 5} (x) & = 32x^{5} -160x^{3}+120x, \\ H_ {6} (x) & = 64x^{6} -480x^{4}+720x^{2}- 120, \\ H_ {7} (x) & = 128x^{7} -1344x^{5}+3360x^{3} -1680x, \\ H_ {8} (x) & = 256x^{8}- 3584x^{6}+13440x^{4} -13440x^{2} +1680, \\ H_ {9} (x) & = 512x^{9} -9216x^{7}+48384x^{5} -80640x ^{3}+30240x, \\ H_ {10} (x) & = 1024x^{10} -23040x^{8}+161280x^{6} -403200x^{4}+302400x^{2} -30240. \ end {align}}}$

Egenskaper

Den n te ordens polynom Hermite er et polynom av grad n . Sannsynlighetens versjon He _n har ledende koeffisient 1, mens fysikerens versjon H _n har ledende koeffisient 2 ⁿ .

Ortogonalitet

H _n ( x ) , og han _n ( x ) er n th-grads polynom for n = 0, 1, 2, 3, ... . Disse polynomene er ortogonale med hensyn til vektfunksjonen ( mål )

${\ displaystyle w (x) = e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}} \ quad ({\ text {for}} {\ mathit {He}})}}$

eller

${\ displaystyle w (x) = e^{-x^{2}} \ quad ({\ text {for}} H),}$

dvs. vi har

${\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} H_ {m} (x) H_ {n} (x) \, w (x) \, dx = 0 \ quad {\ text {for alle} } m \ neq n.}$

Dessuten,

${\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} {\ mathit {He}} _ {m} (x) {\ mathit {He}} _ {n} (x) \, e^{- {\ frac {x^{2}} {2}}} \, dx = {\ sqrt {2 \ pi}} \, n! \, \ delta _ {nm},}$

eller

${\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} H_ {m} (x) H_ {n} (x) \, e^{-x^{2}} \, dx = {\ sqrt { \ pi}} \, 2^{n} n! \, \ delta _ {nm},}$

hvor er Kronecker -deltaet . ${\ displaystyle \ delta _ {nm}}$

Sannsynlighetspolynomene er således ortogonale med hensyn til standard normal sannsynlighetstetthetsfunksjon.

Fullstendighet

Hermittpolynomene (sannsynlighets- eller fysiker) danner et ortogonalt grunnlag for Hilbert -funksjonen som tilfredsstiller

${\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} {\ bigl |} f (x) {\ bigr |}^{2} \, w (x) \, dx <\ infty,}$

der det indre produktet er gitt av integralet

${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} f (x) {\ overline {g (x)}} \, w (x) \, dx}$

herunder Gaussisk vektfunksjon w ( x ) er definert i den foregående seksjon

Et ortogonalt grunnlag for L ² ( R , w ( x ) dx ) er et komplett ortogonalt system . For et ortogonalt system tilsvarer fullstendigheten det faktum at 0 -funksjonen er den eneste funksjonen f ∈ L ² ( R , w ( x ) dx ) ortogonal for alle funksjoner i systemet.

Siden det lineære spennet til eremittpolynomer er rommet til alle polynomene, må man vise (i fysiker tilfelle) at hvis f tilfredsstiller

${\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} f (x) x^{n} e^{-x^{2}} \, dx = 0}$

for hver n ≥ 0 , deretter f = 0 .

En mulig måte å gjøre dette på er å sette pris på at hele funksjonen

${\ displaystyle F (z) = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} f (x) e^{zx-x^{2}} \, dx = \ sum _ {n = 0}^{ \ infty} {\ frac {z^{n}} {n!}} \ int f (x) x^{n} e^{-x^{2}} \, dx = 0}$

forsvinner identisk. Det faktum at F ( it ) = 0 for hver ekte t betyr at Fourier -transformasjonen til f ( x ) e ^{- x 2} er 0, derfor er f 0 nesten overalt. Varianter av ovennevnte fullstendighetsbevis gjelder andre vekter med eksponentiell forfall.

I Hermite -saken er det også mulig å bevise en eksplisitt identitet som innebærer fullstendighet (se avsnittet om fullstendighetsforholdet nedenfor).

En ekvivalent formulering av det faktum at Hermite polynomer er en ortogonal basis for L ² ( R , w ( x ) dx ) består i å innføre Hermite funksjoner (se nedenfor), og i å si at de Hermite funksjonene er en ortonormal basis for L ² ( R ) .

Hermites differensialligning

Sannsynlighetsmannens eremittpolynomer er løsninger av differensialligningen

${\ displaystyle \ left (e^{-{\ frac {1} {2}} x^{2}} u '\ right)'+\ lambda e^{-{\ frac {1} {2}} x ^{2}} u = 0,}$

hvor λ er en konstant. Ved å pålegge grensebetingelsen om at u skal være polynomt begrenset ved uendelig, har ligningen bare løsninger hvis λ er et ikke-negativt heltall, og løsningen er unikt gitt av , hvor betegner en konstant. ${\ displaystyle u (x) = C_ {1} He _ {\ lambda} (x)}$${\ displaystyle C_ {1}}$

Omskriving av differensialligningen som et egenverdi -problem

${\ displaystyle L [u] = u ''-xu '=-\ lambda u,}$

Hermittpolynomene kan forstås som egenfunksjoner til differensialoperatoren . Dette egenverdi -problemet kalles Hermite -ligningen , selv om begrepet også brukes for den nært beslektede ligningen ${\ displaystyle He _ {\ lambda} (x)}$${\ displaystyle L [u]}$

${\ displaystyle u ''-2xu '=-2 \ lambda u.}$

hvis løsning er unikt gitt når det gjelder fysikerens eremittpolynomer i formen , der betegner en konstant, etter å ha pålagt grensebetingelsen om at u skulle være polynomt begrenset i det uendelige. ${\ displaystyle u (x) = C_ {1} H _ {\ lambda} (x)}$${\ displaystyle C_ {1}}$

