Wheeler – DeWitt ligning - Wheeler–DeWitt equation

Kvantfeltteori
Feynman -diagram
Historie
Bakgrunn Feltteori Elektromagnetisme Svak kraft Sterk kraft Kvantemekanikk Spesiell relativitet Generell relativitet Målerteori
Symmetrier Symmetri i kvantemekanikk C-symmetri P-symmetri T-symmetri Romoversettelsessymmetri Tidsoversettelsessymmetri Rotasjonssymmetri Lorentz symmetri Poincaré symmetri Målesymmetri Eksplisitt symmetribrudd Spontan symmetri brytes Yang - Mills teori Ingen kostnad Topologisk ladning
Verktøy Anomali Kryssing Effektiv feltteori Forventningsverdi Faddeev - Popov spøkelser Feynman -diagram Gittermålerteori LSZ reduksjonsformel Delingsfunksjon Propagator Kvantisering Regularisering Renormalisering Vakuumtilstand Wicks teorem Wightman aksiomer
Likninger Dirac ligning Klein - Gordon ligning Proca -ligninger Wheeler – DeWitt -ligningen Bargmann - Wigner ligninger
Standard modell Kvantelektrodynamikk Elektrisk svak interaksjon Kvantekromodynamikk Higgs -mekanisme
Ufullstendige teorier Topologisk kvantefeltteori Strengteori Supersymmetri Technicolor Teori om alt Quantum tyngdekraft
Forskere CD Anderson PW Anderson Vær den Bjorken Bogoliubov Brout Callan Coleman DeWitt Dirac Dyson Englert Fermi Feynman Fierz Fock Fröhlich Glashow Gell-Mann Ekkelt Guralnik Heisenberg Higgs Haag Hagen 't Hooft Jordan Kendall Kibble lam Landau Lee Majorana Mills Nambu Nishijima Parisi Polyakov Salam Schwinger Skyrme Sudarshan Tomonaga Veltman avdeling Weinberg Weisskopf Weyl Wilczek Wilson Yang Yukawa
v t e

Den Wheeler-DeWitt ligning er et felt ligning tilskrives John Archibald Wheeler og Bryce DeWitt at forsøk på å kombinere matematisk ideene til kvantemekanikk og generell relativitets , et skritt mot en teori om kvantetyngde . I denne tilnærmingen spiller tiden en annen rolle enn den gjør i ikke-relativistisk kvantemekanikk, noe som fører til det såkalte ' tidsproblemet '. Mer spesifikt beskriver ligningen kvanteversjonen av den Hamiltoniske begrensningen ved hjelp av metriske variabler. Dens kommuteringsavtaler forbindelser med diffeomorphism begrensninger generere Bergman-Komar "gruppe" (som er den diffeomorphism gruppe på-shell ).

Quantum tyngdekraft

Alle definerte og forståtte beskrivelser av streng/M-teori omhandler faste asymptotiske tilstander i bakgrunnsromtiden. I det uendelige blir det "riktige" valget av tidskoordinaten "t" bestemt (fordi romtiden er asymptotisk for en viss rom-tid) i hver beskrivelse, så det er en foretrukket definisjon av Hamilton (med ikke-null egenverdier) å utvikle tilstandene i systemet fremover i tid. Dette unngår alt behovet for dynamisk å generere en tidsdimensjon ved bruk av Wheeler - DeWitt -ligningen. Dermed har ligningen ikke spilt en rolle i strengteorien så langt.

Det kan eksistere en Wheeler – DeWitt-stil for å beskrive massedynamikken i kvanteteorien om tyngdekraften. Noen eksperter mener at denne ligningen fortsatt har potensial for å forstå kvantegravitasjon; Imidlertid har tiår etter at ligningen ble publisert, helt forskjellige tilnærminger, for eksempel strengteori, gitt fysikere klare resultater om kvantegravitasjon.

