Symmetri i kvantemekanikk - Symmetry in quantum mechanics

Symmetrier i kvantemekanikk beskriver trekk ved romtid og partikler som er uendret under en viss transformasjon, i sammenheng med kvantemekanikk , relativistisk kvantemekanikk og kvantefeltteori , og med applikasjoner i den matematiske formuleringen av standardmodellen og kondensert fysikk . Generelt er symmetri i fysikk , invarianse og bevaringslover grunnleggende viktige begrensninger for å formulere fysiske teorier og modeller. I praksis er de kraftige metoder for å løse problemer og forutsi hva som kan skje. Selv om bevaringslover ikke alltid gir svaret på problemet direkte, danner de de riktige begrensningene og de første trinnene for å løse en rekke problemer.

Denne artikkelen beskriver sammenhengen mellom den klassiske formen for kontinuerlige symmetrier så vel som deres kvanteoperatorer , og relaterer dem til Lie -gruppene og relativistiske transformasjoner i Lorentz -gruppen og Poincaré -gruppen .

Notasjon

De konvensjonelle konvensjonene som brukes i denne artikkelen er som følger. Fet skrift indikerer vektorer , fire vektorer , matriser og vektoroperatorer , mens kvantetilstander bruker bra -ket -notasjon . Brede hatter er for operatører , smale hatter er for enhetsvektorer (inkludert komponentene i tensorindeksnotasjon ). Den summering konvensjonen om de gjentatte tensor indekser er brukt, hvis ikke annet er oppgitt. Den Minkowski metriske signatur er (+ ---).

Symmetri-transformasjoner på bølgefunksjonen i ikke-relativistisk kvantemekanikk

Kontinuerlige symmetrier

Vanligvis er korrespondansen mellom kontinuerlige symmetrier og bevaringslover gitt av Noeters teorem .

Formen til de grunnleggende kvanteoperatørene, for eksempel energi som et delvis tidsderivat og momentum som en romlig gradient , blir tydelig når man vurderer den opprinnelige tilstanden, og endrer deretter en parameter av den litt. Dette kan gjøres for forskyvninger (lengder), varighet (tid) og vinkler (rotasjoner). I tillegg kan invariansen av visse mengder ses ved å gjøre slike endringer i lengder og vinkler, som illustrerer bevaring av disse mengdene.

I det følgende, transformasjoner på bare en-partikkelbølgefunksjoner i formen:

{\ displaystyle {\ widehat {\ Omega}} \ psi (\ mathbf {r}, t) = \ psi (\ mathbf {r} ', t')}

blir vurdert, der betegner en enhetsoperatør . Enhet er generelt nødvendig for operatører som representerer transformasjoner av rom, tid og spinn, siden normen for en tilstand (som representerer den totale sannsynligheten for å finne partikkelen et sted med noe spinn) må være variabel under disse transformasjonene. Det omvendte er det hermitiske konjugatet . Resultatene kan utvides til mange partikkelbølgefunksjoner. Transformasjonene på kvantetilstandsvektorer er skrevet med Dirac -notasjon som standard, og er: ${\ displaystyle {\ widehat {\ Omega}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {\ Omega}}^{-1} = {\ widehat {\ Omega}}^{\ dolk}}$

{\ displaystyle {\ widehat {\ Omega}} \ venstre | \ mathbf {r} (t) \ høyre \ rangle = \ venstre | \ mathbf {r} '(t') \ høyre \ rangle}

Nå, virkningen av endringer Y gis ( r , t i) Y ( r ', t '), slik at de inverse endringene Y gis ( r ', t ') tilbake til ψ ( r , t ), slik at en operatør invariant i henhold tilfredsstiller: ${\ displaystyle {\ widehat {\ Omega}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {\ Omega}}^{-1} = {\ widehat {\ Omega}}^{\ dolk}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {A}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {\ Omega}}}$

{\ displaystyle {\ widehat {A}} \ psi = {\ widehat {\ Omega}}^{\ dolk} {\ widehat {A}} {\ widehat {\ Omega}} \ psi \ quad \ Rightarrow \ quad { \ widehat {\ Omega}} {\ widehat {A}} \ psi = {\ widehat {A}} {\ widehat {\ Omega}} \ psi}

og dermed:

{\ displaystyle [{\ widehat {\ Omega}}, {\ widehat {A}}] \ psi = 0}

for enhver stat ψ . Quantum operatører som representerer observer er også pålagt å være Hermitisk slik at deres egenverdier er reelle tall , det vil si at operatøren er lik sin Hermitisk konjugat , . ${\ displaystyle {\ widehat {A}} = {\ widehat {A}}^{\ dolk}}$

Oversikt over Lie -gruppeteorien

Følgende er de viktigste punktene i gruppeteorien som er relevant for kvanteteorien, eksempler er gitt gjennom artikkelen. For en alternativ tilnærming ved bruk av matriksgrupper, se Hall's bøker

La G være en Lie gruppe , som er en gruppe som lokalt er parametrisert ved en endelig antall N av ekte kontinuerlig varierende parametre ξ ₁ , ξ ₂ , ... ξ _N . I mer matematisk språk betyr dette at G er en jevn manifold som også er en gruppe, som gruppeoperasjonene er jevne for.

den dimensjon av gruppen , N , er antallet av parametere det har.
de gruppeelementer , g , i G er funksjoner av parameterne:

{\ displaystyle g = G (\ xi _ {1}, \ xi _ {2}, \ cdots)}

og alle parametere satt til null returnerer identitetselementet i gruppen:

{\ displaystyle I = G (0,0 \ cdots)}

Gruppeelementer er ofte matriser som virker på vektorer, eller transformasjoner som virker på funksjoner.

De generatorer av gruppen er de partielle deriverte av gruppeelementer med hensyn til gruppeparametrene, med det resultat evaluert når parameteren er satt til null:

{\ displaystyle X_ {j} = \ venstre. {\ frac {\ delvis g} {\ delvis \ xi _ {j}}} \ høyre | _ {\ xi _ {j} = 0}}

På mangfoldsspråket er generatorene elementene i tangensrommet til G ved identiteten. Generatorene er også kjent som infinitesimale gruppeelementer eller som elementene i Lie algebra av G . (Se diskusjonen nedenfor av kommutatoren.)

Et aspekt av generatorer i teoretisk fysikk er at de kan konstrueres selv som operatører som tilsvarer symmetrier, som kan skrives som matriser eller som differensialoperatorer. I kvanteteori, for enhetsrepresentasjoner av gruppen, krever generatorene en faktor i :

{\ displaystyle X_ {j} = i \ venstre. {\ frac {\ delvis g} {\ delvis \ xi _ {j}}} \ høyre | _ {\ xi _ {j} = 0}}

Generatorene i gruppen danner et vektorrom , noe som betyr at lineære kombinasjoner av generatorer også danner en generator.

Generatorene (enten matriser eller differensialoperatører) tilfredsstiller kommuteringsrelasjonene :

{\ displaystyle \ left [X_ {a}, X_ {b} \ right] = if_ {abc} X_ {c}}

hvor f _abc er (basisavhengige) strukturkonstanter i gruppen. Dette gjør, sammen med vektorrom -egenskapen, settet til alle generatorer i en gruppe til en Lie -algebra . På grunn av brakettens antisymmetri er strukturkonstantene i gruppen antisymmetriske i de to første indeksene.

De representasjoner av gruppen deretter beskrive de måter som gruppen G (eller dens Lie algebra) kan virke på et vektorrom. (Vektoren plass kan være, for eksempel, et tidsrom av egenvektorer for en Hamilton med G som sitt symmetri gruppe.) Vi betegner representasjonene ved hjelp av en kapital D . Man kan da differentiate D for å oppnå en representasjon av Lie algebra, ofte også betegnet med D . Disse to representasjonene er relatert som følger:

{\ displaystyle D [g (\ xi _ {j})] \ equiv D (\ xi _ {j}) = e^{i \ xi _ {j} D (X_ {j})}}

uten summering på den gjentatte indeksen j . Representasjoner er lineære operatører som tar inn gruppeelementer og beholder komposisjonsregelen:

{\ displaystyle D (\ xi _ {a}) D (\ xi _ {b}) = D (\ xi _ {a} \ xi _ {b}).}

En representasjon som ikke kan dekomponeres til en direkte sum av andre representasjoner, kalles irreduserbar . Det er vanlig å merke ureduserbare representasjoner med et overskrevet tall n i parentes, som i D ^{( n )} , eller hvis det er mer enn ett tall, skriver vi D ^{( n , m , ...)} .