De generelle løsningene på de ovennevnte andreordens differensialligninger er faktisk lineære kombinasjoner av både eremittpolynomer og konfluente hypergeometriske funksjoner av den første typen. For eksempel for fysikerens eremittligning

${\ displaystyle u ''-2xu '+2 \ lambda u = 0,}$

den generelle løsningen tar form

${\ displaystyle u (x) = C_ {1} H _ {\ lambda} (x)+C_ {2} h _ {\ lambda} (x),}$

hvor og er konstanter, er fysikerens eremittpolynomer (av den første typen), og er fysikerens eremittfunksjoner (av den andre typen). De sistnevnte funksjoner er kompakt representert som der er Konfluente hypergeometrisk funksjoner av den første typen . De konvensjonelle ermittpolynomene kan også uttrykkes i form av konfluente hypergeometriske funksjoner, se nedenfor. ${\ displaystyle C_ {1}}$${\ displaystyle C_ {2}}$${\ displaystyle H _ {\ lambda} (x)}$${\ displaystyle h _ {\ lambda} (x)}$${\ displaystyle h _ {\ lambda} (x) = {} _ {1} F_ {1} (-{\ tfrac {\ lambda} {2}}; {\ tfrac {1} {2}}; x^{ 2})}$${\ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (a; b; z)}$

Med mer generelle grensebetingelser kan Hermite-polynomene generaliseres for å oppnå mer generelle analytiske funksjoner for kompleks-verdsatt λ . En eksplisitt formel for eremittpolynomer når det gjelder konturintegraler ( Courant & Hilbert 1989 ) er også mulig.

Gjentagelsesforhold

Sekvensen av sannsynlighetsmannens eremittpolynomer tilfredsstiller også gjentakelsesforholdet

${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n+1} (x) = x {\ mathit {He}} _ {n} (x)-{\ mathit {He}} _ {n} '(x ).}$

Individuelle koeffisienter er relatert til følgende rekursjonsformel:

${\ displaystyle a_ {n+1, k} = {\ begin {cases} -na_ {n-1, k} & k = 0, \\ a_ {n, k-1} -na_ {n-1, k} & k> 0, \ end {cases}}}$

og en _0,0 = 1 , en _1,0 = 0 , en _1,1 = 1 .

For fysikerens polynomer, forutsatt

${\ displaystyle H_ {n} (x) = \ sum _ {k = 0}^{n} a_ {n, k} x^{k},}$

vi har

${\ displaystyle H_ {n+1} (x) = 2xH_ {n} (x) -H_ {n} '(x).}$

Individuelle koeffisienter er relatert til følgende rekursjonsformel:

${\ displaystyle a_ {n+1, k} = {\ begin {cases} -a_ {n, k+1} & k = 0, \\ 2a_ {n, k-1}-(k+1) a_ {n , k+1} & k> 0, \ end {cases}}}$

og en _0,0 = 1 , en _1,0 = 0 , en _1,1 = 2 .

Hermittpolynomene utgjør en Appell -sekvens , det vil si at de er en polynom sekvens som tilfredsstiller identiteten

${\ displaystyle {\ begynne {justert} {\ mathit {He}} _ {n} '(x) & = n {\ mathit {He}} _ {n-1} (x), \\ H_ {n} '(x) & = 2nH_ {n-1} (x). \ ende {justert}}}$

Tilsvarende, av Taylor-ekspanderende ,

${\ displaystyle {\ begynne {justert} {\ mathit {He}} _ {n} (x+y) & = \ sum _ {k = 0}^{n} {\ binom {n} {k}} x ^{nk} {\ mathit {He}} _ {k} (y) && = 2^{-{\ frac {n} {2}}} \ sum _ {k = 0}^{n} {\ binom {n} {k}} {\ mathit {He}} _ {nk} \ left (x {\ sqrt {2}} \ right) {\ mathit {He}} _ {k} \ left (y {\ sqrt {2}} \ høyre), \\ H_ {n} (x+y) & = \ sum _ {k = 0}^{n} {\ binom {n} {k}} H_ {k} (x) (2y)^{(nk)} && = 2^{-{\ frac {n} {2}}} \ cdot \ sum _ {k = 0}^{n} {\ binom {n} {k}} H_ {nk} \ venstre (x {\ sqrt {2}} \ høyre) H_ {k} \ venstre (y {\ sqrt {2}} \ høyre). \ Ende {justert}}}$

Disse paraplyidentitetene er åpenbare og inkludert i differensialoperatørrepresentasjonen som er beskrevet nedenfor,

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathit {He}} _ {n} (x) & = e^{-{\ frac {D^{2}} {2}}} x^{n}, \\ H_ {n} (x) & = 2^{n} e^{-{\ frac {D^{2}} {4}}} x^{n}. \ End {align}}}$

Følgelig gjelder følgende forhold for de m derivatene:

${\ displaystyle {\ begynne {justert} {\ mathit {He}} _ {n}^{(m)} (x) & = {\ frac {n!} {(nm)!}} {\ mathit {He }} _ {nm} (x) && = m! {\ binom {n} {m}} {\ mathit {He}} _ {nm} (x), \\ H_ {n}^{(m)} (x) & = 2^{m} {\ frac {n!} {(nm)!}} H_ {nm} (x) && = 2^{m} m! {\ binom {n} {m}} H_ {nm} (x). \ Ende {justert}}}$

Det følger at eremittpolynomene også tilfredsstiller gjentakelsesforholdet

${\ displaystyle {\ begynne {justert} {\ mathit {He}} _ {n+1} (x) & = x {\ mathit {He}} _ {n} (x) -n {\ mathit {He} } _ {n-1} (x), \\ H_ {n+1} (x) & = 2xH_ {n} (x) -2nH_ {n-1} (x). \ ende {justert}}}$

Disse siste forholdene, sammen med de innledende polynomene H ₀ ( x ) og H ₁ ( x ) , kan i praksis brukes til å beregne polynomene raskt.

