Friedmann ligninger - Friedmann equations

En del av en serie på
Fysisk kosmologi
Big Bang  · Univers Alder av universet Kronologi av universet
Tidlig univers Inflasjon  · Nukleosyntese Bakgrunner Gravitasjonsbølge (GWB) Mikrobølgeovn (CMB)  · Neutrino (CNB)
Utvidelse  · Fremtid Hubbles lov  · Rødforskyvning Metrisk utvidelse av rommet FLRW-metrisk  · Friedmann-ligninger Inhomogen kosmologi Fremtiden for et voksende univers Universets ultimate skjebne
Komponenter  · Struktur Komponenter Lambda-CDM-modell Mørk energi  · Mørk væske  · Mørk materie Struktur Form av universet Galaxy filament  · Galaxy formation Stor kvasargruppe Storskala struktur Reionisering  · Strukturdannelse
Eksperimenter Black Hole Initiative (BHI) BOOMERANG Kosmisk bakgrunnsutforsker (COBE) Illustris-prosjekt Planck plassobservatorium Sloan Digital Sky Survey (SDSS) 2dF Galaxy Redshift Survey ("2dF") Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP)
Forskere Aaronson Alfvén Alpher Bharadwaj Copernicus de Sitter Dicke Ehlers Einstein Ellis Friedmann Galileo Gamow Sannhet Hawking Hubble Lemaître Mather Newton Penrose Penzias Gni inn Schmidt Smoot Suntzeff Sunyaev Tolman Wilson Zeldovich Liste over kosmologer
Faghistorie Funn av kosmiske mikrobølge bakgrunnsstrålingen Big Bang-teoriens historie Religiøse tolkninger av Big Bang-teorien Tidslinje for kosmologiske teorier
Kategori  Astronomiportal
v t e

Alexander Friedmann

De Friedmann ligningene er et sett av likninger i fysisk kosmologi som styrer ekspansjonen av plass i homogene og isotrope modell i universet innenfor rammen av den generelle relativitets . De ble første gang avledet av Alexander Friedmann i 1922 fra Einsteins feltligninger for gravitasjon for metoden Friedmann – Lemaître – Robertson – Walker og en perfekt væske med en gitt massetetthet og trykk . Ligningene for negativ romlig krumning ble gitt av Friedmann i 1924. ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle p}$

Antagelser

Friedmann-ligningene starter med den forenklende antagelsen om at universet er romlig homogent og isotropt , dvs. det kosmologiske prinsippet ; empirisk er dette berettiget på skalaer større enn ~ 100 Mpc . Det kosmologiske prinsippet innebærer at måling av universet må være av formen

${\ displaystyle ds ^ {2} = a (t) ^ {2} \, ds_ {3} ^ {2} -c ^ {2} \, dt ^ {2}}$

hvor er en tredimensjonal beregning som må være en av (a) flate rom, (b) en sfære med konstant positiv krumning eller (c) et hyperbolsk rom med konstant negativ krumning. Denne beregningen kalles beregningen Friedmann – Lemaître – Robertson – Walker (FLRW). Parameteren som er diskutert nedenfor tar verdien 0, 1, −1 eller den gaussiske krumningen , i disse tre tilfellene. Det er dette som lar oss fornuftig snakke om en " skalafaktor " . ${\ displaystyle ds_ {3} ^ {2}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle a (t)}$

Einsteins ligninger knytter nå utviklingen av denne skaleringsfaktoren til materialets trykk og energi i universet. Fra FLRW-beregning beregner vi Christoffel-symboler , deretter Ricci-tensoren . Med stress-energitensoren for en perfekt væske erstatter vi dem i Einsteins feltligninger, og de resulterende ligningene er beskrevet nedenfor.