Det er en ekstra subtilitet som oppstår i kvanteteorien, hvor to vektorer som skiller seg ved multiplikasjon med en skalar representerer den samme fysiske tilstanden. Her er den aktuelle forestillingen om representasjon en projektiv fremstilling , en som bare tilfredsstiller komposisjonsloven opp til en skalar. I sammenheng med kvantemekanisk spinn kalles slike representasjoner for spinorial .

Momentum og energi som generatorer av oversettelse og tidsutvikling, og rotasjon

Plassen oversettelse operatør virker på en bølgefunksjonen for å forskyve romkoordinatene ved en uendelig liten forskyvning Δ r . Det eksplisitte uttrykket kan raskt bestemmes av en Taylor -utvidelse av ψ ( r + Δ r , t ) om r , deretter (beholde den første ordrebetegnelsen og neglisjere andre og høyere ordens vilkår), erstatte mellomromderivatene med momentumoperatoren . På samme måte for tidsoversettelsesoperatoren som virker på tidsparameteren, er Taylor -utvidelsen av ψ ( r , t + Δ t ) omtrent t , og tidsderivatet erstattet av energioperatøren . ${\ displaystyle {\ widehat {T}} (\ Delta \ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle {\ widehat {T}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbf {p}}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {E}}}$

Navn	Oversettelsesoperatør ${\ displaystyle {\ widehat {T}}}$	Operatør for tidsoversettelse/evolusjon ${\ displaystyle {\ widehat {U}}}$
Handling på bølgefunksjon	${\ displaystyle {\ widehat {T}} (\ Delta \ mathbf {r}) \ psi (\ mathbf {r}, t) = \ psi (\ mathbf {r} +\ Delta \ mathbf {r}, t) }$	${\ displaystyle {\ widehat {U}} (\ Delta t) \ psi (\ mathbf {r}, t) = \ psi (\ mathbf {r}, t+\ Delta t)}$
Uendelig liten operatør	${\ displaystyle {\ widehat {T}} (\ Delta \ mathbf {r}) = I+{\ frac {i} {\ hbar}} \ Delta \ mathbf {r} \ cdot {\ widehat {\ mathbf {p} }}}$	${\ displaystyle {\ widehat {U}} (\ Delta t) = I-{\ frac {i} {\ hbar}} \ Delta t {\ widehat {E}}}$
Endelig operatør	${\ displaystyle \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} \ left (I+{\ frac {i} {\ hbar}} {\ frac {\ Delta \ mathbf {r}} {N}} \ cdot {\ widehat { \ mathbf {p}}} \ right)^{N} = \ exp \ left ({\ frac {i} {\ hbar}} \ Delta \ mathbf {r} \ cdot {\ widehat {\ mathbf {p}} } \ right) = {\ widehat {T}} (\ Delta \ mathbf {r})}$	${\ displaystyle \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} \ left (I-{\ frac {i} {\ hbar}} {\ frac {\ Delta t} {N}} \ cdot {\ widehat {E}} \ høyre)^{N} = \ exp \ venstre (-{\ frac {i} {\ hbar}} \ Delta t {\ widehat {E}} \ høyre) = {\ widehat {U}} (\ Delta t )}$
Generator	Momentum -operatør ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbf {p}}} =-i \ hbar \ nabla}$	Energioperatør ${\ displaystyle {\ widehat {E}} = i \ hbar {\ frac {\ partiell} {\ delvis t}}}$

De eksponensielle funksjonene oppstår per definisjon som disse grensene, på grunn av Euler , og kan forstås fysisk og matematisk som følger. En netto oversettelse kan bestå av mange små oversettelser, så for å få oversettelsesoperatoren for et begrenset trinn, erstatt Δ r med r r / N og Δ t med Δ t / N , hvor N er et positivt heltall uten null. Deretter som N øker, vil størrelsen av Δ r og Δ t blir enda mindre, og samtidig la retninger uendret. Å handle de uendelige operatørene på bølgefunksjonen N ganger og ta grensen når N har en tendens til uendelig gir de endelige operatørene.

Oversettelser av rom og tid pendler, noe som betyr at operatørene og generatorene pendler.