Turans ulikheter er

${\ displaystyle {\ mathit {H}} _ {n} (x)^{2}-{\ mathit {H}} _ {n-1} (x) {\ mathit {H}} _ {n+1 } (x) = (n-1)! \ sum _ {i = 0}^{n-1} {\ frac {2^{ni}} {i!}} {\ mathit {H}} _ {i } (x)^{2}> 0.}$

Videre gjelder følgende multiplikasjonsteorem :

${\ displaystyle {\ begynne {justert} H_ {n} (\ gamma x) & = \ sum _ {i = 0}^{\ left \ lfloor {\ tfrac {n} {2}} \ right \ rfloor} \ gamma ^{n-2i} (\ gamma ^{2} -1) ^{i} {\ binom {n} {2i}} {\ frac {(2i)!} {i!}} H_ {n-2i } (x), \\ {\ mathit {He}} _ {n} (\ gamma x) & = \ sum _ {i = 0}^{\ left \ lfloor {\ tfrac {n} {2}} \ høyre \ rfloor} \ gamma ^{n-2i} (\ gamma ^{2} -1) ^{i} {\ binom {n} {2i}} {\ frac {(2i)!} {i!}} 2^{-i} {\ mathit {He}} _ {n-2i} (x). \ Ende {justert}}}$

Eksplisitt uttrykk

Fysikerens eremittpolynomer kan skrives eksplisitt som

${\ displaystyle H_ {n} (x) = {\ begin {cases} \ displaystyle n! \ sum _ {l = 0}^{\ frac {n} {2}} {\ frac {(-1)^{ {\ tfrac {n} {2}}-l}} {(2l)! \ venstre ({\ tfrac {n} {2}}-l \ høyre)!}} (2x)^{2l} og {\ tekst {for jevn}} n, \\\ displaystyle n! \ sum _ {l = 0}^{\ frac {n-1} {2}} {\ frac {(-1)^{{\ frac {n -1} {2}}-l}} {(2l+1)! \ Venstre ({\ frac {n-1} {2}}-l \ høyre)!}} (2x)^{2l+1} & {\ text {for odd}} n. \ end {cases}}}$

Disse to ligningene kan kombineres til en ved hjelp av gulvfunksjonen :

${\ displaystyle H_ {n} (x) = n! \ sum _ {m = 0}^{\ left \ lfloor {\ tfrac {n} {2}} \ right \ rfloor} {\ frac {(-1) ^{m}} {m! (n-2m)!}} (2x)^{n-2m}.}$

Sannsynlighetsmannens eremittpolynomer Han har lignende formler, som kan oppnås fra disse ved å erstatte effekten til 2 x med den tilsvarende kraften √ 2  x og multiplisere hele summen med 2 ^{- n/2}:

${\ displaystyle He_ {n} (x) = n! \ sum _ {m = 0}^{\ left \ lfloor {\ tfrac {n} {2}} \ right \ rfloor} {\ frac {(-1) ^{m}} {m! (n-2m)!}} {\ frac {x^{n-2m}} {2^{m}}}.}$

Omvendt eksplisitt uttrykk

Det omvendte av de eksplisitte uttrykkene ovenfor, det vil si de for monomier når det gjelder sannsynlighets Hermite -polynomer Han er

${\ displaystyle x^{n} = n! \ sum _ {m = 0}^{\ left \ lfloor {\ tfrac {n} {2}} \ right \ rfloor} {\ frac {1} {2^{ m} m! (n-2m)!}} He_ {n-2m} (x).}$

De tilsvarende uttrykkene for fysikerens eremittpolynomer H følger direkte ved å skalere dette på riktig måte:

${\ displaystyle x^{n} = {\ frac {n!} {2^{n}}} \ sum _ {m = 0}^{\ left \ lfloor {\ tfrac {n} {2}} \ right \ rfloor} {\ frac {1} {m! (n-2m)!}} H_ {n-2m} (x).}$

Genererer funksjon

Hermittpolynomene er gitt av den eksponentielle generasjonsfunksjonen

${\ displaystyle {\ begin {align} e^{xt-{\ frac {1} {2}} t^{2}} & = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ mathit {He }} _ {n} (x) {\ frac {t^{n}} {n!}}, \\ e^{2xt-t^{2}} & = \ sum _ {n = 0}^{ \ infty} H_ {n} (x) {\ frac {t^{n}} {n!}}. \ end {align}}}$

Denne likheten er gyldig for alle komplekse verdier av x og t , og kan oppnås ved å skrive Taylor -utvidelsen ved x av hele funksjonen z → e ^{- z 2} (i fysikerens tilfelle). Man kan også utlede (fysikerens) genererende funksjon ved å bruke Cauchys integrerte formel for å skrive eremittpolynomene som

${\ displaystyle H_ {n} (x) = (-1)^{n} e^{x^{2}} {\ frac {d^{n}} {dx^{n}}} e^{- x^{2}} = (-1)^{n} e^{x^{2}} {\ frac {n!} {2 \ pi i}} \ oint _ {\ gamma} {\ frac {e ^{-z^{2}}} {(zx)^{n+1}}} \, dz.}$

Bruker dette i summen

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0}^{\ infty} H_ {n} (x) {\ frac {t^{n}} {n!}},}$

man kan evaluere det gjenværende integralet ved hjelp av beregning av rester og komme frem til ønsket generasjonsfunksjon.

