Kerr – Newman beregning - Kerr–Newman metric

Den Kerr-Newman beregningen er den mest generelle asymptotisk flate , stasjonære oppløsning av Einstein-Maxwells ligninger i generell relativitets som beskriver romtiden geometrien i området som omgir en elektrisk ladet, roterende masse. Det generaliserer Kerr-beregningen ved å ta hensyn til feltenergien til et elektromagnetisk felt , i tillegg til å beskrive rotasjon. Det er en av et stort antall forskjellige elektrovakuumløsninger , det vil si av løsninger på ligningene Einstein – Maxwell som utgjør feltenergien til et elektromagnetisk felt . Slike løsninger inkluderer ikke andre elektriske ladninger enn de som er forbundet med gravitasjonsfeltet, og kalles således vakuumløsninger .

Denne løsningen har ikke vært særlig nyttig for å beskrive astrofysiske fenomen, fordi observerte astronomiske objekter ikke har en vesentlig netto elektrisk ladning , og det magnetiske felt av stjerner oppstår ved andre prosesser. Som en modell av realistiske svarte hull, utelater det noen beskrivelse av innfall baryonic materie , lys ( null støv ) eller mørk materie , og tilveiebringer således i beste fall en ufullstendig beskrivelse av fremragende masse svarte hull og aktiv galaksekjerne . Løsningen er av teoretisk og matematisk interesse, da den gir en ganske enkel hjørnestein for videre utforskning.

Kerr – Newman-løsningen er et spesielt tilfelle av mer generelle eksakte løsninger av Einstein – Maxwell-ligningene med ikke-null kosmologisk konstant .

Historie

I desember 1963 fant Kerr og Schild beregningene Kerr – Schild som ga alle Einstein-mellomrom som er eksakte lineære forstyrrelser i Minkowski-rommet. Tidlig i 1964 lette Roy Kerr etter alle Einstein – Maxwell-områdene med samme eiendom. I februar 1964 var det spesielle tilfellet der Kerr – Schild-områdene ble belastet (dette inkluderer Kerr – Newman-løsningen) kjent, men det generelle tilfellet der de spesielle retningene ikke var geodesikk i det underliggende Minkowski-rommet, viste seg å være veldig vanskelig. Problemet ble gitt til George Debney for å prøve å løse, men ble gitt opp i mars 1964. Omtrent på dette tidspunktet fant Ezra T. Newman løsningen for ladede Kerr ved gjetning. I 1965 fant Ezra "Ted" Newman den aksesymmetriske løsningen av Einsteins feltligning for et svart hull som både er roterende og elektrisk ladet. Denne formelen for metrisk tensor kalles Kerr – Newman-beregningen. Det er en generalisering av Kerr-beregningen for en uladet rotasjonspunktmasse, som ble oppdaget av Roy Kerr to år tidligere. ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} \!}$

Fire relaterte løsninger kan oppsummeres av følgende tabell:

	Ikke-roterende ( J = 0)	Roterende ( J ≠ 0)
Uladet ( Q = 0)	Schwarzschild	Kerr
Ladet ( Q ≠ 0)	Reissner – Nordström	Kerr – Newman

hvor Q representerer kroppens elektrisk ladning og J representerer dens spinnvinkelmoment .

Oversikt over løsningen

Newmans resultat representerer den enkleste stasjonære , aksesymmetriske , asymptotisk flate løsningen av Einsteins ligninger i nærvær av et elektromagnetisk felt i fire dimensjoner. Det er noen ganger referert til som en "electrovacuum" løsning av Einsteins ligninger.

Enhver Kerr – Newman-kilde har sin rotasjonsakse justert med sin magnetiske akse. Dermed er en Kerr – Newman-kilde forskjellig fra ofte observerte astronomiske kropper, for hvilke det er en betydelig vinkel mellom rotasjonsaksen og det magnetiske øyeblikket . Nærmere bestemt har verken solen eller noen av planetene i solsystemet magnetiske felt på linje med spinnaksen. Således, mens Kerr-løsningen beskriver gravitasjonsfeltet til solen og planetene, oppstår magnetfeltene ved en annen prosess.

Hvis Kerr – Newman-potensialet blir sett på som en modell for et klassisk elektron, forutsier det at et elektron ikke bare har et magnetisk dipolmoment, men også andre multipolmomenter, for eksempel et elektrisk kvadrupolmoment. Et elektronkvadrupolmoment har ennå ikke blitt oppdaget eksperimentelt; det ser ut til å være null.