Motivasjon og bakgrunn

I kanonisk tyngdekraft blir romtiden foliert til romlignende undermanifold. Den tre-metriske (dvs. metrisk på overflaten) er og gitt av ${\ displaystyle \ gamma _ {ij}}$

${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} \, \ mathrm {d} x^{\ mu} \, \ mathrm {d} x^{\ nu} = (-\, N^{2}+\ beta _ {k} \ beta^{k}) \, \ mathrm {d} t^{2} +2 \ beta _ {k} \, \ mathrm {d} x^{k} \, \ mathrm {d} t+ \ gamma _ {ij} \, \ mathrm {d} x^{i} \, \ mathrm {d} x^{j}.}$

I den ligningen løper de latinske indeksene over verdiene 1, 2, 3 og de greske indeksene løper over verdiene 1, 2, 3, 4. Den tre-metriske er feltet, og vi betegner dens konjugerte momenta som . Hamiltonian er en begrensning (karakteristisk for de fleste relativistiske systemer) ${\ displaystyle \ gamma _ {ij}}$${\ displaystyle \ pi ^{kl}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {\ gamma}}}} G_ {ijkl} \ pi ^{ij} \ pi ^{kl}-{\ sqrt { \ gamma}} \, {}^{(3)} \! R = 0}$

hvor og er Wheeler - DeWitt -metrikk. ${\ displaystyle \ gamma = \ det (\ gamma _ {ij})}$${\ displaystyle G_ {ijkl} = (\ gamma _ {ik} \ gamma _ {jl}+\ gamma _ {il} \ gamma _ {jk}-\ gamma _ {ij} \ gamma _ {kl})}$

Kvantisering "setter hatter" på momenta og feltvariabler; det vil si at funksjonene til tall i det klassiske tilfellet blir operatører som endrer tilstandsfunksjonen i kvantetallet. Dermed får vi operatøren

${\ displaystyle {\ widehat {\ mathcal {H}}} = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {\ gamma}}}} {\ widehat {G}} _ {ijkl} {\ widehat {\ pi }}^{ij} {\ widehat {\ pi}}^{kl}-{\ sqrt {\ gamma}} \, {}^{(3)} \! {\ widehat {R}}.}$

Disse operatørene jobber i "posisjonsrom"

${\ displaystyle {\ hat {\ gamma}} _ {ij} (t, x^{k}) \ to \ gamma _ {ij} (t, x^{k})}$

${\ displaystyle {\ hat {\ pi}}^{ij} (t, x^{k}) \ to -i {\ frac {\ delta} {\ delta \ gamma _ {ij} (t, x^{ k})}}.}$

Man kan bruke operatøren til en generell bølgefunksjon av metrikken der: ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathcal {H}}} \ Psi [\ gamma] = 0}$

${\ displaystyle \ Psi [\ gamma] = a+\ int \ psi (x) \ gamma (x) dx^{3}+\ int \ int \ psi (x, y) \ gamma (x) \ gamma (y) dx^{3} dy^{3}+...}$

som ville gi et sett med begrensninger blant koeffisientene . Dette betyr at amplituder for gravitoner på bestemte posisjoner er relatert til amplituder for et annet antall gravitoner på forskjellige posisjoner. Eller man kan bruke to-felt formalismen, behandle som et uavhengig felt slik at bølgefunksjonen er . ${\ displaystyle \ psi (x, y, ...)}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ omega (g)}$${\ displaystyle \ Psi [\ gamma, \ omega]}$

Matematisk formalisme

Wheeler – DeWitt -ligningen er en funksjonell differensialligning . Det er dårlig definert i det generelle tilfellet, men veldig viktig i teoretisk fysikk , spesielt i kvantegravitasjon . Det er en funksjonell differensialligning på rommet til tredimensjonale romlige beregninger. Wheeler – DeWitt -ligningen har form av en operatør som virker på en bølgefunksjonell; det funksjonelle reduseres til en funksjon i kosmologi. I motsetning til det generelle tilfellet er Wheeler - DeWitt -ligningen godt definert i minisuperspaces som konfigurasjonsrommet til kosmologiske teorier. Et eksempel på en slik bølgefunksjon er staten Hartle - Hawking . Bryce DeWitt publiserte denne ligningen første gang i 1967 under navnet "Einstein - Schrödinger ligning"; den ble senere omdøpt til "Wheeler - DeWitt -ligningen".