Ligninger

Generell relativitet
${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c ^ {4}} T _ {\ mu \ nu}}$
Introduksjon Historie Matematisk formulering Tester
Grunnleggende konsepter Likestillingsprinsipp Spesiell relativitet Verdenslinje Pseudo-Riemannian manifold
Fenomener Kepler-problem Gravitasjonslinse Gravitasjonsbølger Rammesleep Geodetisk effekt Begivenhetshorisont Singularitet Svart hull Romtid Romtidsdiagrammer Minkowski romtid Einstein – Rosen bro
Ligninger Formalismer Ligninger Linearisert tyngdekraft Einstein feltligninger Friedmann Geodesikk Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Formalismer ADM BSSN Post-Newtonian Avansert teori Kaluza – Klein teori Kvantegravitasjon
Løsninger Schwarzschild ( interiør ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker pp-bølge van Stockum støv Weyl − Lewis − Papapetrou
Forskere Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Wheeler Robertson Bardeen Walker Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri skredder Hulse van Stockum Taub Ny mann Yau Thorne andre
v t e

Det er to uavhengige Friedmann-ligninger for modellering av et homogent, isotropisk univers. Den første er:

${\ displaystyle {\ frac {{\ dot {a}} ^ {2} + kc ^ {2}} {a ^ {2}}} = {\ frac {8 \ pi G \ rho + \ Lambda c ^ { 2}} {3}}}$

som er avledet fra 00-komponenten i Einsteins feltligninger . Det andre er:

${\ displaystyle {\ frac {\ ddot {a}} {a}} = - {\ frac {4 \ pi G} {3}} \ left (\ rho + {\ frac {3p} {c ^ {2} }} \ høyre) + {\ frac {\ Lambda c ^ {2}} {3}}}$

som er avledet fra den første sammen med sporet av Einsteins feltligninger (dimensjonen til de to ligningene er tid ⁻² ).

${\ displaystyle a}$er skaleringsfaktoren , G , Λ og c er universelle konstanter ( G er Newtons gravitasjonskonstant , Λ er den kosmologiske konstanten (dens dimensjon er lengde ^-2 ) og c er lysets hastighet i vakuum ). ρ og p er henholdsvis den volumetriske massetettheten (og ikke den volumetriske energitettheten) og trykket. k er konstant gjennom en bestemt løsning, men kan variere fra en løsning til en annen.

I tidligere ligninger er , ρ og p funksjoner av tiden. er den romlige krumningen i ethvert tidsskjema av universet; det er lik en sjettedel av den romlige Ricci krumning skalar R siden ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle k \ over a ^ {2}}$

${\ displaystyle R = {\ frac {6} {c ^ {2} a ^ {2}}} ({\ ddot {a}} a + {\ dot {a}} ^ {2} + kc ^ {2} )}$

i Friedmann-modellen. er Hubble-parameteren . ${\ displaystyle H \ equiv {\ frac {\ dot {a}} {a}}}$

Vi ser at a (t) i Friedmann-ligningene ikke avhenger av hvilket koordinatsystem vi valgte for romlige skiver. Det er to vanlige valg for og k som beskriver samme fysikk: ${\ displaystyle a}$

• k = +1, 0 eller −1, avhengig av om universets form er henholdsvis en lukket 3-kule , flat (dvs. euklidisk plass ) eller en åpen 3- hyperboloid . Hvis k = +1, så er universets krumningsradius. Hvis k = 0, kan det være festet til hvilket som helst vilkårlig positivt tall på en bestemt tid. Hvis k = −1, kan man (løst sagt) si at det er universets krumningsradius.${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle i \ cdot a}$
• ${\ displaystyle a}$er skaleringsfaktoren som antas å være 1 på det nåværende tidspunkt. er den romlige krumningen når (dvs. i dag). Hvis universets form er hypersfærisk og er krumningsradiusen ( i dag), da . Hvis det er positivt, så er universet hypersfærisk. Hvis er null, så er universet flatt . Hvis er negativt, så er universet hyperbolsk .${\ displaystyle k}$${\ displaystyle a = 1}$${\ displaystyle R_ {t}}$${\ displaystyle R_ {0}}$${\ displaystyle a = R_ {t} / R_ {0}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$

Ved å bruke den første ligningen kan den andre ligningen uttrykkes på nytt som

${\ displaystyle {\ dot {\ rho}} = - 3H \ left (\ rho + {\ frac {p} {c ^ {2}}} \ right),}$

som eliminerer og uttrykker bevaring av masse – energi${\ displaystyle \ Lambda}$ ${\ displaystyle T ^ {\ alpha \ beta} {} _ {; \ beta} = 0.}$

Disse ligningene blir noen ganger forenklet ved å erstatte

${\ displaystyle \ rho \ to \ rho - {\ frac {\ Lambda c ^ {2}} {8 \ pi G}}}$

${\ displaystyle p \ to p + {\ frac {\ Lambda c ^ {4}} {8 \ pi G}}}$

å gi:

${\ displaystyle H ^ {2} = \ left ({\ frac {\ dot {a}} {a}} \ right) ^ {2} = {\ frac {8 \ pi G} {3}} \ rho - {\ frac {kc ^ {2}} {a ^ {2}}}}$

${\ displaystyle {\ dot {H}} + H ^ {2} = {\ frac {\ ddot {a}} {a}} = - {\ frac {4 \ pi G} {3}} \ left (\ rho + {\ frac {3p} {c ^ {2}}} \ høyre).}$

Den forenklede formen for den andre ligningen er uforanderlig under denne transformasjonen.

Hubble-parameteren kan endres over tid hvis andre deler av ligningen er tidsavhengige (spesielt massetettheten, vakuumenergien eller den romlige krumningen). Evaluering av Hubble-parameteren på det nåværende tidspunkt gir Hubbles konstant, som er proporsjonalitetskonstanten til Hubbles lov . Påført en væske med en gitt tilstandsligning , gir Friedmann-ligningene universets tidsutvikling og geometri som en funksjon av væsketettheten.

Noen kosmologer kaller den andre av disse to ligningene Friedmann akselerasjonsligning og reserverer begrepet Friedmann ligning for bare den første ligningen.

Tetthetsparameter

Den parameter tetthet er definert som forholdet mellom den faktiske (eller observerte) tettheten til den kritiske densitet av Friedmann universet. Forholdet mellom den faktiske tettheten og den kritiske tettheten bestemmer universets generelle geometri; når de er like, er universets geometri flat (euklidisk). I tidligere modeller, som ikke inkluderte en kosmologisk konstant term, ble kritisk tetthet opprinnelig definert som vannskillepunktet mellom et ekspanderende og et kontraherende univers. ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ rho _ {c}}$

Til dags dato er den kritiske tettheten estimert til å være omtrent fem atomer (av monatomisk hydrogen ) per kubikkmeter, mens den gjennomsnittlige tettheten av vanlig materie i universet antas å være 0,2-0,25 atomer per kubikkmeter.

Anslått relativ fordeling for komponenter i universets energitetthet. Mørk energi dominerer den totale energien (74%) mens mørk materie (22%) utgjør det meste av massen. Av det gjenværende baryoniske stoffet (4%) er bare en tidel kompakt. I februar 2015 ga det europeisk ledede forskerteamet bak Planck kosmologisonden ut nye data som foredlet disse verdiene til 4,9% vanlig materie, 25,9% mørk materie og 69,1% mørk energi.

En mye større tetthet kommer fra den uidentifiserte mørke saken ; både vanlig og mørk materie bidrar til fordel for sammentrekning av universet. Den største delen kommer imidlertid fra såkalt mørk energi , som står for den kosmologiske konstante termen. Selv om den totale tettheten er lik den kritiske tettheten (nøyaktig, opp til målefeil), fører ikke den mørke energien til sammentrekning av universet, men kan heller akselerere utvidelsen. Derfor vil universet sannsynligvis utvide seg for alltid.

Et uttrykk for den kritiske tettheten blir funnet ved å anta at Λ er null (som det er for alle grunnleggende Friedmann-universer) og setter den normaliserte romlige krumningen, k , lik null. Når substitusjonene brukes på den første av Friedmann-ligningene, finner vi:

${\ displaystyle \ rho _ {c} = {\ frac {3H ^ {2}} {8 \ pi G}} = 1.8788 \ ganger 10 ^ {- 26} h ^ {2} {\ rm {kg}} \ , {\ rm {m}} ^ {- 3} = 2.7754 \ ganger 10 ^ {11} h ^ {2} M _ {\ odot} \, {\ rm {Mpc}} ^ {- 3},}$

(hvor h = H _o / (100 km / s / Mpc). For H _o = 67,4 km / s / Mpc, dvs. h = 0,674, ρ _c = 8,5 × 10 ⁻²⁷ kg / m ³ )

Tetthetsparameteren (nyttig for å sammenligne forskjellige kosmologiske modeller) blir deretter definert som:

${\ displaystyle \ Omega \ equiv {\ frac {\ rho} {\ rho _ {c}}} = {\ frac {8 \ pi G \ rho} {3H ^ {2}}}.}$

