Kasner-metrikk - Kasner metric
Den Kasner metriske (utviklet av og oppkalt etter den amerikanske matematikeren Edward Kasner i 1921) er en eksakt løsning til Einstein 's teori om generell relativitet . Den beskriver et anisotropisk univers uten materie (dvs. det er en vakuumløsning ). Det kan skrives i alle rom og tid dimensjon og har sterke forbindelser med studiet av gravitasjons kaos .
Metriske forhold
Den metrisk i romtid dimensjoner er
- ,
og inneholder konstanter , kalt Kasner-eksponentene. Metrikken beskriver en romtid hvor like tidskiver er romlig flate, men rommet utvides eller trekker seg sammen med forskjellige hastigheter i forskjellige retninger, avhengig av verdiene til . Testpartikler i denne metrikken hvis tilhørende koordinat skiller seg ut er atskilt med en fysisk avstand .
Kasner-metrikken er en nøyaktig løsning på Einsteins ligninger i vakuum når Kasner-eksponentene tilfredsstiller følgende Kasner-forhold,
Den første tilstanden definerer et fly , Kasner-flyet, og den andre beskriver en sfære , Kasner-sfæren. Løsningene (valgene om ) som tilfredsstiller de to forholdene ligger derfor på sfæren der de to skjærer hverandre (noen ganger forvirrende også kalt Kasner-sfæren). I romtidsdimensjoner ligger derfor løsningenes rom på en dimensjonær sfære .
Egenskaper
Det er flere merkbare og uvanlige funksjoner ved Kasner-løsningen:
- Volumet av de romlige skivene er alltid . Dette er fordi volumet deres er proporsjonalt med , og
- hvor vi har brukt den første Kasner-tilstanden. Derfor kan beskrives enten en Big Bang eller en Big Crunch , avhengig av følelsen av
- Isotropisk utvidelse eller sammentrekning av plass er ikke tillatt. Hvis de romlige skivene ekspanderte isotropisk, må alle Kasner-eksponentene være like, og derfor for å tilfredsstille den første Kasner-tilstanden. Men da kan ikke den andre Kasner-tilstanden være oppfylt, for
- Den Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker beregning som anvendes i kosmologi , derimot, er i stand til å utvide seg eller trekke isotropisk på grunn av tilstedeværelsen av materie.
- Med litt mer arbeid kan man vise at minst en Kasner-eksponent alltid er negativ (med mindre vi er på en av løsningene med en enkelt , og resten forsvinner). Anta at vi tar tidskoordinaten til å øke fra null. Så innebærer dette at mens volumet av plass øker som , faktisk trekker minst en retning (tilsvarende den negative Kasner-eksponenten) .
- Kasner-metrikken er en løsning på vakuumet Einstein-ligningene, og Ricci-tensoren forsvinner alltid for ethvert valg av eksponenter som tilfredsstiller Kasner-forholdene. Den fulle Riemann-tensoren forsvinner bare når en singel og resten forsvinner, i så fall er plassen flat. Minkowski-metrikken kan gjenvinnes via koordinattransformasjonen og .
Se også
Merknader
referanser
- Misner, Charles W .; Kip S. Thorne; John Archibald Wheeler (september 1973). Gravitasjon . San Francisco: WH Freeman . ISBN 0-7167-0344-0 .