Forventede verdier

Hvis X er en tilfeldig variabel med normalfordeling med standardavvik 1 og forventet verdi μ , så

${\ displaystyle \ operatorname {\ mathbb {E}} \ left [{\ mathit {He}} _ {n} (X) \ right] = \ mu ^{n}.}$

Momentene til standardnormalen (med forventet verdi null) kan avleses direkte fra forholdet for jevne indekser:

${\ displaystyle \ operatorname {\ mathbb {E}} \ venstre [X^{2n} \ right] = (-1)^{n} {\ mathit {He}} _ {2n} (0) = (2n- 1)!!,}$

hvor (2 n - 1) !! er den doble faktoren . Vær oppmerksom på at uttrykket ovenfor er et spesielt tilfelle av representasjonen av sannsynlighetsmannens eremittpolynomer som øyeblikk:

${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} (x+ iy)^{n} e^{-{\ frac {y^{2}} {2}}} \, dy.}$

Asymptotisk ekspansjon

Asymptotisk, som n → ∞ , utvidelsen

${\ displaystyle e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) \ sim {\ frac {2^{n}} {\ sqrt {\ pi} }} \ Gamma \ venstre ({\ frac {n+1} {2}} \ høyre) \ cos \ venstre (x {\ sqrt {2n}}-{\ frac {n \ pi} {2}} \ høyre )}}$

stemmer. For visse tilfeller som gjelder et bredere evalueringsområde, er det nødvendig å inkludere en faktor for endring av amplitude:

${\ displaystyle e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) \ sim {\ frac {2^{n}} {\ sqrt {\ pi} }} \ Gamma \ venstre ({\ frac {n+1} {2}} \ høyre) \ cos \ venstre (x {\ sqrt {2n}}-{\ frac {n \ pi} {2}} \ høyre ) \ venstre (1-{\ frac {x^{2}} {2n+1}} \ høyre)^{-{\ frac {1} {4}}} = {\ frac {2 \ Gamma (n) } {\ Gamma \ venstre ({\ frac {n} {2}} \ høyre)}} \ cos \ venstre (x {\ sqrt {2n}}-{\ frac {n \ pi} {2}} \ høyre ) \ venstre (1-{\ frac {x^{2}} {2n+1}} \ høyre)^{-{\ frac {1} {4}}},}$

som ved hjelp av Stirlings tilnærming kan forenkles ytterligere, i grensen, til

${\ displaystyle e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) \ sim \ venstre ({\ frac {2n} {e}} \ høyre)^ {\ frac {n} {2}} {\ sqrt {2}} \ cos \ left (x {\ sqrt {2n}}-{\ frac {n \ pi} {2}} \ right) \ left (1 -{\ frac {x^{2}} {2n+1}} \ høyre)^{-{\ frac {1} {4}}}.}$

Denne utvidelsen er nødvendig for å løse bølgefunksjonen til en kvanteharmonisk oscillator slik at den stemmer overens med den klassiske tilnærmingen i grensen for korrespondanseprinsippet .

En bedre tilnærming, som står for variasjonen i frekvens, er gitt av

${\ displaystyle e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) \ sim \ venstre ({\ frac {2n} {e}} \ høyre)^ {\ frac {n} {2}} {\ sqrt {2}} \ cos \ left (x {\ sqrt {2n+1-{\ frac {x^{2}} {3}}}}-{\ frac {n \ pi} {2}} \ høyre) \ venstre (1-{\ frac {x^{2}} {2n+1}} \ høyre)^{-{\ frac {1} {4}} }.}$

En finere tilnærming, som tar hensyn til den ujevne avstanden mellom nullene nær kantene, gjør bruk av substitusjonen

${\ displaystyle x = {\ sqrt {2n+1}} \ cos (\ varphi), \ quad 0 <\ varepsilon \ leq \ varphi \ leq \ pi -\ varepsilon,}$

som man har den ensartede tilnærmingen til

${\ displaystyle e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) = 2^{{\ frac {n} {2}}+{\ frac { 1} {4}}} {\ sqrt {n!}} (\ Pi n)^{-{\ frac {1} {4}}} (\ sin \ varphi)^{-{\ frac {1} { 2}}} \ cdot \ left (\ sin \ left ({\ frac {3 \ pi} {4}}+\ left ({\ frac {n} {2}}+{\ frac {1} {4} } \ høyre) \ venstre (\ sin 2 \ varphi -2 \ varphi \ høyre) \ høyre)+O \ venstre (n^{ -1} \ høyre) \ høyre).}$

Lignende tilnærminger gjelder for de monotoniske og overgangsregionene. Nærmere bestemt hvis

${\ displaystyle x = {\ sqrt {2n+1}} \ cosh (\ varphi), \ quad 0 <\ varepsilon \ leq \ varphi \ leq \ omega <\ infty,}$

deretter

${\ displaystyle e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) = 2^{{\ frac {n} {2}}-{\ frac { 3} {4}}} {\ sqrt {n!}} (\ Pi n)^{-{\ frac {1} {4}}} (\ sinh \ varphi)^{-{\ frac {1} { 2}}} \ cdot e^{\ left ({\ frac {n} {2}}+{\ frac {1} {4}} \ right) \ left (2 \ varphi -\ sinh 2 \ varphi \ right )} \ venstre (1+O \ venstre (n^{-1} \ høyre) \ høyre),}$

mens for

${\ displaystyle x = {\ sqrt {2n+1}}+t}$

med t kompleks og avgrenset, er tilnærmingen

${\ displaystyle e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}} \ cdot H_ {n} (x) = \ pi^{\ frac {1} {4}} 2^{{\ frac {n} {2}}+{\ frac {1} {4}}} {\ sqrt {n!}} \, n^{-{\ frac {1} {12}}} \ venstre (\ operatorname {Ai} \ venstre (2^{\ frac {1} {2}} n^{\ frac {1} {6}} t \ høyre)+O \ venstre (n^{-{\ frac {2} { 3}}} \ right) \ right),}$

hvor Ai er den luftige funksjonen av den første typen.

Spesielle verdier

Fysikerens eremittpolynomer evaluert ved null argument H _n (0) kalles eremitt -tall .

${\ displaystyle H_ {n} (0) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {for odd}} n, \\ (-2)^{\ frac {n} {2}} (n-1) !! & {\ text {for even}} n, \ end {cases}}}$

som tilfredsstiller rekursjonsforholdet H _n (0) = −2 ( n - 1) H _{n - 2} (0) .

