Hamilton – Jacobi – Einstein ligning - Hamilton–Jacobi–Einstein equation

Del av en serie artikler om
Generell relativitet
${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$
Introduksjon Historie Matematisk formulering Tester
Grunnleggende konsepter Prinsippet om relativitet Relativitetsteorien Generell kovarians Samtidighet Relativitet av samtidighet Relativ bevegelse Begivenhet Referanseramme Treghet referanseramme Masse Treghetsmasse Hvileramme Center-of-momentum frame Krumning Geodetikk Geon Likestillingsprinsipp Masse i generell relativitet Mass – energi-ekvivalens Invariant Invariant masse Romtidssymmetrier Spesiell relativitet Dobbelt spesiell relativitet de Sitter invariant spesiell relativitet Skala relativitet Lysets hastighet Tidsderivat Riktig tid Riktig lengde Lengdekontraksjon Handling på avstand Prinsipp for lokalitet Riemannian geometri Energitilstand
Fenomener Gravitoelektromagnetisme Kepler-problem Tyngdekraft Gravitasjonsfelt Tyngdekraften godt Gravitasjonslinse Gravitasjonsbølger Gravitasjons rødskift Rødforskyvning Blueshift Tidsdilatasjon Gravitasjonstid utvidelse Shapiro tidsforsinkelse Gravitasjonspotensial Gravitasjonskompresjon Gravitasjonssammenbrudd Rammesleep Geodetisk effekt Tilsynelatende horisont Begivenhetshorisont Gravitasjons singularitet Naken singularitet Svart hull Hvitt hull Romtid Tidens pil Lett kjegle Verdenslinje Tredimensjonalt rom Fire-dimensjonalt rom Rom Tid Manifold Glatt manifold Riemannian manifold Konfigurasjonsplass Statlig rom Faseplass Hilbert plass Euklidisk rom Topologisk rom Topologisk mangel Romtidsdiagrammer Minkowski romtid Lorentz skalar Lukket tidaktig kurve (CTC) Ormehull Ellis ormehull
Ligninger Formalismer Ligninger Linearisert tyngdekraft Einstein feltligninger Friedmann Geodesikk Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Kurvatur invariant (generell relativitet) Lorentz transformasjon Lorentzian manifold Globalt hyperbolsk manifold Årsakssammenheng Årsaksstruktur Formalismer ADM BSSN Newman – Penrose Post-Newtonian Avansert teori Brans – Dicke teori Kosmisk sensurhypotese Kaluza – Klein teori Kvantegravitasjon Overvekt
Løsninger Relativistisk disk Schwarzschild ( interiør ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker pp-bølge van Stockum støv Weyl – Lewis – Papapetrou Vakuumløsning
Setninger Birkhoffs teorem Gerochs splittede setning Goldberg – Sachs teorem Lovelocks teorem No-hair teorem Penrose – Hawking singularitetssetninger Positiv energisetning
Forskere Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Wheeler Robertson Bardeen Walker Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri skredder Hulse van Stockum Taub Ny mann Yau Thorne andre
v t e

I generell relativitets , den Hamilton-Jacobi-Einsteins ligning ( HJEE ) eller Einstein-Hamilton-Jacobi ligning ( EHJE ) er en ligning i Hamilton-formulering av geometrodynamics i superspace , støpt i "geometrodynamics era" rundt 1960, ved Asher Peres i 1962 og andre. Det er et forsøk på å omformulere generell relativitetsteori på en slik måte at den ligner kvanteteori innenfor en semiklassisk tilnærming, omtrent som korrespondansen mellom kvantemekanikk og klassisk mekanikk .

Den er oppkalt etter Albert Einstein , Carl Gustav Jacob Jacobi og William Rowan Hamilton . EHJE inneholder like mye informasjon som alle ti Einstein feltligninger (EFE). Det er en modifikasjon av Hamilton – Jacobi-ligningen (HJE) fra klassisk mekanikk , og kan avledes fra Einstein – Hilbert-handlingen ved å bruke prinsippet om minst handling i ADM-formalismen .

Bakgrunn og motivasjon

Korrespondanse mellom klassisk og kvantefysikk

I klassiske analytiske mekanikk , er dynamikken i systemet oppsummeres ved virkningen S . I kvanteteori, nemlig ikke-relativistisk kvantemekanikk (QM), relativistisk kvantemekanikk (RQM), så vel som kvantefeltteori (QFT), med varierende tolkninger og matematiske formalismer i disse teoriene, er oppførselen til et system fullstendig inneholdt i en kompleks verdsatt sannsynlighetsamplitude Ψ (mer formelt som en kvantetilstand ket | Ψ⟩ - et element i et Hilbert-rom ). Ved å bruke den polære formen til bølgefunksjonen, gjør du en Madelung-transformasjon:

${\ displaystyle \ Psi = {\ sqrt {\ rho}} e ^ {iS / \ hbar}}$

den fase av Ψ tolkes som handlingen, og modulus √ p = √ Ψ * Ψ = | Ψ | tolkes i henhold til Københavns tolkning som sannsynlighetstetthetsfunksjonen . Den reduserte Planck-konstanten ħ er kvanten av vinkelmomentet . Substitusjon av dette i den kvante generelle Schrödinger-ligningen (SE):

${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t}} = {\ hat {H}} \ Psi \ ,,}$

og tar grensen ħ → 0 gir den klassiske HJE:

${\ displaystyle - {\ frac {\ partial S} {\ partial t}} = H \ ,,}$

som er ett aspekt av korrespondanseprinsippet .