I G = 0-grensen er de elektromagnetiske feltene de til en ladet roterende plate inne i en ring der feltene er uendelige. Den totale feltenergien for denne disken er uendelig, og derfor løser denne G = 0-grensen ikke problemet med uendelig selvenergi .

I likhet med Kerr metrisk for en uladet roterende masse, eksisterer den Kerr-Newman indre løsning matematisk, men er sannsynligvis ikke er representativ for den aktuelle beregning av en fysisk realistisk roterende svart hull på grunn av problemer med stabiliteten av Cauchy horisonten , på grunn av masse inflasjon drevet ved å tømme materie. Selv om det representerer en generalisering av Kerr-metrikken, anses den ikke som veldig viktig for astrofysiske formål, siden man ikke forventer at realistiske sorte hull har en betydelig elektrisk ladning (de forventes å ha en liten positiv ladning, men bare fordi proton har et mye større momentum enn elektronet, og er dermed mer sannsynlig å overvinne elektrostatisk frastøting og bli båret av momentum over horisonten).

Beregningen Kerr – Newman definerer et svart hull med en begivenhetshorisont bare når den kombinerte ladningen og vinkelmomentet er tilstrekkelig liten:

{\ displaystyle J ^ {2} / M ^ {2} + Q ^ {2} \ leq M ^ {2}.}

Elektronens vinkelmoment J og ladning Q (passende spesifisert i geometriiserte enheter ) overstiger begge massen M , i hvilket tilfelle måling ikke har noen begivenhetshorisont, og dermed kan det ikke være noe som heter et svart hullelektron - bare en naken spinnring singularitet . En slik måling har flere tilsynelatende ikke-fysiske egenskaper, som for eksempel ringens brudd på den kosmiske sensurhypotesen , og også utseendet til kausalitetskrenkende lukkede tidlige kurver i umiddelbar nærhet av ringen.

Et papir fra 2007 av russisk teoretiker Alexander Burinskii beskriver et elektron som en gravitasjonsbegrenset ring singularitet uten en begivenhetshorisont. Den har noen, men ikke alle de forutsagte egenskapene til et svart hull. Som Burinskii beskrev det:

I dette arbeidet oppnår vi en nøyaktig samsvar mellom bølgefunksjonen til Dirac-ligningen og spinor-strukturen til Kerr-geometrien. Det tillater oss å anta at Kerr – Newman-geometrien gjenspeiler den spesifikke romtidsstrukturen til elektron, og elektronet inneholder virkelig den Kerr – Newman sirkulære strengen av Compton-størrelse.

Begrensende saker

Kerr – Newman-beregningen kan sees å redusere til andre eksakte løsninger i generell relativitet i begrensende tilfeller. Det reduseres til:

Den Kerr metriske som kostnad Q går til null.
Den Reissner-Nordstrøm beregning som vinkelmomentet J (eller a = J / M ) går til null.
Den Schwarz metriske som både ladningen Q og vinkelmomentet J (eller en ) blir tatt til null.
Minkowski-mellomrom hvis massen M , ladningen Q og rotasjonsparameteren a er null. Alternativt, hvis tyngdekraften er ment å bli fjernet, oppstår Minkowski-rommet hvis gravitasjonskonstanten G er null, uten å ta massen og ladningen til null. I dette tilfellet er de elektriske og magnetiske feltene mer kompliserte enn bare feltene til en ladet magnetisk dipol ; tyngdekraftsgrensen er ikke triviell.

Beregningen

Den Kerr-Newman metrisk beskriver geometrien av romtiden for en roterende ladet sort hull med masse M , ladning Q og vinkelmoment J . Formelen for denne beregningen avhenger av hvilke koordinater eller koordinatbetingelser som er valgt. To former er gitt nedenfor: Boyer – Lindquist-koordinater, og Kerr – Schild-koordinater. Gravitasjonsmåling alene er ikke tilstrekkelig til å bestemme en løsning på Einstein-feltligningene; den elektromagnetiske spenningstensoren må også gis. Begge er gitt i hver seksjon.