Kommutatorer
Operatører	${\ displaystyle \ left [{\ widehat {T}} (\ mathbf {r} _ {1}), {\ widehat {T}} (\ mathbf {r} _ {2}) \ right] \ psi (\ mathbf {r}, t) = 0}$	${\ displaystyle \ left [{\ widehat {U}} (t_ {1}), {\ widehat {U}} (t_ {2}) \ right] \ psi (\ mathbf {r}, t) = 0}$
Generatorer	${\ displaystyle \ left [{\ widehat {p}} _ {i}, {\ widehat {p}} _ {j}, \ right] \ psi (\ mathbf {r}, t) = 0}$	${\ displaystyle \ left [{\ widehat {E}}, {\ widehat {p}} _ {i}, \ right] \ psi (\ mathbf {r}, t) = 0}$

For en tidsuavhengig Hamiltonian blir energien bevart i tid, og kvantetilstander er stasjonære tilstander : Hamilton-egenstatene er energiens egenverdier E :

{\ displaystyle {\ widehat {U}} (t) = \ exp \ left (-{\ frac {i \ Delta tE} {\ hbar}} \ right)}

og alle stasjonære stater har formen

{\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}, t+t_ {0}) = {\ widehat {U}} (t-t_ {0}) \ psi (\ mathbf {r}, t_ {0})}}

hvor t ₀ er starttiden, vanligvis satt til null siden det ikke er tap av kontinuitet når den første tiden er satt.

En alternativ notasjon er . ${\ displaystyle {\ widehat {U}} (t-t_ {0}) \ equiv U (t, t_ {0})}$

Vinkelmoment som rotasjonsgenerator

Orbital vinkelmoment

Rotasjonsoperatøren virker på en bølgefunksjon for å rotere de romlige koordinatene til en partikkel med en konstant vinkel Δ θ :

{\ displaystyle {R} (\ Delta \ theta, {\ hat {\ mathbf {a}}}) \ psi (\ mathbf {r}, t) = \ psi (\ mathbf {r} ', t)}

hvor r ′ er de roterte koordinatene rundt en akse definert av en enhetsvektor gjennom en vinkeløkning Δ θ , gitt av: ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {a}}} = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3})}$

{\ displaystyle \ mathbf {r} '= {\ widehat {R}} (\ Delta \ theta, {\ hat {\ mathbf {a}}}) \ mathbf {r} \ ,.}

hvor er en rotasjonsmatrise avhengig av aksen og vinkelen. I gruppeteoretisk språk er rotasjonsmatrisene gruppeelementer, og vinklene og aksen er parametrene til den tredimensjonale spesielle ortogonale gruppen , SO (3). Rotasjonsmatrisene om den standard kartesiske basisvektoren gjennom vinkelen Δ θ , og de tilsvarende generatorene for rotasjoner J = ( J _x , J _y , J _z ) , er: ${\ displaystyle {\ widehat {R}} (\ Delta \ theta, {\ hat {\ mathbf {a}}})}$ ${\ displaystyle \ Delta \ theta {\ hat {\ mathbf {a}}} = \ Delta \ theta (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3})}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {x}, {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {y}, {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {z} }$

${\ displaystyle {\ widehat {R}} _ {x} \ equiv {\ widehat {R}} (\ Delta \ theta, {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {x}) = {\ begin { pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos \ Delta \ theta &-\ sin \ Delta \ theta \\ 0 & \ sin \ Delta \ theta & \ cos \ Delta \ theta \\\ end {pmatrix}} \ ,,}$	${\ displaystyle J_ {x} \ equiv J_ {1} = i \ venstre. {\ frac {\ partiell {\ widehat {R}} (\ theta, {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {x} )} {\ partial \ theta}} \ right \| _ {\ theta = 0} = i {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\\ end {pmatrix}} \ ,,}$
${\ displaystyle {\ widehat {R}} _ {y} \ equiv {\ widehat {R}} (\ Delta \ theta, {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {y}) = {\ begin { pmatrix} \ cos \ Delta \ theta & 0 & \ sin \ Delta \ theta \\ 0 & 1 & 0 \\-\ sin \ Delta \ theta & 0 & \ cos \ Delta \ theta \\\ end {pmatrix}} \ ,,}$	${\ displaystyle J_ {y} \ equiv J_ {2} = i \ venstre. {\ frac {\ partiell {\ widehat {R}} (\ theta, {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {y} )} {\ partial \ theta}} \ right \| _ {\ theta = 0} = i {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\-1 & 0 & 0 \\\ ende {pmatrix}} \ ,,}$
${\ displaystyle {\ widehat {R}} _ {z} \ equiv {\ widehat {R}} (\ Delta \ theta, {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {z}) = {\ begin { pmatrix} \ cos \ Delta \ theta &-\ sin \ Delta \ theta & 0 \\\ sin \ Delta \ theta & \ cos \ Delta \ theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}} \ ,,}$	${\ displaystyle J_ {z} \ equiv J_ {3} = i \ venstre. {\ frac {\ partiell {\ widehat {R}} (\ theta, {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {z} )} {\ partial \ theta}} \ right \| _ {\ theta = 0} = i {\ begin {pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}} \ ,.}$