Mangler i firedimensjonal romtid

På den annen side er det vanskelig å gjøre overgangen mellom kvanteteori og generell relativitet (GR); en årsak er behandlingen av rom og tid i disse teoriene. I ikke-relativistisk QM er ikke rom og tid på lik linje; tid er en parameter mens posisjon er en operatør . I RQM og QFT returnerer posisjonen til de vanlige romlige koordinatene ved siden av tidskoordinaten, selv om disse teoriene bare er konsistente med SR i det firedimensjonale flate Minkowski-rommet , og ikke buet rom eller GR. Det er mulig å formulere kvantefeltteori i buet romtid , men selv dette kan fremdeles ikke inkorporere GR fordi tyngdekraften ikke kan renormaliseres i QFT. I tillegg beveger partikler i GR seg gjennom buet romtid med en deterministisk kjent posisjon og momentum til hvert øyeblikk, mens i kvanteteori kan ikke en partikkels posisjon og moment være nøyaktig kjent samtidig; rom x og momentum p , og energi E og tid t , er parvis underlagt usikkerhetsprinsippene

${\ displaystyle \ Delta x \ Delta p \ geq {\ frac {\ hbar} {2}}, \ quad \ Delta E \ Delta t \ geq {\ frac {\ hbar} {2}} \ ,,}$

som antyder at små intervaller i rom og tid betyr store svingninger i energi og momentum er mulige. Siden i GR masse – energi og momentum – energi er kilden til romtidens krumning , kan store svingninger i energi og momentum bety at ”stoffet” i romtiden potensielt kan bli så forvrengt at det brytes opp i tilstrekkelig små skalaer. Det er teoretisk og eksperimentell bevis fra QFT om at vakuum har energi siden bevegelsen til elektroner i atomer er svingende, dette er relatert til lamskiftet . Av disse og andre grunnene antas rom og tid i stadig små skalaer å være dynamiske opp til Planck-lengden og Planck- tidsskalaene.

I alle fall er et firedimensjonalt buet romtidskontinuum et veldefinert og sentralt trekk ved generell relativitet, men ikke i kvantemekanikken.

Ligning

Et forsøk på å finne en ligning som styrer dynamikken i et system, på en så nær måte som mulig til QM og GR, er å omformulere HJE i et tredimensjonalt buet rom forstått å være "dynamisk" (endring med tiden), og ikke firedimensjonal romtidsdynamikk i alle fire dimensjoner, slik EFE er. Plassen har en beregning (se beregningsområdet for detaljer).

Den metriske tensoren i generell relativitet er et essensielt objekt, siden riktig tid , buelengde , geodesisk bevegelse i buet romtid og andre ting, alt avhenger av beregningen. HJE ovenfor er modifisert for å inkludere beregningen, selv om det bare er en funksjon av de 3d romlige koordinatene r , (for eksempel r = ( x , y , z ) i kartesiske koordinater ) uten koordinattiden t :

${\ displaystyle g_ {ij} = g_ {ij} (\ mathbf {r}) \ ,.}$

I denne sammenheng er g _ij referert til som "metrisk felt" eller bare "felt".

Generell ligning (ledig buet plass)

For en fri partikkel i buet " tomt rom " eller "ledig rom", dvs. i fravær av annen materie enn selve partikkelen, kan ligningen skrives:

hvor g er den bestemmende faktor for den metriske tensor og R den Ricci skalar krumningen av den 3d geometri (ikke inkludert tid), og " δ " i stedet for " d " betegner variasjons derivat i stedet for den vanlige derivatet . Disse derivatene tilsvarer feltmomentet "konjugert til det metriske feltet":

${\ displaystyle \ pi ^ {ij} (\ mathbf {r}) = \ pi ^ {ij} = {\ frac {\ delta S} {\ delta g_ {ij}}} \ ,,}$

hastigheten på endring av handling med hensyn til feltkoordinatene g _ij ( r ) . Den g og π her er analoge med q og p = ∂ S / ∂ q henholdsvis, i klassisk Hamilton-mekanikk . Se kanoniske koordinater for mer bakgrunn.

Ligningen beskriver hvordan bølgefronter med konstant handling forplanter seg i superrom - når dynamikken til materiebølger av en fri partikkel utfolder seg i et buet rom. Ytterligere kildeuttrykk er nødvendig for å redegjøre for tilstedeværelsen av ekstra påvirkning på partikkelen, som inkluderer tilstedeværelsen av andre partikler eller fordeling av materie (som bidrar til romkrumning), og kilder til elektromagnetiske felt som påvirker partikler med elektrisk ladning eller spinn . I likhet med Einstein-feltligningene, er den ikke-lineær i metrisk på grunn av produktene til de metriske komponentene, og som HJE er den ikke-lineær i handlingen på grunn av produktet av variasjonsderivater i handlingen.