Boyer – Lindquist koordinerer

En måte å uttrykke denne beregningen på er å skrive ned linjeelementet i et bestemt sett med sfæriske koordinater , også kalt Boyer – Lindquist-koordinater :

{\ displaystyle c ^ {2} d \ tau ^ {2} = - \ left ({\ frac {dr ^ {2}} {\ Delta}} + d \ theta ^ {2} \ right) \ rho ^ { 2} + \ left (c \, dt-a \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi \ right) ^ {2} {\ frac {\ Delta} {\ rho ^ {2}}} - \ venstre (\ left (r ^ {2} + a ^ {2} \ høyre) d \ phi -ac \, dt \ høyre) ^ {2} {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta} {\ rho ^ {2}}}}

hvor koordinatene ( r , θ , ϕ ) er standard sfæriske koordinatsystem , og lengdeskalaene:

{\ displaystyle a = {\ frac {J} {Mc}} \ ,,}

{\ displaystyle \ \ rho ^ {2} = r ^ {2} + a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta \ ,,}

{\ displaystyle \ \ Delta = r ^ {2} -r_ {s} r + a ^ {2} + r_ {Q} ^ {2} \ ,,}

har blitt introdusert for kortfattethet. Her r _s er den Schwarz radien av den massive legeme, som er relatert til den totale masse-ekvivalent M etter

{\ displaystyle r_ {s} = {\ frac {2GM} {c ^ {2}}}}

hvor G er gravitasjonskonstanten , og r _Q er en lengdeskala som tilsvarer massens elektriske ladning Q

{\ displaystyle r_ {Q} ^ {2} = {\ frac {Q ^ {2} G} {4 \ pi \ epsilon _ {0} c ^ {4}}}}

hvor 1 / (4π ε ₀ ) er Coulombs kraftkonstant .

Elektromagnetisk felt tensor i Boyer – Lindquist form

Det elektromagnetiske potensialet i Boyer – Lindquist-koordinatene er

{\ displaystyle A _ {\ mu} = \ left ({\ frac {r \ r_ {Q}} {\ rho ^ {2}}}, 0,0, - {\ frac {\ a \ r \ r_ {Q } \ sin ^ {2} \ theta} {\ rho ^ {2}}} \ høyre)}

mens Maxwell-tensoren er definert av

{\ displaystyle F _ {\ mu \ nu} = {\ frac {\ partial A _ {\ nu}} {\ partial x ^ {\ mu}}} - {\ frac {\ partial A _ {\ mu}} {\ partial x ^ {\ nu}}} \ \ to \ F ^ {\ mu \ nu} = g ^ {\ mu \ sigma} \ g ^ {\ nu \ kappa} \ F _ {\ sigma \ kappa}}

I kombinasjon med Christoffel-symbolene kan andre ordens bevegelsesligninger utledes med

{\ displaystyle {{{\ ddot {x}} ^ {i} = - \ Gamma _ {jk} ^ {i} \ {{\ dot {x}} ^ {j}} \ {{\ dot {x} } ^ {k}} + q \ {F ^ {ik}} \ {{\ dot {x}} ^ {j}}} \ {g_ {jk}}}}

hvor er ladningen per masse av testpartikkelen. ${\ displaystyle q}$

Kerr – Schild koordinerer

Kerr – Newman-beregningen kan uttrykkes i Kerr – Schild- formen ved å bruke et bestemt sett med kartesiske koordinater , foreslått av Kerr og Schild i 1965. Beregningen er som følger.

{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} + fk _ {\ mu} k _ {\ nu} \!}

{\ displaystyle f = {\ frac {Gr ^ {2}} {r ^ {4} + a ^ {2} z ^ {2}}} \ left [2Mr-Q ^ {2} \ right]}

{\ displaystyle \ mathbf {k} = (k_ {x}, k_ {y}, k_ {z}) = \ left ({\ frac {rx + ay} {r ^ {2} + a ^ {2}} }, {\ frac {ry-ax} {r ^ {2} + a ^ {2}}}, {\ frac {z} {r}} \ høyre)}

{\ displaystyle k_ {0} = 1. \!}

Legg merke til at k er en enhetsvektor . Her er M den konstante massen til det spinnende objektet, Q er den konstante ladningen til det spinnende objektet, η er Minkowski-metrikken , og a = J / M er en konstant rotasjonsparameter for det spinnende objektet. Det skal forstås at vektoren er rettet langs den positive z-aksen, det vil si . Mengden r er ikke radiusen, men defineres snarere implisitt slik: ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}} = en {\ hat {z}}}$

{\ displaystyle 1 = {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {r ^ {2} + a ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2}} {r ^ { 2}}}}