Hamiltonsk begrensning

Enkelt sagt, sier Wheeler – DeWitt -ligningen

hvor er den Hamiltoniske begrensningen i kvantisert generell relativitet og står for bølgefunksjonen til universet . I motsetning til vanlig kvantefeltteori eller kvantemekanikk, er Hamiltonian en førsteklasses begrensning på fysiske tilstander. Vi har også en uavhengig begrensning for hvert punkt i rommet. ${\ displaystyle {\ hat {H}} (x)}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

Selv om symbolene og kan virke kjent, er deres tolkning i Wheeler-DeWitt-ligningen vesentlig forskjellig fra ikke-relativistisk kvantemekanikk. er ikke lenger en romlig bølgefunksjon i tradisjonell forstand av en kompleks verdifunksjon som er definert på en tredimensjonal romlignende overflate og normalisert til enhet. I stedet er det en funksjon av feltkonfigurasjoner i hele romtiden. Denne bølgefunksjonen inneholder all informasjon om geometrien og materieinnholdet i universet. er fortsatt en operatør som virker på Hilbert -rommet til bølgefunksjoner, men det er ikke det samme Hilbert -rommet som i det ikke -relativistiske tilfellet, og Hamiltonian bestemmer ikke lenger utviklingen av systemet, så Schrödinger -ligningen gjelder ikke lenger. Denne eiendommen er kjent som tidløshet. Tidsgjenoppretting krever verktøyene for dekoherens og klokkeoperatører (eller bruk av et skalarfelt ). ${\ displaystyle {\ hat {H}}}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} | \ psi \ rangle = i \ hbar \ partiell /\ delvis t | \ psi \ rangle}$

Momentum -begrensning

Vi må også forsterke den Hamiltoniske begrensningen med momentumbegrensninger

${\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {P}}} (x) \ venstre | \ psi \ right \ rangle = 0}$

forbundet med romlig diffeomorfisme.

I tilnærminger i minisuperspace har vi bare én Hamiltonsk begrensning (i stedet for uendelig mange av dem).

Faktisk innebærer prinsippet om generell kovarians i generell relativitet at global evolusjon i seg selv ikke eksisterer; tiden er bare en etikett vi tildeler en av koordinataksene. Således er det vi tenker på som tidsutvikling av ethvert fysisk system bare en måttetransformasjon , lik QED -indusert av U (1) lokal gauge -transformasjon der den lokale tiden spiller rollen. Hamilton -rollen er ganske enkelt å begrense plassen til de "kinematiske" tilstandene i universet til "fysiske" tilstander - de som følger målebaner. Av denne grunn kaller vi det en "Hamiltonsk begrensning." Ved kvantisering blir fysiske tilstander bølgefunksjoner som ligger i kjernen til den hamiltonske operatøren. ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ psi \ rightarrow e^{i \ theta ({\ vec {r}})} \ psi}$${\ displaystyle \ theta ({\ vec {r}})}$

Generelt forsvinner Hamiltonian for en teori med generell kovarians eller tidsskala-variasjon.

Se også

Referanser

• Herbert W. Hamber og Ruth M. Williams (2011). "Diskret Wheeler-DeWitt-ligning". Physical Review D . 84 (10): 104033. arXiv : 1109.2530 . Bibcode : 2011PhRvD..84j4033H . doi : 10.1103/PhysRevD.84.104033 . S2CID  4812404 .
• Herbert W. Hamber, Reiko Toriumi og Ruth M. Williams (2012). "Wheeler-DeWitt-ligning i 2+1 dimensjoner". Physical Review D . 86 (8): 084010. arXiv : 1207.3759 . Bibcode : 2012PhRvD..86h4010H . doi : 10.1103/PhysRevD.86.084010 . S2CID  119229306 .