Mer generelt for rotasjoner rundt en akse definert av , er rotasjonsmatriseelementene: ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {a}}}}$

{\ displaystyle [{\ widehat {R}} (\ theta, {\ hat {\ mathbf {a}}})] _ {ij} = (\ delta _ {ij} -a_ {i} a_ {j}) \ cos \ theta -\ varepsilon _ {ijk} a_ {k} \ sin \ theta +a_ {i} a_ {j}}

hvor δ _ij er Kronecker-deltaet , og ε _ijk er Levi-Civita-symbolet .

Det er ikke like åpenbart hvordan rotasjonsoperatøren skal bestemmes i forhold til plass- og tidsoversettelser. Vi kan vurdere et spesialtilfelle (rotasjoner rundt x , y eller z -aksen) for deretter å slutte på det generelle resultatet, eller bruke den generelle rotasjonsmatrisen direkte og tensorindeksnotasjon med δ _ij og ε _ijk . For å utlede den uendelige rotasjonsoperatoren, som tilsvarer liten Δ θ , bruker vi tilnærmingene til liten vinkel sin (Δ θ ) ≈ Δ θ og cos (Δ θ ) ≈ 1, deretter utvider Taylor om r eller r _i , behold den første ordren term, og erstatt vinkelmomentoperatørkomponentene .

	Rotasjon om ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {z}}$	Rotasjon om ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {a}}}}$
Handling på bølgefunksjon	${\ displaystyle {\ widehat {R}} (\ Delta \ theta, {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {z}) \ psi (x, y, z, t) = \ psi (x- \ Delta \ theta y, \ Delta \ theta x+y, z, t)}$	${\ displaystyle {\ widehat {R}} (\ Delta \ theta, {\ hat {\ mathbf {a}}}) \ psi (r_ {i}, t) = \ psi (R_ {ij} r_ {j} , t) = \ psi (r_ {i}-\ varepsilon _ {ijk} a_ {k} \ Delta \ theta r_ {j}, t)}$
Uendelig liten operatør	${\ displaystyle {\ widehat {R}} (\ Delta \ theta, {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {z}) = I-{\ frac {i} {\ hbar}} \ Delta \ theta {\ widehat {L}} _ {z}}$	${\ displaystyle {\ begynne {justert} {\ widehat {R}} (\ Delta \ theta, {\ hat {\ mathbf {a}}}) & = I-(-\ Delta \ theta a_ {k} \ varepsilon _ {kij} r_ {j}) {\ frac {\ partiell} {\ delvis r_ {i}}} \\ & = I-(\ Delta \ theta a_ {k} \ varepsilon _ {kji} r_ {j} ) {\ frac {\ partiell} {\ delvis r_ {i}}} \\ & = I- \ Delta \ theta {\ hat {\ mathbf {a}}} \ cdot (\ mathbf {r} \ times \ nabla ) \\ & = I-{\ frac {i \ Delta \ theta} {\ hbar}} {\ hat {\ mathbf {a}}} \ cdot {\ widehat {\ mathbf {L}}} \\\ end {justert}}}$
Uendelige rotasjoner	${\ displaystyle {\ widehat {R}} = 1-{\ frac {i} {\ hbar}} \ Delta \ theta {\ hat {\ mathbf {a}}} \ cdot {\ widehat {\ mathbf {L} }} \ ,, \ quad {\ widehat {\ mathbf {L}}} = i \ hbar {\ hat {\ mathbf {a}}} {\ frac {\ partial} {\ partiell \ theta}}}$	Samme
Endelige rotasjoner	${\ displaystyle \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} \ left (1-{\ frac {i} {\ hbar}} {\ frac {\ Delta \ theta} {N}} {\ hat {\ mathbf {a }}} \ cdot {\ widehat {\ mathbf {L}}} \ høyre)^{N} = \ exp \ left (-{\ frac {i} {\ hbar}} \ Delta \ theta {\ hat {\ mathbf {a}}} \ cdot {\ widehat {\ mathbf {L}}} \ right) = {\ widehat {R}}}$	Samme
Generator	z -komponent av vinkelmomentoperatøren ${\ displaystyle {\ widehat {L}} _ {z} = i \ hbar {\ frac {\ partiell} {\ delvis \ theta}}}$	Full vinkelmomentoperatør . ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbf {L}}}}$