Når det gjelder sannsynlighetspolynomene, oversetter dette til

${\ displaystyle He_ {n} (0) = {\ begin {cases} 0 og {\ text {for odd}} n, \\ (-1)^{\ frac {n} {2}} (n-1) !! & {\ text {for jevne}} n. \ ende {saker}}}$

Forhold til andre funksjoner

Laguerre -polynomer

Hermittpolynomene kan uttrykkes som et spesialtilfelle av Laguerre -polynomene :

${\ displaystyle {\ begynne {justert} H_ {2n} (x) & = (-4)^{n} n! L_ {n}^{\ venstre (-{\ frac {1} {2}} \ høyre )} (x^{2}) && = 4^{n} n! \ sum _ {k = 0}^{n} (-1)^{nk} {\ binom {n-{\ frac {1} {2}}} {nk}} {\ frac {x^{2k}} {k!}}, \\ H_ {2n+1} (x) & = 2 (-4)^{n} n! XL_ {n}^{\ venstre ({\ frac {1} {2}} \ høyre)} (x^{2}) && = 2 \ cdot 4^{n} n! \ sum _ {k = 0}^ {n} (-1)^{nk} {\ binom {n+{\ frac {1} {2}}} {nk}} {\ frac {x^{2k+1}} {k!}}. \ slutt {align}}}$

Forholdet til konfluente hypergeometriske funksjoner

Fysikerens eremittpolynomer kan uttrykkes som et spesielt tilfelle av de parabolske sylinderfunksjonene :

${\ displaystyle H_ {n} (x) = 2^{n} U \ venstre (-{\ tfrac {1} {2}} n, {\ tfrac {1} {2}}, x^{2} \ Ikke sant)}$

i høyre halvplan , der U ( a , b , z ) er Tricomis sammenflytende hypergeometriske funksjon . På samme måte,

${\ displaystyle {\ begin {align} H_ {2n} (x) & = (-1)^{n} {\ frac {(2n)!} {n!}} \, _ {1} F_ {1} {\ big (} -n, {\ tfrac {1} {2}}; x^{2} {\ big)}, \\ H_ {2n+1} (x) & = (-1)^{n } {\ frac {(2n+1)!} {n!}} \, 2x \, _ {1} F_ {1} {\ big (} -n, {\ tfrac {3} {2}}; x ^{2} {\ big)}, \ end {align}}}$

hvor ₁ F ₁ ( a , b ; z ) = M ( a , b ; z ) er Kummers sammenflytende hypergeometriske funksjon .

Differensialoperatørrepresentasjon

Sannsynlighetsmannens eremittpolynomer tilfredsstiller identiteten

${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n} (x) = e^{-{\ frac {D^{2}} {2}}} x^{n},}$

hvor D representerer differensiering med hensyn til x , og eksponentiell tolkes ved å utvide den som en kraftserie . Det er ingen delikate spørsmål om konvergens av denne serien når den opererer på polynom, siden alle unntatt mange begreper forsvinner.

Siden eksponentiell effektseriekoeffisienter er velkjente, og derivater av monomial x ^{n av} høyere orden eksplisitt kan skrives ned, gir denne differensial-operatørrepresentasjonen en konkret formel for koeffisientene til H _n som kan brukes for raskt å beregne disse polynomene.

Siden det formelle uttrykket for Weierstrass -transformasjonen W er e ^{D 2} , ser vi at Weierstrass -transformasjonen av ( √ 2 ) ⁿ He _n (x/√ 2) er x ⁿ . I hovedsak gjør Weierstrass -transformasjonen dermed en serie eremittpolynomer til en tilsvarende Maclaurin -serie .

Eksistensen av en formell kraftserie g ( D ) med en null konstant koeffisient, slik at He _n ( x ) = g ( D ) x ⁿ , er en annen ekvivalent til utsagnet om at disse polynomene danner en Appell -sekvens . Siden de er en Appell -sekvens, er de fortiori en Sheffer -sekvens .

Konturintegrert representasjon

Fra representasjonsfunksjonen ovenfor ser vi at eremittpolynomene har en representasjon når det gjelder en konturintegral , som

${\ displaystyle {\ begynne {justert} {\ mathit {He}} _ {n} (x) & = {\ frac {n!} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} {\ frac {e ^{tx-{\ frac {t^{2}} {2}}}} {t^{n+1}}} \, dt, \\ H_ {n} (x) & = {\ frac {n !} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} {\ frac {e^{2tx-t^{2}}} {t^{n+1}}} \, dt, \ end {align} }}$

med konturen som omgir opprinnelsen.

Generaliseringer

Sannsynlighetsmannens eremittpolynomer definert ovenfor er ortogonale med hensyn til standard normal sannsynlighetsfordeling, hvis tetthetsfunksjon er

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}},}$

som har forventet verdi 0 og varians 1.

Skalering, man kan analogt snakke om generaliserte eremittpolynomer

${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n}^{[\ alpha]} (x)}$

av varians α , hvor α er et positivt tall. Disse er da ortogonale med hensyn til den normale sannsynlighetsfordelingen hvis tetthetsfunksjon er

${\ displaystyle (2 \ pi \ alpha)^{-{\ frac {1} {2}}} e^{-{\ frac {x^{2}} {2 \ alpha}}}.}$

De er gitt av

${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n} ^{[\ alpha]} (x) = \ alpha ^{\ frac {n} {2}} {\ mathit {He}} _ {n} \ venstre ({\ frac {x} {\ sqrt {\ alpha}}} \ right) = \ left ({\ frac {\ alpha} {2}} \ right)^{\ frac {n} {2}} H_ {n} \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {2 \ alpha}}} \ right) = e^{-{\ frac {\ alpha D^{2}} {2}}} \ left ( x^{n} \ høyre).}$

Nå, hvis

${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n}^{[\ alpha]} (x) = \ sum _ {k = 0}^{n} h_ {n, k}^{[\ alpha]} x^{k},}$

deretter den polynomiske sekvensen hvis n term er

${\ displaystyle \ left ({\ mathit {He}} _ {n}^{[\ alpha]} \ circ {\ mathit {He}}^{[\ beta]} \ right) (x) \ equiv \ sum _ {k = 0}^{n} h_ {n, k}^{[\ alpha]} \, {\ mathit {He}} _ {k}^{[\ beta]} (x)}$

kalles paraplykomposisjonen til de to polynomiske sekvensene. Det kan vises for å tilfredsstille identitetene