Det kvantemekaniske konseptet, at handlingen er fasen til bølgefunksjonen, kan tolkes fra denne ligningen som følger. Fasen må tilfredsstille prinsippet om minste handling; det må være stasjonært for en liten endring i systemets konfigurasjon, med andre ord for en liten endring i partikkelposisjonen, som tilsvarer en liten endring i de metriske komponentene;

${\ displaystyle g_ {ij} \ rightarrow g_ {ij} + \ delta g_ {ij} \ ,,}$

den lette endringen i fase er null:

${\ displaystyle \ delta S = \ int {\ frac {\ delta S} {\ delta g_ {ij} (\ mathbf {r})}} \ delta g_ {ij} (\ mathbf {r}) \ mathrm {d } ^ {3} \ mathbf {r} = 0 \ ,,}$

(hvor d ³ r er volumelementet til volumintegralet ). Så den konstruktive forstyrrelsen av materiebølgene er et maksimum. Dette kan uttrykkes ved superposisjonsprinsippet ; anvendt på mange ikke-lokaliserte bølgefunksjoner spredt over det buede rommet for å danne en lokalisert bølgefunksjon:

${\ displaystyle \ Psi = \ sum _ {n} c_ {n} \ psi _ {n} \ ,,}$

for noen koeffisienter c _n , og i tillegg må handlingen (fase) S _n for hver ψ _n tilfredsstille:

${\ displaystyle \ delta S = S_ {n + 1} -S_ {n} = 0 \ ,,}$

for alle n , eller tilsvarende,

${\ displaystyle S_ {1} = S_ {2} = \ cdots = S_ {n} = \ cdots \ ,.}$

Regioner der Ψ er maksimal eller minimal forekommer på punkter der det er sannsynlighet for å finne partikkelen der, og der handlings (fase) endring er null. Så i EHJE ovenfor er hver bølgefront med konstant handling der partikkelen kunne bli funnet.

Denne ligningen "forener" fremdeles ikke kvantemekanikk og generell relativitet, fordi den semiklassiske Eikonal-tilnærmingen i forbindelse med kvanteteori og generell relativitet er blitt brukt, for å gi en overgang mellom disse teoriene.

applikasjoner

Ligningen tar forskjellige kompliserte former i:

• Kvantegravitasjon
• Kvantekosmologi

Se også

• Foliering
• Kvantegeometri
• Quantum romtid
• Beregning av variasjoner
• Ligningen er også relatert til Wheeler – DeWitt-ligningen .
• Peres beregning

Referanser

Merknader

Videre lesning

Bøker

• JL Lopes (1977). Kvantemekanikk, et halvt århundre senere: Papers of a Colloquium on Fifty Years of Quantum Mechanics . Strasbourg, Frankrike: Springer, Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-90-277-0784-0.
• C. Rovelli (2004). Quantum Gravity . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83733-0.
• C. Kiefer (2012). Quantum Gravity (3. utgave). Oxford University Press . ISBN 978-0-19-958520-5.
• JK Glikman (1999). Mot kvantegravitasjon: Fremgangsmåten fra XXXV International Winter School on Theoretical Physics . Polanica, Polen: Springer. s. 224. ISBN 978-3-540-66910-4.
• LZ Fang; R. Ruffini (1987). Kvantekosmologi . Avansert serie i astrofysikk og kosmologi. 3 . Verdens vitenskapelig . ISBN 978-9971-5-0312-3.

Utvalgte papirer

• T. Banks (1984). "TCP, Quantum Gravity, The Cosmological Constant and all that ..." (PDF) . Stanford, USA.( Ligning A.3 i vedlegget ).
• BK Darian (1997). "Løsning av Hamilton-Jacobi-ligningen for gravitasjonsinteraktive elektromagnetiske og skalære felt". Canada, USA. arXiv : gr-qc / 9707046v2 . Bibcode : 1998CQGra..15..143D . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 15/1/010 .
• JR Bond; DS Salopek (1990). "Ikke-lineær utvikling av metriske svingninger i langbølgelengde i inflasjonsmodeller" . Phys. Rev. D . Canada (USA), Illinois (USA).
• Sang Pyo Kim (1996). "Klassisk romtid fra kvantegravitasjon" . Klassisk og kvantum tyngdekraft . Kunsan, Korea: IoP . arXiv : gr-qc / 9601049 . Bibcode : 1996CQGra..13.1377K . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 13/6/011 .
• SR Berbena; AV Berrocal; J. Socorro; LO Pimentel (2006). "Einstein-Hamilton-Jacobi-ligningen: Søke etter den klassiske løsningen for barotrop FRW". Guanajuato og Autónoma Metropolitana (Mexico). arXiv : gr-qc / 0607123 . Bibcode : 2007RMxFS..53b.115B .