Dette begrepet ble opprinnelig brukt som et middel for å bestemme universets romlige geometri , hvor er den kritiske tettheten som den romlige geometrien er flat for (eller euklidisk). Forutsatt en null vakuum energitetthet, hvis er større enn enhet, er romdelene i universet stengt; universet vil til slutt slutte å utvide seg, og deretter kollapse. Hvis er mindre enn enhet, er de åpne; og universet utvides for alltid. Imidlertid kan man også underkaste romlige krumning og vakuumenergibetingelser til et mer generelt uttrykk, i hvilket tilfelle denne tetthetsparameteren tilsvarer nøyaktig enhet. Deretter handler det om å måle de forskjellige komponentene, vanligvis betegnet med abonnement. I følge ΛCDM-modellen er det viktige komponenter på grunn av baryoner , kald mørk materie og mørk energi . Den romlige geometrien i universet er målt av WMAP- romfartøyet til å være nesten flat. Dette betyr at universet kan tilnærmes godt av en modell der parameteren for romlig krumning er null; dette innebærer imidlertid ikke nødvendigvis at universet er uendelig: det kan bare være at universet er mye større enn den delen vi ser. (På samme måte innebærer det faktum at jorden er omtrent flatt på skalaen til Nederland ikke at jorden er flat: det innebærer bare at den er mye større enn Nederland.) ${\ displaystyle \ rho _ {c}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle k}$

Den første Friedmann-ligningen sees ofte i form av nåverdiene til tetthetsparametrene, det vil si

${\ displaystyle {\ frac {H ^ {2}} {H_ {0} ^ {2}}} = \ Omega _ {0, R} a ^ {- 4} + \ Omega _ {0, M} a ^ {-3} + \ Omega _ {0, k} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, \ Lambda}.}$

Her er strålingstettheten i dag (dvs. når ), er saken ( mørk pluss baryonisk ) tetthet i dag, er den "romlige krumningstettheten" i dag, og er den kosmologiske konstanten eller vakuumtettheten i dag. ${\ displaystyle \ Omega _ {0, R}}$${\ displaystyle a = 1}$${\ displaystyle \ Omega _ {0, M}}$${\ displaystyle \ Omega _ {0, k} = 1- \ Omega _ {0}}$${\ displaystyle \ Omega _ {0, \ Lambda}}$

Nyttige løsninger

Friedmann-ligningene kan løses nøyaktig i nærvær av en perfekt væske med tilstandsligning

${\ displaystyle p = w \ rho c ^ {2},}$

hvor er trykket , er massetettheten til væsken i den fremre rammen og er noe konstant. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle w}$

I romlig flatt tilfelle ( k  = 0) er løsningen for skaleringsfaktoren

${\ displaystyle a (t) = a_ {0} \, t ^ {\ frac {2} {3 (w + 1)}}$

hvor skal noen integrasjonskonstant løses ved valg av innledende forhold. Denne familien av løsninger merket av er ekstremt viktig for kosmologi. F.eks. Beskriver et materiedominert univers, der trykket er ubetydelig med hensyn til massetettheten. Fra den generiske løsningen ser man lett at i et materie-dominert univers går skalafaktoren som ${\ displaystyle a_ {0}}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle w = 0}$

${\ displaystyle a (t) \ propto t ^ {2/3}}$ sakdominert

Et annet viktig eksempel er tilfellet med et strålingsdominert univers, dvs. når . Dette leder til ${\ displaystyle w = 1/3}$

${\ displaystyle a (t) \ propto t ^ {1/2}}$ stråling dominerte

Merk at denne løsningen ikke er gyldig for dominans av den kosmologiske konstanten, som tilsvarer en . I dette tilfellet er energitettheten konstant, og skalafaktoren vokser eksponentielt. ${\ displaystyle w = -1}$

Løsninger for andre verdier av k kan bli funnet på Tersic, Balsa. "Forelesningsnotater om astrofysikk" (PDF) . Hentet 20. juli 2011 ..