Den z -komponent av vinkel-bevegelsesmengde kan erstattes av en komponent langs aksen definert av , ved hjelp av punktproduktet . ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {a}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {a}}} \ cdot {\ widehat {\ mathbf {L}}}}$

Igjen kan en endelig rotasjon utføres fra mange små rotasjoner, ved å erstatte Δ θ med Δ θ / N og ta grensen når N har en tendens til uendelig, gir rotasjonsoperatøren en endelig rotasjon.

Rotasjoner rundt samme akse pendler, for eksempel kan en rotasjon gjennom vinklene θ ₁ og θ ₂ om aksen i skrives

{\ displaystyle R (\ theta _ {1}+\ theta _ {2}, \ mathbf {e} _ {i}) = R (\ theta _ {1} \ mathbf {e} _ {i}) R ( \ theta _ {2} \ mathbf {e} _ {i}) \ ,, \ quad [R (\ theta _ {1} \ mathbf {e} _ {i}), R (\ theta _ {2} \ mathbf {e} _ {i})] = 0 \ ,.}

Rotasjoner rundt forskjellige akser pendler imidlertid ikke. De generelle kommuteringsreglene er oppsummert av

{\ displaystyle [L_ {i}, L_ {j}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} L_ {k}.}

I denne forstand har orbital vinkelmoment sunn fornuftsegenskaper ved rotasjoner. Hver av kommutatorene ovenfor kan enkelt demonstreres ved å holde et dagligdags objekt og rotere det gjennom samme vinkel rundt to forskjellige akser i begge mulige bestillinger; de endelige konfigurasjonene er forskjellige.

I kvantemekanikk er det en annen rotasjonsform som matematisk ligner på orbital -tilfellet, men har forskjellige egenskaper, beskrevet neste.

Spinn vinkelmoment

Alle tidligere mengder har klassiske definisjoner. Spinn er en mengde som partikler innehar i kvantemekanikk uten noen klassisk analog, som har vinkelmomentene. Sentrifuge vektoren Operatøren er betegnet . Egenverdiene til komponentene er de mulige utfallene (i enheter av ) av en måling av spinnet som projiseres på en av grunnretningene. ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbf {S}}} = ({\ widehat {S_ {x}}}, {\ widehat {S_ {y}}}, {\ widehat {S_ {z}}}))}$ ${\ displaystyle \ hbar}$

Rotasjoner (av vanlig rom) rundt en akse gjennom vinkel θ om enhetsvektoren i rommet som virker på en multikomponentbølgefunksjon (spinor) på et punkt i rommet er representert ved: ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {a}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}}}$

Spinnrotasjonsoperatør ( endelig )

${\ displaystyle {\ widehat {S}} (\ theta, {\ hat {\ mathbf {a}}}) = \ exp \ left (-{\ frac {i} {\ hbar}} \ theta {\ hat { \ mathbf {a}}} \ cdot {\ widehat {\ mathbf {S}}} \ høyre)}$

Imidlertid, i motsetning til orbital vinkel-bevegelsesmengde i hvilken z -projection kvante antall ℓ kan bare ta positive eller negative heltallsverdier (inkludert null), z -projection spinn quantum antall s kan ta alle positive og negative halv-heltallsverdier. Det er rotasjonsmatriser for hvert spinnkvantum.

Evaluering av eksponentiell for et gitt z -projeksjon spin -kvantetall s gir en (2 s + 1) -dimensjonal spinnmatrise. Dette kan brukes til å definere en spinor som en kolonnevektor med 2 s + 1 komponenter som transformeres til et rotert koordinatsystem i henhold til spinnmatrisen på et fast punkt i rommet.

