Senary - Senary

En senary ( / s jeg n ər i , s ɛ n ər i / ) tallsystem (også kjent som basis-6 , heximal , eller seximal ) har seks som sitt utgangspunkt . Det har blitt adoptert uavhengig av et lite antall kulturer. Som desimal er det en semiprime , selv om den er et produkt av de to påfølgende tallene som begge er primtall (2 og 3), har den en høy grad av matematiske egenskaper for størrelsen. Siden seks er et overlegent høyt sammensatt tall , gjelder mange av argumentene som er fremmet for duodesimalsystemet også for base-6. På sin side refererer den senære logikken til en forlengelse av Jan Łukasiewicz og Stephen Cole Kleene sine ternære logiske systemer justert for å forklare logikken i statistiske tester og manglende datamønstre i vitenskaper ved hjelp av empiriske metoder.

Formell definisjon

Standard sett med sifre i senary er gitt av , med en lineær rekkefølge . La være Kleene nedleggelse av , hvor er operasjonen av streng sammenkobling for . Det senary tallsystem for naturlige tall er det kvotienten settet er utstyrt med et shortlex orden , hvor ekvivalens klasse er . Som har en shortlex -orden, er den isomorf i forhold til de naturlige tallene . ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {6} = \ lbrace 0,1,2,3,4,5 \ rbrace}$ ${\ displaystyle 0 <1 <2 <3 <4 <5}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {6}^{*}}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {6}}$${\ displaystyle ab}$${\ displaystyle a, b \ in {\ mathcal {D}}^{*}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {6}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {6}^{*}/\ sim}$ ${\ displaystyle \ sim}$${\ displaystyle \ lbrace n \ in {\ mathcal {D}} _ {6}^{*}, n \ sim 0n \ rbrace}$${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {6}}$${\ displaystyle \ mathbb {N}}$

Matematiske egenskaper

Når det uttrykkes i senary, har alle andre primtall enn 2 og 3 1 eller 5 som siste siffer. I senatet er primtallene skrevet

2, 3, 5, 11, 15, 21, 25, 31, 35, 45, 51, 101, 105, 111, 115, 125, 135, 141, 151, 155, 201, 211, 215, 225, 241, 245, 251, 255, 301, 305, 331, 335, 345, 351, 405, 411, 421, 431, 435, 445, 455, 501, 515, 521, 525, 531, 551, ... (sekvens A004680 i OEIS )

Det vil si at for hvert primtall p større enn 3 har man de modulære aritmetiske forholdene som enten p ≡ 1 eller 5 (mod 6) (det vil si at 6 deler enten p  - 1 eller p  - 5); det siste sifferet er et 1 eller et 5. Dette bevises av motsetning. For et helt tall n :

• Hvis n ≡ 0 (mod 6), 6 | n
• Hvis n ≡ 2 (mod 6), 2 | n
• Hvis n ≡ 3 (mod 6), 3 | n
• Hvis n ≡ 4 (mod 6), 2 | n

I tillegg, siden de minste fire primtallene (2, 3, 5, 7) enten er delere eller naboer til 6, har senary enkle delbarhetstester for mange tall.

Videre har alle like perfekte tall i tillegg til 6 44 som de to siste sifrene når de uttrykkes i senary, noe som bevises ved at hvert like perfekte tall har formen 2 ^{p −1} (2 ^p −1), hvor 2 ^p - 1 er prime.

Senary er også den største tallbasen r som ikke har andre totater enn 1 og r  - 1, noe som gjør multiplikasjonstabellen svært vanlig for størrelsen, og minimerer innsatsen som kreves for å huske bordet. Denne egenskapen maksimerer sannsynligheten for at resultatet av en heltallsmultiplikasjon ender i null, gitt at ingen av faktorene gjør det.

Brøk

Fordi seks er produktet av de to første primtallene og ligger ved siden av de to neste primtallene, har mange senary -brøk enkle representasjoner:

Finger teller

34 _senary = 22 _desimal , i senary finger telling

Hver vanlig menneskehånd kan sies å ha seks entydige posisjoner; en knyttneve, en finger (eller tommel) forlenget, to, tre, fire og deretter alle fem forlenget.

Hvis høyre hånd brukes til å representere en enhet, og venstre til å representere 'sekserne', blir det mulig for en person å representere verdiene fra null til 55 _senary (35 _desimaler ) med fingrene, i stedet for de vanlige ti oppnådd i standard fingertelling. f.eks. hvis tre fingre er forlenget på venstre hånd og fire til høyre, er 34 _senary representert. Dette tilsvarer 3 × 6 + 4 som er 22 _desimaler .

I tillegg er denne metoden den minst abstrakte måten å telle på med to hender som gjenspeiler begrepet posisjonsnotasjon , ettersom bevegelsen fra en posisjon til den neste gjøres ved å bytte fra en hånd til en annen. Mens de fleste utviklede kulturer teller med fingre opp til 5 på svært like måter, avviker utover 5 ikke-vestlige kulturer fra vestlige metoder, for eksempel med kinesiske tallbevegelser . Ettersom senert fingertelling også avviker utover 5, konkurrerer denne tellemetoden med enkelheten i tradisjonelle tellemetoder, et faktum som kan ha implikasjoner for undervisningen i posisjonsnotasjon for unge studenter.