Blandinger

Hvis saken er en blanding av to eller flere ikke-interagerende væsker hver med en slik tilstandsligning, da

${\ displaystyle {\ dot {\ rho}} _ {f} = - 3H \ left (\ rho _ {f} + {\ frac {p_ {f}} {c ^ {2}}} \ høyre) \, }$

holder separat for hver slik væske f . I hvert tilfelle,

${\ displaystyle {\ dot {\ rho}} _ {f} = - 3H \ left (\ rho _ {f} + w_ {f} \ rho _ {f} \ right) \,}$

som vi får fra

${\ displaystyle {\ rho} _ {f} \ propto a ^ {- 3 (1 + w_ {f})} \ ,.}$

For eksempel kan man danne en lineær kombinasjon av slike termer

${\ displaystyle \ rho = Aa ^ {- 3} + Ba ^ {- 4} + Ca ^ {0} \,}$

hvor: A er tettheten til "støv" (vanlig materie, w  = 0) når  = 1; B er tettheten av stråling ( w  = 1/3) når  = 1; og C er tettheten til "mørk energi" ( w = −1). Man erstatter deretter dette inn ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ dot {a}} {a}} \ right) ^ {2} = {\ frac {8 \ pi G} {3}} \ rho - {\ frac {kc ^ {2}} {a ^ {2}}} \,}$

og løser for som en funksjon av tiden. ${\ displaystyle a}$

Detaljert avledning

For å gjøre løsningene mer eksplisitte, kan vi utlede de fulle forholdene fra den første Friedman-ligningen:

${\ displaystyle {\ frac {H ^ {2}} {H_ {0} ^ {2}}} = \ Omega _ {0, R} a ^ {- 4} + \ Omega _ {0, M} a ^ {-3} + \ Omega _ {0, k} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, \ Lambda}}$

med

${\ displaystyle H = {\ frac {\ dot {a}} {a}}}$

${\ displaystyle {H ^ {2}} = H_ {0} ^ {2} (\ Omega _ {0, R} a ^ {- 4} + \ Omega _ {0, M} a ^ {- 3} + \ Omega _ {0, k} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, \ Lambda})}$

${\ displaystyle H = H_ {0} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, R} a ^ {- 4} + \ Omega _ {0, M} a ^ {- 3} + \ Omega _ {0, k} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, \ Lambda}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ dot {a}} {a}} = H_ {0} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, R} a ^ {- 4} + \ Omega _ {0, M} a ^ {- 3} + \ Omega _ {0, k} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, \ Lambda})}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t}} = H_ {0} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, R} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, M} a ^ {- 1} + \ Omega _ {0, k} + \ Omega _ {0, \ Lambda} a ^ {2})}}}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} a = \ mathrm {d} tH_ {0} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, R} a ^ {- 2} + \ Omega _ {0, M} a ^ { -1} + \ Omega _ {0, k} + \ Omega _ {0, \ Lambda} a ^ {2})}}$

Omorganisere og endre for å bruke variabler og for integrasjonen ${\ displaystyle a '}$${\ displaystyle t '}$

${\ displaystyle tH_ {0} = \ int _ {0} ^ {a} {\ frac {\ mathrm {d} a '} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, R} a' ^ {- 2} + \ Omega _ {0, M} a '^ {- 1} + \ Omega _ {0, k} + \ Omega _ {0, \ Lambda} a' ^ {2})}}}$

Løsninger for avhengighet av skaleringsfaktoren med hensyn til tid for universer dominert av hver komponent kan bli funnet. I hver har vi også antatt at , noe som er det samme som å anta at den dominerende kilden til energitetthet er . ${\ displaystyle \ Omega _ {0, k} \ ca 0}$${\ displaystyle \ ca 1}$

For Matter dominerte universer, hvor og , så vel som . ${\ displaystyle \ Omega _ {0, M} >> \ Omega _ {0, R}}$${\ displaystyle \ Omega _ {0, \ Lambda}}$${\ displaystyle \ Omega _ {0, M} \ ca 1}$

${\ displaystyle tH_ {0} = \ int _ {0} ^ {a} {\ frac {\ mathrm {d} a '} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, M} a' ^ {- 1} )}}}}$

${\ displaystyle tH_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, M}}} = ({\ frac {2} {3}} a '^ {\ frac {3} {2}}) | _ { 0} ^ {a}}$

${\ displaystyle ({\ frac {3} {2}} tH_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, M}}}) ^ {\ frac {2} {3}} = a (t)}$

som gjenoppretter det nevnte ${\ displaystyle a \ propto t ^ {\ frac {2} {3}}}$

For stråling dominerte universer, hvor og , så vel som${\ displaystyle \ Omega _ {0, R} >> \ Omega _ {0, M}}$${\ displaystyle \ Omega _ {0, \ Lambda}}$${\ displaystyle \ Omega _ {0, R} \ ca 1}$