For det enkleste ikke-trivielle tilfellet av s = 1/2, blir spinnoperatoren gitt av

{\ displaystyle {\ widehat {\ mathbf {S}}} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ boldsymbol {\ sigma}}}

der Pauli -matrisene i standardrepresentasjonen er:

{\ displaystyle \ sigma _ {1} = \ sigma _ {x} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ ,, \ quad \ sigma _ {2} = \ sigma _ {y } = {\ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix}} \ ,, \ quad \ sigma _ {3} = \ sigma _ {z} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &- 1 \ end {pmatrix}}}

Totalt vinkelmoment

Den totale vinkelmomentoperatoren er summen av orbitalen og spinnet

{\ displaystyle {\ widehat {\ mathbf {J}}} = {\ widehat {\ mathbf {L}}}+{\ widehat {\ mathbf {S}}}}

og er en viktig mengde for flerpartikkelsystemer, spesielt innen kjernefysikk og kvantekjemi av flerelektronatomer og molekyler.

Vi har en lignende rotasjonsmatrise:

{\ displaystyle {\ widehat {J}} (\ theta, {\ hat {\ mathbf {a}}}) = \ exp \ left (-{\ frac {i} {\ hbar}} \ theta {\ hat { \ mathbf {a}}} \ cdot {\ widehat {\ mathbf {J}}} \ høyre)}

Bevarte mengder i den kvanteharmoniske oscillatoren

Den dynamiske symmetri -gruppen til den n -dimensjonale kvanteharmoniske oscillatoren er den spesielle enhetsgruppen SU ( n ). Som et eksempel er antall uendelige generatorer av de tilsvarende Lie -algebraene til SU (2) og SU (3) henholdsvis tre og åtte. Dette fører til nøyaktig tre og åtte uavhengige konserverte mengder (andre enn Hamiltonian) i disse systemene.

Den todimensjonale kvanteharmoniske oscillatoren har de forventede bevarte mengdene til Hamiltonian og vinkelmomentet, men har ytterligere skjulte konserverte mengder av energinivåforskjell og en annen form for vinkelmoment.

Lorentz -gruppen i relativistisk kvantemekanikk

Følgende er en oversikt over Lorentz -gruppen; en behandling av boosts og rotasjoner i romtiden. Gjennom denne delen, se (for eksempel) T. Ohlsson (2011) og E. Abers (2004).

Lorentz-transformasjoner kan parametriseres ved hurtighet φ for et løft i retningen til en tredimensjonal enhetsvektor , og en rotasjonsvinkel θ om en tredimensjonal enhetsvektor som definerer en akse, så og er sammen seks parametere i Lorentz-gruppen (tre for rotasjoner og tre for boosts). Lorentz-gruppen er 6-dimensjonal. ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}} = (n_ {1}, n_ {2}, n_ {3})}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {a}}} = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3})}$ ${\ displaystyle \ varphi {\ hat {\ mathbf {n}}} = \ varphi (n_ {1}, n_ {2}, n_ {3})}$ ${\ displaystyle \ theta {\ hat {\ mathbf {a}}} = \ theta (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3})}}$

Rene rotasjoner i romtiden

Rotasjonsmatrisene og rotasjonsgeneratorene som er vurdert ovenfor, utgjør den romlignende delen av en firdimensjonal matrise, som representerer ren rotasjon Lorentz-transformasjoner. Tre av Lorentz -gruppens elementer og generatorer J = ( J ₁ , J ₂ , J ₃ ) for rene rotasjoner er: ${\ displaystyle {\ widehat {R}} _ {x}, {\ widehat {R}} _ {y}, {\ widehat {R}} _ {z}}$

${\ displaystyle {\ widehat {R}} (\ Delta \ theta, {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {x}) = {\ start {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ cos \ Delta \ theta &-\ sin \ Delta \ theta \\ 0 & 0 & \ sin \ Delta \ theta & \ cos \ Delta \ theta \\\ end {pmatrix}} \ ,,}$	${\ displaystyle J_ {x} = J_ {1} = i {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\ end {pmatrix}} \ ,,}$
${\ displaystyle {\ widehat {R}} (\ Delta \ theta, {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {y}) = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos \ Delta \ theta & 0 & \ sin \ Delta \ theta \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 &-\ sin \ Delta \ theta & 0 & \ cos \ Delta \ theta \\\ end {pmatrix}} \ ,,}$	${\ displaystyle J_ {y} = J_ {2} = i {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}} \ ,,}$
${\ displaystyle {\ widehat {R}} (\ Delta \ theta, {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {z}) = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos \ Delta \ theta & -\ sin \ Delta \ theta & 0 \\ 0 & \ sin \ Delta \ theta & \ cos \ Delta \ theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ ende {pmatrix}} \ ,,}$	${\ displaystyle J_ {z} = J_ {3} = i {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}} \ ,.}$

Rotasjonsmatrisene virker på alle fire vektorer A = ( A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ ) og roterer de romlignende komponentene iht.

