Ternært tallsystem - Ternary numeral system

En ternær / t ɜːr n ər i / tallsystem (også kalt basis 3 ) har tre som sitt utgangspunkt . Analogt med litt er et ternært siffer en trit ( tri nary dig it ). En trit tilsvarer log ₂  3 (omtrent 1.58496) informasjonsbiter .

Selv om ternær oftest refererer til et system der de tre sifrene alle er ikke -negative tall; spesifikt 0 , 1 og 2 , adjektivet gir også sitt navn til det balanserte ternære systemet; bestående av sifrene −1 , 0 og +1, brukt i sammenligningslogikk og ternære datamaskiner .

Sammenligning med andre baser

Representasjoner av heltallstall i ternær blir ikke ubehagelig lange like raskt som i binære . For eksempel tilsvarer desimal 365 eller senary 1405 binær 101101101 (ni siffer) og ternær 111112 (seks siffer). Imidlertid er de fortsatt langt mindre kompakte enn de tilsvarende representasjonene i baser som desimal  - se nedenfor for en kompakt måte å kodifisere ternær ved hjelp av nonary og septemvigesimal .

Når det gjelder rasjonelle tall , tilbyr ternary en praktisk måte å representere1/3det samme som senatet (i motsetning til den tungvintige representasjonen som en uendelig rekke gjentagende sifre i desimaler); men en stor ulempe er at ternary på sin side ikke tilbyr en endelig representasjon for1/2 (heller ikke for 1/4, 1/8, Etc.), fordi 2 er ikke et primfaktor av basen; som med base to, en tiendedel (desimal 1/10, senat 1/14) er ikke representativt nøyaktig (det vil trenge f.eks. desimal); det er heller ikke en sjettedel (senator1/10, desimal 1/6).

Summen av sifrene i ternær i motsetning til binær

Verdien av et binært tall med n biter som er alle 1 er 2 ⁿ  - 1 .

På samme måte kan vi skrive for et tall N ( b , d ) med basen b og d , som alle er maksimal sifferverdi b  - 1 :

N ( b , d ) = ( b  - 1) b ^{d −1} + ( b  - 1) b ^{d −2} +… + ( b  - 1) b ¹ + ( b  - 1) b ⁰ ,

N ( b , d ) = ( b  - 1) ( b ^{d −1} + b ^{d −2} +… + b ¹ + 1),

N ( b , d ) = ( b  - 1) M .

bM = b ^d + b ^{d −1} +… + b ² + b ¹ og

- M = - b ^{d −1}  -  b ^{d −2}  -… - b ¹  - 1 , altså

bM  -  M = b ^d  - 1 , eller

M =b ^d  - 1/b  - 1.

Deretter

N ( b , d ) = ( b  - 1) M ,

N ( b , d ) =( b  - 1) ( b ^d  - 1)/b  - 1,

N ( b , d ) = b ^d  - 1.

For et tresifret ternært tall, N (3, 3) = 3 ^3-1  = 26 = 2 × 3 ² + 2 × 3 ¹ + 2 × 3 ⁰ = 18 + 6 + 2 .

Kompakt ternær representasjon: base 9 og 27

Nonary (basis 9, hvert siffer er to ternære sifre) eller septemvigesimal (base 27, hvert siffer er tre ternære sifre) kan brukes til kompakt representasjon av ternær, på samme måte som oktale og heksadesimale systemer brukes i stedet for binære .

Praktisk bruk

Bruk av ternære tall for å balansere en ukjent heltallsvekt fra 1 til 40 kg med vekter på 1, 3, 9 og 27 kg (4 ternære sifre gir faktisk 3 ⁴ = 81 mulige kombinasjoner: −40 til +40, men bare de positive verdiene er nyttige)

I viss analog logikk blir tilstanden til kretsen ofte uttrykt ternær. Dette er mest sett i CMOS- kretser, og også i transistor-transistor-logikk med totem-pol utgang. Utgangen sies å enten være lav (jordet), høy eller åpen ( høy- Z ). I denne konfigurasjonen er utgangen til kretsen faktisk ikke koblet til noen spenningsreferanse i det hele tatt. Når signalet vanligvis er jordet til en bestemt referanse, eller ved et bestemt spenningsnivå, sies det at staten er høy impedans fordi den er åpen og tjener sin egen referanse. Dermed er det faktiske spenningsnivået noen ganger uforutsigbart.