${\ displaystyle tH_ {0} = \ int _ {0} ^ {a} {\ frac {\ mathrm {d} a '} {\ sqrt {(\ Omega _ {0, R} a' ^ {- 2} )}}}}$

${\ displaystyle tH_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, R}}} = {\ frac {a '^ {2}} {2}} | _ {0} ^ {a}}$

${\ displaystyle (2tH_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, R}}}) ^ {\ frac {1} {2}} = a (t)}$

For dominerte universer, hvor og , så vel som , og hvor vi nå vil endre grensen for integrering fra til og på samme måte til . ${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ Omega _ {0, \ Lambda} >> \ Omega _ {0, R}}$${\ displaystyle \ Omega _ {0, M}}$${\ displaystyle \ Omega _ {0, \ Lambda} \ ca 1}$${\ displaystyle t_ {i}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle (t-t_ {i}) H_ {0} = \ int _ {a_ {i}} ^ {a} {\ frac {\ mathrm {d} a '} {\ sqrt {(\ Omega _ { 0, \ Lambda} a '^ {2})}}}$

${\ displaystyle (t-t_ {i}) H_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, \ Lambda}}} = \ mathrm {ln} (| a '|) | _ {a_ {i}} ^ {a}}$

${\ displaystyle a_ {i} \ mathrm {e} ^ {(t-t_ {i}) H_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, \ Lambda}}}} = a (t)}$

Den dominerte universløsningen er av spesiell interesse fordi det andre derivatet med hensyn til tid er positivt, ikke-null; med andre ord antyder en akselererende utvidelse av universet, noe som gjør en kandidat for mørk energi : ${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ rho _ {Lambda}}$

${\ displaystyle a (t) = a_ {i} \ mathrm {e} ^ {(t-t_ {i}) H_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, \ Lambda}}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} a (t)} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = a_ {i} (H_ {0}) ^ {2} \ Omega _ {0, \ Lambda} \ mathrm {e} ^ {(t-t_ {i}) H_ {0} {\ sqrt {\ Omega _ {0, \ Lambda}}}}}$

Hvor vi antok, var og ble målt for å være positive, og tvinger akselerasjonen til å være større enn null. ${\ displaystyle a_ {i}> 0}$${\ displaystyle \ Omega _ {0, \ Lambda} \ ca 1}$${\ displaystyle H_ {0}}$

Omskalert Friedmann-ligning

Sett , hvor og er hver for seg skaleringsfaktoren og Hubble-parameteren i dag. Da kan vi ha det ${\ displaystyle {\ tilde {a}} = {\ frac {a} {a_ {0}}}, \; \ rho _ {c} = {\ frac {3H_ {0} ^ {2}} {8 \ pi G}}, \; \ Omega = {\ frac {\ rho} {\ rho _ {c}}}, \; t = {\ frac {\ tilde {t}} {H_ {0}}}, \ ; \ Omega _ {c} = - {\ frac {kc ^ {2}} {H_ {0} ^ {2} a_ {0} ^ {2}}} \;}$${\ displaystyle a_ {0}}$${\ displaystyle H_ {0}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {d {\ tilde {a}}} {d {\ tilde {t}}}} \ right) ^ {2} + U_ { \ text {eff}} ({\ tilde {a}}) = {\ frac {1} {2}} \ Omega _ {c}}$

hvor . For enhver form for det effektive potensialet er det en tilstandsligning som vil produsere det. ${\ displaystyle U _ {\ text {eff}} ({\ tilde {a}}) = {\ frac {- \ Omega {\ tilde {a}} ^ {2}} {2}} \;}$${\ displaystyle U _ {\ text {eff}} ({\ tilde {a}}) \;}$${\ displaystyle p = p (\ rho)}$

Se også

• Matematikk med generell relativitet
• Løsninger av Einsteins feltligninger
• Varm inflasjon

Merknader

Videre lesning

• Liebscher, Dierck-Ekkehard (2005). "Utvidelse" . Kosmologi . Berlin: Springer. s. 53–77. ISBN 3-540-23261-3.