Hvilken hånd som brukes for 'sekserne' og hvilke enhetene som er foretrukket fra tellerens side, men sett fra tellerens perspektiv, bruker venstre hånd som det mest betydningsfulle sifferet i samsvar med den skriftlige representasjonen av samme senary Nummer. Å snu 'seksernes' hånden til baksiden kan bidra til å ytterligere skille hvilken hånd som representerer 'sekserne' og som representerer enhetene. Ulempen med å telle senarer er imidlertid at to parter uten forhåndsavtale ikke ville kunne benytte dette systemet, da de var usikre på hvilken hånd som representerer seksere og hvilken hånd som representerer en, mens desimalbasert telling (med tall utover 5 uttrykt ved en åpen håndflate og flere fingre) som i hovedsak er et unært system, krever bare at den andre parten teller antall forlengede fingre.

I NCAA basketball er spillerens uniformstall begrenset til å være senatall på maksimalt to sifre, slik at dommerne kan signalisere hvilken spiller som har begått en overtredelse ved å bruke dette fingertellingssystemet.

Mer abstrakte fingertellingssystemer , for eksempel chisanbop eller finger binær , tillater telling til 99, 1 023 eller enda høyere avhengig av metoden (men ikke nødvendigvis senary i naturen). Den engelske munken og historikeren Bede , beskrevet i det første kapitlet i sitt arbeid De temporum ratione, (725), med tittelen "Tractatus de computo, vel loquela per gjester digitorum", et system som tillot å telle opptil 9999 på to hender.

Naturlige språk

Til tross for sjeldenhetene til kulturer som grupperer store mengder med 6, antyder en gjennomgang av utviklingen av tallsystemer en terskel for numerositet på 6 (muligens konseptualisert som "hel", "knyttneve" eller "utover fem fingre"), med 1 –6 er ofte rene former, og tall blir deretter konstruert eller lånt.

Det er rapportert at Ndom -språket i Papua Ny -Guinea har senatall. Mer betyr 6, mer og thef betyr 6 × 2 = 12, nif betyr 36, og nif thef betyr 36 × 2 = 72.

Et annet eksempel fra Papua Ny -Guinea er Yam -språkene . På disse språkene er telling knyttet til ritualisert yam-telling. Disse språkene teller fra en base seks, og bruker ord for makten til seks; kjører opp til 6 ⁶ for noen av språkene. Ett eksempel er Komnzo med følgende tall: nibo (6 ¹ ), fta (6 ² [36]), taruba (6 ³ [216]), damno (6 ⁴ [1296]), wärämäkä (6 ⁵ [7776]) , wi (6 ⁶ [46656]).

Noen Niger-Kongo-språk har blitt rapportert å bruke et senarisk tallsystem, vanligvis i tillegg til et annet, for eksempel desimal eller vigesimal .

Proto-Uralic har også blitt mistenkt for å ha hatt senatall, med et tall for 7 som er lånt senere, selv om bevis for å konstruere større tall (8 og 9) subtraktivt fra ti antyder at dette kanskje ikke er slik.

Base 36 som senær komprimering

For noen formål kan base 6 være en for liten base for enkelhets skyld. Dette kan omgås ved å bruke den firkantede basen 36 (heksatrigesimal), da konverteringen lettes ved å gjøre følgende erstatninger:

Dermed er basis-36-tallet WIKIPEDIA ₃₆ lik det eldre nummeret 523032304122213014 ₆ . I desimal er det 91 730 738 691 298.

Valget av 36 som radix er praktisk ved at sifrene kan representeres ved hjelp av de arabiske tallene 0–9 og de latinske bokstavene A – Z: dette valget er grunnlaget for basis36 -kodingsopplegget . Komprimeringseffekten av 36 som er kvadratet på 6 får mange mønstre og representasjoner til å bli kortere i base 36:

1/9 ₁₀ = 0,04 ₆ = 0,4 ₃₆

1/16 ₁₀ = 0,0213 ₆ = 0,29 ₃₆

1/5 ₁₀ = 0. 1 ₆ = 0. 7 ₃₆

1/7 ₁₀ = 0. 05 ₆ = 0. 5 ₃₆

Se også

• Diceware metode for å kode base-6 verdier i uttalelige passord.
• Base36 kodeskjema
• ADFGVX -kryptering for å kryptere tekst til en rekke effektivt senære sifre

Relaterte tallsystemer

• Binær (base 2)
• Ternary (base 3)
• Octal (base 8)
• Heksadesimal (base 16)
• Vigesimal (base 20)
• Trigesimal (base 30)
• Duodecimal (base 12)
• Sexagesimal (base 60)

Referanser

Eksterne linker

• Folk ser ut til å foretrekke Heximal etter antall popularitet
• Shacks Base Six Dialectic
• Konvertering av Senary base
• Nettsted om Seximal