Legg merke til at mengden r blir den vanlige radien R

{\ displaystyle r \ to R = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}

når rotasjonsparameteren a nærmer seg null. I denne løsningsformen velges enheter slik at lysets hastighet er enhet ( c = 1). For å gi en komplett løsning av ligningene Einstein – Maxwell , inkluderer Kerr – Newman-løsningen ikke bare en formel for metrisk tensor, men også en formel for det elektromagnetiske potensialet:

{\ displaystyle A _ {\ mu} = {\ frac {Qr ^ {3}} {r ^ {4} + a ^ {2} z ^ {2}}} k _ {\ mu}}

På store avstander fra kilden ( R ≫ a ) reduseres disse ligningene til Reissner – Nordström-beregningen med:

{\ displaystyle A _ {\ mu} = {\ frac {Q} {R}} k _ {\ mu}}

I Kerr – Schild-formen til Kerr – Newman-beregningen, er determinanten for metrisk tensor overalt lik negativ, selv nær kilden.

Elektromagnetiske felt i Kerr – Schild-form

De elektriske og magnetiske feltene kan oppnås på vanlig måte ved å differensiere firepotensialet for å oppnå det elektromagnetiske feltstyrketensoren . Det vil være praktisk å bytte til tredimensjonal vektornotasjon.

{\ displaystyle A _ {\ mu} = \ left (- \ phi, A_ {x}, A_ {y}, A_ {z} \ right) \,}

De statiske elektriske og magnetiske feltene er avledet fra vektorpotensialet og skalarpotensialet slik:

{\ displaystyle {\ vec {E}} = - {\ vec {\ nabla}} \ phi \,}

{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}} \,}

Bruk av Kerr – Newman-formelen for firepotensialet i Kerr – Schild-formen, i grensen for massen som går til null, gir følgende kortfattede komplekse formel for feltene:

{\ displaystyle {\ vec {E}} + i {\ vec {B}} = - {\ vec {\ nabla}} \ Omega \,}

{\ displaystyle \ Omega = {\ frac {Q} {\ sqrt {({\ vec {R}} - i {\ vec {a}}) ^ {2}}}},}

Mengden omega ( ) i denne siste ligningen er lik Coulomb-potensialet , bortsett fra at radiusvektoren forskyves med en imaginær mengde. Dette komplekse potensialet ble diskutert så tidlig som det nittende århundre, av den franske matematikeren Paul Émile Appell . ${\ displaystyle \ Omega}$

Ureduserbar masse

Den totale masseekvivalente M , som inneholder den elektriske feltenergien og rotasjonsenergien , og den irredusible massen M _irr er relatert av

{\ displaystyle M _ {\ rm {irr}} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {2M ^ {2} -r_ {Q} ^ {2} c ^ {4} / G ^ {2 } + 2M {\ sqrt {M ^ {2} - (r_ {Q} ^ {2} + a ^ {2}) c ^ {4} / G ^ {2}}}}}

som kan inverteres for å oppnå

{\ displaystyle M = {\ frac {4M _ {\ rm {irr}} ^ {2} + r_ {Q} ^ {2} c ^ {4} / G ^ {2}} {2 {\ sqrt {4M_ { \ rm {irr}} ^ {2} -a ^ {2} c ^ {4} / G ^ {2}}}}}

For å lade og / eller spinne en nøytral og statisk kropp, må energi tilføres systemet. På grunn av masse-energi-ekvivalens har denne energien også en masse-ekvivalent; derfor er M alltid høyere enn M _irr . Hvis for eksempel rotasjonsenergien til et svart hull blir ekstrahert via Penrose-prosessene , vil den gjenværende massenergien alltid forbli større enn eller lik M _irr .

Viktige overflater

Begivenhetshorisonter og ergosfærer av et ladet og spinnende svart hull i pseudosfæriske r , θ , φ og kartesiske x , y , z koordinater.