${\ displaystyle \ left ({\ mathit {He}} _ {n}^{[\ alpha]} \ circ {\ mathit {He}}^{[\ beta]} \ right) (x) = {\ mathit {He}} _ {n}^{[\ alfa +\ beta]} (x)}$

og

${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n}^{[\ alpha +\ beta]} (x +y) = \ sum _ {k = 0}^{n} {\ binom {n} {k }} {\ mathit {He}} _ {k}^{[\ alpha]} (x) {\ mathit {He}} _ {nk}^{[\ beta]} (y).}$

Den siste identiteten uttrykkes ved å si at denne parameteriserte familien av polynomiske sekvenser er kjent som en kryss-sekvens. (Se avsnittet ovenfor om Appell-sekvenser og om differensial-operatørrepresentasjonen , som fører til en klar avledning av den. Denne binomiske typen identitet, for α = β =1/2, har allerede blitt funnet i avsnittet ovenfor om #Recursion -forhold .)

"Negativ varians"

Siden polynomiske sekvenser danner en gruppe under drift av paraplysammensetning , kan man betegne med

${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n}^{[-\ alpha]} (x)}$

sekvensen som er omvendt til den som er betegnet på samme måte, men uten minustegnet, og dermed snakker om eremittpolynomer med negativ varians. For α> 0 er koeffisientene av bare de absolutte verdiene til de tilsvarende koeffisientene til . ${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n}^{[-\ alpha]} (x)}$${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n}^{[\ alpha]} (x)}$

Disse oppstår som øyeblikk med normale sannsynlighetsfordelinger: Det n. Øyeblikket av normalfordelingen med forventet verdi μ og varians σ ² er

${\ displaystyle E [X^{n}] = {\ mathit {He}} _ {n}^{[-\ sigma^{2}]} (\ mu),}$

hvor X er en tilfeldig variabel med den angitte normalfordelingen. Et spesielt tilfelle av kryss-sekvensidentiteten sier da det

${\ displaystyle \ sum _ {k = 0}^{n} {\ binom {n} {k}} {\ mathit {He}} _ {k}^{[\ alpha]} (x) {\ mathit { Han}} _ {nk}^{[-\ alpha]} (y) = {\ mathit {He}} _ {n}^{[0]} (x+y) = (x+y)^{n }.}$

applikasjoner

Eremittfunksjoner

Man kan definere eremittfunksjonene (ofte kalt hermitt-gaussiske funksjoner) fra fysikerens polynomer:

${\ displaystyle \ psi _ {n} (x) = \ left (2^{n} n! {\ sqrt {\ pi}} \ right)^{-{\ frac {1} {2}}} e^ {-{\ frac {x^{2}} {2}}} H_ {n} (x) = (-1)^{n} \ venstre (2^{n} n! {\ sqrt {\ pi} } \ høyre)^{-{\ frac {1} {2}}} e^{\ frac {x^{2}} {2}} {\ frac {d^{n}} {dx^{n} }} e^{-x^{2}}.}$

Og dermed,

${\ displaystyle {\ sqrt {2 (n+1)}} ~~ \ psi _ {n+1} (x) = \ left (x- {d \ over dx} \ right) \ psi _ {n} ( x).}$

Siden disse funksjonene inneholder kvadratroten til vektfunksjonen og er skalert på riktig måte, er de ortonormale :

${\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ psi _ {n} (x) \ psi _ {m} (x) \, dx = \ delta _ {nm},}$

og de danner et ortonormalt grunnlag for L ² ( R ) . Dette faktum tilsvarer den tilsvarende uttalelsen for eremittpolynomer (se ovenfor).

Hermite -funksjonene er nært knyttet til Whittaker -funksjonen ( Whittaker & Watson 1996 ) D _n ( z ) :

${\ displaystyle D_ {n} (z) = \ left (n! {\ sqrt {\ pi}} \ right)^{\ frac {1} {2}} \ psi _ {n} \ left ({\ frac {z} {\ sqrt {2}}} \ right) = (-1)^{n} e^{\ frac {z^{2}} {4}} {\ frac {d^{n}} { dz^{n}}} e^{\ frac {-z^{2}} {2}}}$

og dermed til andre parabolske sylinderfunksjoner .

Hermittfunksjonene tilfredsstiller differensialligningen

${\ displaystyle \ psi _ {n} '' (x)+\ venstre (2n+1-x^{2} \ høyre) \ psi _ {n} (x) = 0.}$

Denne ligningen tilsvarer Schrödinger -ligningen for en harmonisk oscillator i kvantemekanikk, så disse funksjonene er egenfunksjonene .

${\ displaystyle {\ begynne {justert} \ psi _ {0} (x) & = \ pi ^{-{\ frac {1} {4}}} \, e ^{-{\ frac {1} {2 }} x ^{2}}, \\\ psi _ {1} (x) & = {\ sqrt {2}} \, \ pi ^{-{\ frac {1} {4}}} \, x \, e^{-{\ frac {1} {2}} x^{2}}, \\\ psi _ {2} (x) & = \ left ({\ sqrt {2}} \, \ pi ^{\ frac {1} {4}} \ right)^{-1} \, \ left (2x^{2} -1 \ right) \, e^{-{\ frac {1} {2}} x^{2}}, \\\ psi _ {3} (x) & = \ left ({\ sqrt {3}} \, \ pi^{\ frac {1} {4}} \ høyre)^{ -1} \, \ venstre (2x^{3} -3x \ høyre) \, e^{-{\ frac {1} {2}} x^{2}}, \\\ psi _ {4} ( x) & = \ venstre (2 {\ sqrt {6}} \, \ pi^{\ frac {1} {4}} \ høyre)^{-1} \, \ venstre (4x^{4} -12x ^{2} +3 \ høyre) \, e^{-{\ frac {1} {2}} x^{2}}, \\\ psi _ {5} (x) & = \ left (2 { \ sqrt {15}} \, \ pi^{\ frac {1} {4}} \ høyre)^{-1} \, \ venstre (4x^{5} -20x^{3}+15x \ høyre) \, e^{-{\ frac {1} {2}} x^{2}}. \ end {align}}}$