Et sjeldent "ternært punkt" i vanlig bruk er for defensiv statistikk i amerikansk baseball (vanligvis bare for kaster), for å betegne brøkdeler av en omgang. Siden lag på offensiv tillater tre outs , regnes hver out som en tredjedel av en defensiv inning og betegnes som .1 . For eksempel, hvis en spiller slo hele 4., 5. og 6. innings, pluss å oppnå 2 outs i 7. inning, ville hans innings pitched kolonne for det spillet bli oppført som 3.2 , tilsvarende 3+2 ⁄ 3 (som noen ganger brukes som alternativ av noen journalister). I denne bruken er bare den brøkdel av tallet skrevet i ternær form.

Ternære tall kan brukes til å formidle selvlignende strukturer som Sierpinski -trekanten eller Cantorsettet . I tillegg viser det seg at den ternære representasjonen er nyttig for å definere Cantorsettet og relaterte punktsett, på grunn av måten Cantor -settet er konstruert på. Cantorsettet består av punktene fra 0 til 1 som har et ternært uttrykk som ikke inneholder noen forekomst av sifferet 1. Enhver avsluttende ekspansjon i det ternære systemet er ekvivalent med uttrykket som er identisk opp til begrepet før det siste -null -term etterfulgt av begrepet en mindre enn den siste null -termen i det første uttrykket, etterfulgt av en uendelig hale av to. For eksempel: 0,1020 tilsvarer 0,1012222 ... fordi utvidelsene er de samme til "to" i det første uttrykket, de to ble redusert i den andre ekspansjonen, og etterfølgende nuller ble erstattet med etterfølgende toer i det andre uttrykket.

Ternary er heltallsbasen med lavest radixøkonomi , tett fulgt av binær og kvartær . Dette skyldes dens nærhet til e . Det har blitt brukt for noen datasystemer på grunn av denne effektiviteten. Den brukes også til å representere tre alternativer med trær , for eksempel telefonmenysystemer, som tillater en enkel vei til enhver gren.

En form for redundant binær representasjon kalt et binært signert-sifret tallsystem, en form for signert-sifret representasjon , brukes noen ganger i programvare og maskinvare på lavt nivå for å oppnå rask tillegg av heltall fordi det kan eliminere bærer.

Binærkodet ternær

Simulering av ternære datamaskiner som bruker binære datamaskiner, eller grensesnitt mellom ternære og binære datamaskiner, kan innebære bruk av binærkodede ternære (BCT) tall, med to biter som brukes til å kode hver trit. BCT-koding er analog med binærkodet desimal (BCD) -koding. Hvis tritverdiene 0, 1 og 2 er kodet 00, 01 og 10, kan konvertering i begge retninger mellom binærkodet ternær og binær utføres på logaritmisk tid . Et bibliotek med C -kode som støtter BCT -aritmetikk er tilgjengelig.

Tryte

Noen ternære datamaskiner som Setun definerte en tryte til å være seks trits eller omtrent 9,5 bits (innehar mer informasjon enn de facto binære byten ).

Se også

• Ternær logikk
• Tai Xuan Jing
• Setun , en ternær datamaskin
• Qutrit
• Ternært flytepunkt

Referanser

Videre lesning

• Hayes, Brian (november - desember 2001). "Tredje base" (PDF) . Amerikansk forsker . Sigma Xi , Scientific Research Society. 89 (6): 490–494. doi : 10.1511/2001.40.3268 . Arkivert (PDF) fra originalen 2019-10-30 . Hentet 2020-04-12 .

Eksterne linker

• Ternary Aritmetic
• Den ternære beregningsmaskinen til Thomas Fowler
• Ternary Base Conversion  - inkluderer brøkdel fra Maths Is Fun
• Gideon Frieders erstatnings ternære tallsystem