Innstilling til 0 og løsning for gir den indre og ytre begivenhetshorisonten , som ligger ved Boyer – Lindquist-koordinaten ${\ displaystyle 1 / g_ {rr}}$ ${\ displaystyle r}$

{\ displaystyle r _ {\ text {H}} ^ {\ pm} = {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {2}} \ pm {\ sqrt {{\ frac {r _ {\ rm {s }} ^ {2}} {4}} - a ^ {2} -r_ {Q} ^ {2}}}.}

Gjenta dette trinnet med gir den indre og ytre ergosfæren ${\ displaystyle g_ {tt}}$

{\ displaystyle r _ {\ text {E}} ^ {\ pm} = {\ frac {r _ {\ rm {s}}} {2}} \ pm {\ sqrt {{\ frac {r _ {\ rm {s }} ^ {2}} {4}} - a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta -r_ {Q} ^ {2}}}.}

Testpartikkel i bane rundt et spinnende og ladet svart hull ( a / M = 0,9, Q / M = 0,4)

Ligninger av bevegelse

For kortfattethet bruker vi videre dimensjonsløse naturlige enheter av , med Coulombs konstant , hvor reduseres til og til , og bevegelsesligningene for en testpartikkel av ladning blir ${\ displaystyle G = M = c = K = 1}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle Jc / G / M ^ {2}}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle Q / M \ {\ sqrt {K / G}}}$ ${\ displaystyle q}$

{\ displaystyle {\ dot {t}}}

{\ displaystyle = {\ frac {\ csc ^ {2} \ theta \ ({L_ {z}} (a \ \ Delta \ sin ^ {2} \ theta -a \ (a ^ {2} + r ^ { 2}) \ sin ^ {2} \ theta) -q \ Q \ r \ (a ^ {2} + r ^ {2}) \ sin ^ {2} \ theta + E ((a ^ {2} + r ^ {2}) ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta -a ^ {2} \ Delta \ sin ^ {4} \ theta))} {\ Delta \ rho ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ dot {r}} = \ pm {\ frac {\ sqrt {((r ^ {2} + a ^ {2}) \ Ea \ L_ {z} -q \ Q \ r) ^ { 2} - \ Delta \ (C + r ^ {2})}} {\ rho ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = \ pm {\ frac {\ sqrt {C- (a \ cos \ theta) ^ {2} - (a \ \ sin ^ {2} \ theta \ E-L_ {z}) ^ {2} / \ sin ^ {2} \ theta}} {\ rho ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ dot {\ phi}} = {\ frac {E \ (a \ \ sin ^ {2} \ theta \ (r ^ {2} + a ^ {2}) - a \ \ sin ^ { 2} \ theta \ \ Delta) + L_ {z} \ (\ Delta -a ^ {2} \ \ sin ^ {2} \ theta) -q \ Q \ r \ a \ \ sin ^ {2} \ theta } {\ rho ^ {2} \ \ Delta \ \ sin ^ {2} \ theta}}}

med for den totale energien og for aksialvinkelmomentet. er Carter konstant : ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle L_ {z}}$ ${\ displaystyle C}$

{\ displaystyle C = p _ {\ theta} ^ {2} + \ cos ^ {2} \ theta \ left (a ^ {2} (1-E ^ {2}) + {\ frac {L_ {z} ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ right) = a ^ {2} \ (1-E ^ {2}) \ \ sin ^ {2} \ delta + L_ {z} ^ { 2} \ \ tan ^ {2} \ delta = {\ rm {const.}}}

hvor er den poloidiale komponenten i testpartikkelens vinkelmoment, og banevinklingsvinkelen . ${\ displaystyle p _ {\ theta} = {\ dot {\ theta}} \ \ rho ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ delta}$

Ray spores skyggen av et spinnende og ladet svart hull med parametrene a ² + Q ² = 1 M ² . Venstre side av det svarte hullet roterer mot observatøren.

{\ displaystyle L_ {z} = {\ frac {v ^ {\ phi} \ {\ bar {R}}} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}} = {\ rm {const.}} }

og

{\ displaystyle E = {\ sqrt {\ frac {\ Delta \ \ rho ^ {2}} {(1-v ^ {2}) \ \ chi}}} + \ Omega \ L_ {z} = {\ rm {konst.}}}

er også konserverte mengder.

{\ displaystyle \ Omega = - {\ frac {g_ {t \ phi}} {g _ {\ phi \ phi}}} = {\ frac {a \ left (2r-Q ^ {2} \ right)} {\ chi}}}

er rammeslepindusert vinkelhastighet. Forkortelsen begrepet er definert av ${\ displaystyle \ chi}$

{\ displaystyle \ chi = \ left (a ^ {2} + r ^ {2} \ right) ^ {2} -a ^ {2} \ \ sin ^ {2} \ theta \ \ Delta}

Forholdet mellom koordinatderivatene og den lokale 3-hastigheten er ${\ displaystyle {\ dot {r}}, \ {\ dot {\ theta}}, \ {\ dot {\ phi}}}$ ${\ displaystyle v}$