Rekursjonsforhold

Etter rekursjonsforhold mellom eremittpolynomer, følger hermittfunksjonene

${\ displaystyle \ psi _ {n} '(x) = {\ sqrt {\ frac {n} {2}}} \, \ psi _ {n-1} (x)-{\ sqrt {\ frac {n +1} {2}}} \ psi _ {n+1} (x)}$

og

${\ displaystyle x \ psi _ {n} (x) = {\ sqrt {\ frac {n} {2}}} \, \ psi _ {n-1} (x)+{\ sqrt {\ frac {n +1} {2}}} \ psi _ {n+1} (x).}$

Utvidelse av den første relasjonen til de vilkårlige m th -derivatene for et positivt heltall m fører til

${\ displaystyle \ psi _ {n}^{(m)} (x) = \ sum _ {k = 0}^{m} {\ binom {m} {k}} (-1)^{k} 2 ^{\ frac {mk} {2}} {\ sqrt {\ frac {n!} {(n-m+k)!}}} \ psi _ {n-m+k} (x) {\ mathit { Han}} _ {k} (x).}$

Denne formelen kan brukes i forbindelse med gjentakelsesrelasjonene for He _n og ψ _{n for} å beregne eventuelle derivater av eremittfunksjonene effektivt.

Cramérs ulikhet

For ekte x tilfredsstiller Hermite -funksjonene følgende begrensning på grunn av Harald Cramér og Jack Indritz:

${\ displaystyle {\ bigl |} \ psi _ {n} (x) {\ bigr |} \ leq \ pi ^{-{\ frac {1} {4}}}.}$

Hermitt fungerer som egenfunksjoner til Fourier -transformasjonen

Hermite funksjoner Y gis _n ( x ) er et sett av egenfunksjonene den kontinuerlige Fourier-transformasjonen F . For å se dette, ta fysikerens versjon av generasjonsfunksjonen og multipliser med e ^{-1/2x 2} . Dette gir

${\ displaystyle e^{-{\ frac {1} {2}} x^{2}+2xt-t^{2}} = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} e^{-{ \ frac {1} {2}} x^{2}} H_ {n} (x) {\ frac {t^{n}} {n!}}.}$

Fourier -transformasjonen på venstre side er gitt av

${\ displaystyle {\ begynne {justert} {\ mathcal {F}} \ venstre \ {e^{-{\ frac {1} {2}} x^{2}+2xt-t^{2}} \ høyre \} (k) & = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-ixk} e^{-{\ frac { 1} {2}} x^{2}+2xt-t^{2}} \, dx \\ & = e^{-{\ frac {1} {2}} k^{2} -2kit+t ^{2}} \\ & = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} e^{-{\ frac {1} {2}} k^{2}} H_ {n} (k) { \ frac {(-it)^{n}} {n!}}. \ ende {justert}}}$

Fouriers transformasjon på høyre side er gitt av

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ left \ {\ sum _ {n = 0}^{\ infty} e^{-{\ frac {1} {2}} x^{2}} H_ {n } (x) {\ frac {t^{n}} {n!}} \ right \} = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ mathcal {F}} \ left \ {e^ {-{\ frac {1} {2}} x^{2}} H_ {n} (x) \ høyre \} {\ frac {t^{n}} {n!}}.}$

Likestilling som t -krefter i de transformerte versjonene av venstre og høyre side gir endelig utbytte

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ left \ {e^{-{\ frac {1} {2}} x^{2}} H_ {n} (x) \ right \} = (-i) ^{n} e^{-{\ frac {1} {2}} k^{2}} H_ {n} (k).}$

Hermittfunksjonene ψ _n ( x ) er dermed et ortonormalt grunnlag for L ² ( R ) , som diagonaliserer Fourier -transformatoren .

Wigner -distribusjoner av Hermite -funksjoner

Den Wigner Fordelingsfunksjonen av den n te ordens Hermite funksjon er knyttet til den n- te ordens Laguerre polynom . Laguerre -polynomene er

${\ displaystyle L_ {n} (x): = \ sum _ {k = 0}^{n} {\ binom {n} {k}} {\ frac {(-1)^{k}} {k! }} x^{k},}$

som fører til oscillatoren Laguerre -funksjoner

${\ displaystyle l_ {n} (x): = e^{-{\ frac {x} {2}}} L_ {n} (x).}$

For alle naturlige heltall n er det greit å se det

${\ displaystyle W _ {\ psi _ {n}} (t, f) = (-1)^{n} l_ {n} {\ big (} 4 \ pi (t^{2}+f^{2} ){\stor )},}$

hvor Wigner -fordelingen av en funksjon x ∈ L ² ( R , C ) er definert som

${\ displaystyle W_ {x} (t, f) = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} x \ venstre (t+{\ frac {\ tau} {2}} \ høyre) \, x \ venstre (t-{\ frac {\ tau} {2}} \ right)^{*} \, e^{-2 \ pi i \ tau f} \, d \ tau.}$

Dette er et grunnleggende resultat for den kvanteharmoniske oscillatoren som Hip Groenewold oppdaget i 1946 i sin doktoravhandling. Det er standardparadigmet for kvantemekanikk i faserommet .

Det er ytterligere forhold mellom de to polynomfamiliene.

Kombinatorisk tolkning av koeffisienter

I Hermite -polynomet He _n ( x ) av varians 1 er den absolutte verdien av koeffisienten x ^k antall (uordnede) partisjoner av et n -element satt i k singletoner ogn - k/2(uordnet) par. Tilsvarende er det antall involusjoner av et n -element sett med nøyaktig k faste punkter, eller med andre ord, antall matchninger i den komplette grafen på n hjørner som lar k -hjørner være dekket (faktisk er Hermite -polynomene matchende polynom av disse grafene). Summen av de absolutte verdiene til koeffisientene gir det totale antallet partisjoner i singletoner og par, de såkalte telefonnumrene

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, ... (sekvens A000085 i OEIS ).

