Ikke-standardiserte tallsystemer - Non-standard positional numeral systems

Ikke-standardiserte tallsystemer betegner her tallsystemer som løst kan beskrives som posisjonelle systemer , men som ikke helt oppfyller følgende beskrivelse av standardposisjonssystemer:

I et standard posisjonalt tallsystem er basen b et positivt heltall, og b forskjellige tall brukes til å representere alle ikke-negative heltall . Standardsettet med tall inneholder b- verdiene 0, 1, 2 osv., Opp til b - 1, men verdien vektes i henhold til sifferets plassering i et tall. Verdien av en sifferstreng som pqrs i base b er gitt av polynomformen

{\ displaystyle p \ times b ^ {3} + q \ times b ^ {2} + r \ times b + s}

.

Tallene skrevet med overskrift representerer kreftene til basen som brukes.

For eksempel, i heksadesimal ( b = 16), med tallene A for 10, B for 11 etc., betyr sifferstrengen 7A3F

{\ displaystyle 7 \ ganger 16 ^ {3} +10 \ ganger 16 ^ {2} +3 \ ganger 16 + 15}

,

som er skrevet i vår normale desimalnotasjon er 31295.

Ved innføring av et radikspunkt "." og et minustegn "-", reelle tall kan representeres opp til vilkårlig nøyaktighet.

Denne artikkelen oppsummerer fakta om noen ikke-standardiserte tallsystemer. I de fleste tilfeller gjelder fremdeles polynomformen i beskrivelsen av standardsystemer.

Noen historiske tallsystemer kan beskrives som ikke-standardiserte tallsystemer. Eksempelvis kan den kjønnssimale babylonske notasjonen og de kinesiske stangtallene , som kan klassifiseres som standardsystemer av henholdsvis base 60 og 10, og teller rommet som representerer null som et tall, også klassifiseres som ikke-standardiserte systemer, nærmere bestemt blandet -basesystemer med unare komponenter, med tanke på de primitive gjentatte tegnene som utgjør tallene.

Imidlertid har de fleste av de ikke-standardiserte systemene som er oppført nedenfor aldri vært ment for generell bruk, men ble utviklet av matematikere eller ingeniører for spesiell akademisk eller teknisk bruk.

Bijektive tallsystemer

Et bijektivt tallsystem med base b bruker b forskjellige tall for å representere alle ikke-negative heltall. Tallene har imidlertid verdiene 1, 2, 3 osv. Til og med b , mens null er representert med en tom sifferstreng. Det er for eksempel mulig å ha desimal uten null .

Base ett (unarisk tallsystem)

Unary er det binære tallsystemet med base b = 1. I unary brukes ett tall for å representere alle positive heltall. Verdien av sifferstrengen pqrs gitt av polynomformen kan forenkles til p + q + r + s siden b ⁿ = 1 for alle n . Ikke-standard funksjoner i dette systemet inkluderer:

Verdien på et siffer avhenger ikke av posisjonen. Dermed kan man lett hevde at unary ikke er et posisjonssystem i det hele tatt.
Å innføre et radikspunkt i dette systemet vil ikke muliggjøre representasjon av ikke-heltallverdier.
Singletallet representerer verdien 1, ikke verdien 0 = b - 1.
Verdien 0 kan ikke representeres (eller er implisitt representert med en tom sifferstreng).

Signert-sifret representasjon

I noen systemer, mens basen er et positivt heltall, er negative sifre tillatt. Ikke tilstøtende form er et bestemt system der basen er b = 2. I det balanserte ternære systemet er basen b = 3, og tallene har verdiene −1, 0 og +1 (i stedet for 0, 1 og 2 som i det standard ternære systemet , eller 1, 2 og 3 som i det binære ternære systemet).

Grå kode

Den reflekterte binære koden, også kjent som Gray-koden, er nært beslektet med binære tall , men noen biter er invertert, avhengig av pariteten til de høyere ordensbitene.

Baser som ikke er positive heltall

Noen få posisjonelle systemer har blitt foreslått der basen b ikke er et positivt heltall.

Negativ base

Negative basesystemer inkluderer negabinary , negaternary og negadecimal , med baser −2, −3 og −10; i base - b er antallet forskjellige tall som brukes, b . På grunn av egenskapene til negative tall hevet til krefter, kan alle heltall, positive og negative, representeres uten tegn.

Kompleks base

I et rent tenkt basissystem , hvor b er et heltall større enn 1 og i den imaginære enheten , består standardsettet med sifre av b ^2- tallene fra 0 til b ² - 1 . Det kan generaliseres til andre komplekse baser, noe som gir opphav til Complex-basesystemene .

Ikke-heltall base

I ikke-heltallbaser kan antall forskjellige tall som brukes tydeligvis ikke være b . I stedet brukes tallene 0 til . For eksempel bruker Golden ratio base ( phinary ) de to forskjellige tallene 0 og 1. ${\ displaystyle \ lfloor b \ rfloor}$

Blandede baser

Det er noen ganger hensiktsmessig å betrakte posisjonstallsystemer hvor vektene er forbundet med posisjonene ikke danner en geometrisk sekvens 1, b , b ² , b ³ , etc., ved å starte fra den minst signifikante posisjon, som angitt i polynomet form. I et blandet radiksystem som faktornummer-systemet , danner vektene en sekvens der hver vekt er et integrert multiplum av den forrige, og antall tillatte sifferverdier varierer tilsvarende fra posisjon til posisjon.

For kalendrisk bruk var Maya- tallsystemet et mixed-radix-system, siden en av dets posisjoner representerer en multiplikasjon med 18 i stedet for 20, for å passe til en 360-dagers kalender. Å gi en vinkel i grader, minutter og sekunder (med desimaler), eller en tid i dager, timer, minutter og sekunder, kan også tolkes som blandede radiksystemer.

Sekvenser der hver vekt ikke er et integrert multiplum av den forrige vekten, kan også brukes, men da kan ikke hvert heltall ha en unik representasjon. For eksempel bruker Fibonacci-koding sifrene 0 og 1, vektet i henhold til Fibonacci-sekvensen (1, 2, 3, 5, 8, ...); en unik representasjon av alle ikke-negative heltall kan sikres ved å forby påfølgende 1-er. Binærkodet desimal (BCD) er blandede basesystemer der biter (binære sifre) brukes til å uttrykke desimaltall. F.eks. Kan 1001 0011 hver gruppe på fire biter representere et desimaltall (i dette eksempelet 9 og 3, slik at de åtte bitene til sammen representerer desimal 93). Vektene assosiert med disse 8 posisjonene er 80, 40, 20, 10, 8, 4, 2 og 1. Unikt sikres ved å kreve at i hver gruppe på fire biter, hvis den første biten er 1, må de neste to være 00.

Asymmetriske tallsystemer

Asymmetriske tallsystemer er systemer som brukes innen informatikk hvor hvert siffer kan ha forskjellige baser, vanligvis ikke heltall. I disse er ikke bare basene til et gitt siffer annerledes, de kan også være ikke-enhetlige og endres på en asymmetrisk måte for å kode informasjon mer effektivt. De er optimalisert for valgte ikke-ensartede sannsynlighetsfordelinger av symboler, og bruker i gjennomsnitt omtrent Shannon entropibiter per symbol.

Se også

Eksterne linker

Utvidelser i ikke-heltall baser: topporden og halen

Languages

In other projects