Denne kombinatoriske tolkningen kan relateres til komplette eksponensielle Bell -polynomer som

${\ displaystyle {\ mathit {He}} _ {n} (x) = B_ {n} (x, -1,0, \ ldots, 0),}$

hvor x _i = 0 for alle i > 2 .

Disse tallene kan også uttrykkes som en spesiell verdi av eremittpolynomene:

${\ displaystyle T (n) = {\ frac {{\ mathit {He}} _ {n} (i)} {i^{n}}}.}$

Fullstendighetsforhold

Den Christoffel-Darboux formel for Hermite polynomer leser

${\ displaystyle \ sum _ {k = 0}^{n} {\ frac {H_ {k} (x) H_ {k} (y)} {k! 2^{k}}} = {\ frac {1 } {n! 2^{n+1}}} \, {\ frac {H_ {n} (y) H_ {n+1} (x) -H_ {n} (x) H_ {n+1} ( y)} {xy}}.}$

Videre holder følgende fullstendighetsidentitet for ovennevnte eremittfunksjoner i betydningen fordelinger :

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0}^{\ infty} \ psi _ {n} (x) \ psi _ {n} (y) = \ delta (xy),}$

hvor δ er Dirac delta -funksjonen , ψ _n Hermite -funksjonene, og δ ( x - y ) representerer Lebesgue -målet på linjen y = x i R ² , normalisert slik at dets projeksjon på den horisontale aksen er det vanlige Lebesgue -målet.

Denne fordelingsidentiteten følger Wiener (1958) ved å ta u → 1 i Mehlers formel , gyldig når −1 < u <1 :

${\ displaystyle E (x, y; u): = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} u^{n} \, \ psi _ {n} (x) \, \ psi _ {n} (y) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ pi (1-u^{2})}}} \, \ exp \ left (-{\ frac {1-u} {1+u}} \, {\ frac {(x+y)^{2}} {4}}-{\ frac {1+u} {1-u}} \, {\ frac {(xy)^{2}} { 4}} \ høyre),}$

som ofte er ekvivalent angitt som en separerbar kjerne,

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {H_ {n} (x) H_ {n} (y)} {n!}} \ venstre ({\ frac {u} { 2}} \ right)^{n} = {\ frac {1} {\ sqrt {1-u^{2}}}} e^{{\ frac {2u} {1+u}} xy-{\ frac {u^{2}} {1-u^{2}}} (xy)^{2}}.}$

Funksjonen ( x , y ) → E ( x , y ; u ) er den bivariate Gaussiske sannsynlighetstettheten på R ² , som er, når u er nær 1, veldig konsentrert rundt linjen y = x , og veldig spredt på den linjen. Det følger at

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0}^{\ infty} u^{n} \ langle f, \ psi _ {n} \ rangle \ langle \ psi _ {n}, g \ rangle = \ iint E ( x, y; u) f (x) {\ overline {g (y)}} \, dx \, dy \ to \ int f (x) {\ overline {g (x)}} \, dx = \ langle f, g \ rangle}$

når f og g er kontinuerlige og kompakt støttede.

Dette gir at f kan uttrykkes i eremittfunksjoner som summen av en serie vektorer i L ² ( R ) , nemlig,

${\ displaystyle f = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} \ langle f, \ psi _ {n} \ rangle \ psi _ {n}.}$

For å bevise likheten ovenfor for E ( x , y ; u ) , brukes Fourier -transformasjonen av gaussiske funksjoner gjentatte ganger:

${\ displaystyle \ rho {\ sqrt {\ pi}} e^{-{\ frac {\ rho^{2} x^{2}} {4}}} = \ int e^{isx-{\ frac { s ^{2}} {\ rho ^{2}}}} \, ds \ quad {\ text {for}} \ rho> 0.}$

Hermittpolynomet blir deretter representert som

${\ displaystyle H_ {n} (x) = (-1)^{n} e^{x^{2}} {\ frac {d^{n}} {dx^{n}}} \ venstre ({ \ frac {1} {2 {\ sqrt {\ pi}}}} \ int e^{isx-{\ frac {s^{2}} {4}}} \, ds \ right) = (-1) ^{n} e^{x^{2}} {\ frac {1} {2 {\ sqrt {\ pi}}}} \ int (is)^{n} e^{isx-{\ frac {s ^{2}} {4}}} \, ds.}$

Med denne representasjonen for H _n ( x ) og H _n ( y ) er det tydelig at

${\ displaystyle {\ begin {align} E (x, y; u) & = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {u^{n}} {2^{n} n! {\ sqrt {\ pi}}}} \, H_ {n} (x) H_ {n} (y) e^{-{\ frac {x^{2}+y^{2}} {2}} } \\ & = {\ frac {e^{\ frac {x^{2}+y^{2}} {2}}} {4 \ pi {\ sqrt {\ pi}}}} \ iint \ venstre (\ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {1} {2^{n} n!}} (-ust)^{n} \ right) e^{isx+ity-{\ frac {s^{2}} {4}}-{\ frac {t^{2}} {4}}} \, ds \, dt \\ & = {\ frac {e^{\ frac {x^ {2}+y^{2}} {2}}} {4 \ pi {\ sqrt {\ pi}}}} \ iint e^{-{\ frac {ust} {2}}} \, e^ {isx+ity-{\ frac {s^{2}} {4}}-{\ frac {t^{2}} {4}}} \, ds \, dt, \ end {align}}}$

og dette gir ønsket oppløsning av identitetsresultatet, ved å bruke Fourier -transformasjonen av Gauss -kjerner igjen under substitusjonen

${\ displaystyle s = {\ frac {\ sigma +\ tau} {\ sqrt {2}}}, \ quad t = {\ frac {\ sigma -\ tau} {\ sqrt {2}}}.}$

Se også

Merknader

Referanser

Eksterne linker

• Medier relatert til eremittpolynomer på Wikimedia Commons
• Weisstein, Eric W. "Hermittpolynom" . MathWorld .
• GNU Scientific Library - inkluderer C -versjon av Hermite -polynomer, funksjoner, deres derivater og nuller (se også GNU Scientific Library )