{\ displaystyle \ mathbf {A} '= {\ widehat {R}} (\ Delta \ theta, {\ hat {\ mathbf {n}}}) \ mathbf {A}}

la den tidslignende koordinaten være uendret. I matriseuttrykk blir A behandlet som en kolonnevektor .

Ren boost i romtiden

Et løft med hastigheten c tanh φ i x- , y- eller z -retningene gitt av standard kartesisk basisvektor , er boost -transformasjonsmatrisene. Disse matrisene og de tilhørende generatorene K = ( K ₁ , K ₂ , K ₃ ) er de resterende tre gruppeelementene og generatorene i Lorentz -gruppen: ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {x}, {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {y}, {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {z} }$ ${\ displaystyle {\ widehat {B}} _ {x}, {\ widehat {B}} _ {y}, {\ widehat {B}} _ {z}}$

${\ displaystyle {\ widehat {B}} _ {x} \ equiv {\ widehat {B}} (\ varphi, {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {x}) = {\ begin {pmatrix} \ cosh \ varphi & \ sinh \ varphi & 0 & 0 \\\ sinh \ varphi & \ cosh \ varphi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}} \ ,,}$	${\ displaystyle K_ {x} = K_ {1} = i \ venstre. {\ frac {\ partiell {\ widehat {B}} (\ varphi, {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {x}) } {\ partial \ varphi}} \ right \| _ {\ varphi = 0} = i {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ slutten {pmatrix}} \ ,,}$
${\ displaystyle {\ widehat {B}} _ {y} \ equiv {\ widehat {B}} (\ varphi, {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {y}) = {\ begin {pmatrix} \ cosh \ varphi & 0 & \ sinh \ varphi & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\ sinh \ varphi & 0 & \ cosh \ varphi & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ slutten {pmatrix}} \ ,,}$	${\ displaystyle K_ {y} = K_ {2} = i \ venstre. {\ frac {\ partiell {\ widehat {B}} (\ varphi, {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {y}) } {\ partial \ varphi}} \ right \| _ {\ varphi = 0} = i {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ slutten {pmatrix}} \ ,,}$
${\ displaystyle {\ widehat {B}} _ {z} \ equiv {\ widehat {B}} (\ varphi, {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {z}) = {\ begin {pmatrix} \ cosh \ varphi & 0 & 0 & \ sinh \ varphi \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\ sinh \ varphi & 0 & 0 & \ cosh \ varphi \\\ end {pmatrix}} \ ,,}$	${\ displaystyle K_ {z} = K_ {3} = i \ venstre. {\ frac {\ partiell {\ widehat {B}} (\ varphi, {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {z}) } {\ partial \ varphi}} \ right \| _ {\ varphi = 0} = i {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\ slutten {pmatrix}} \ ,.}$

Boostmatrisene virker på alle fire vektorer A = ( A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ ) og blander de tidslignende og de romlignende komponentene, i henhold til:

{\ displaystyle \ mathbf {A} '= {\ widehat {B}} (\ varphi, {\ hat {\ mathbf {n}}}) \ mathbf {A}}

Begrepet "boost" refererer til den relative hastigheten mellom to rammer, og skal ikke blandes med momentum som generator for oversettelser , som forklart nedenfor .

Kombinere boosts og rotasjoner

Produkter av rotasjoner gir en annen rotasjon (en hyppig eksemplifisering av en undergruppe), mens produkter av boosts og boosts eller av rotasjoner og boosts ikke kan uttrykkes som rene boosts eller rene rotasjoner. Generelt kan enhver Lorentz -transformasjon uttrykkes som et produkt av en ren rotasjon og et rent løft. For mer bakgrunn, se (for eksempel) BR Durney (2011) og HL Berk et al. og referanser der.

De boost og rotasjons generatorer har representasjoner som er betegnet D ( K ) og D ( J ) henholdsvis den kapital D i denne sammenheng betyr en gruppe representasjon .

For Lorentz -gruppen oppfyller representasjonene D ( K ) og D ( J ) til generatorene K og J følgende kommuteringsregler.

Kommutatorer
	Ren rotasjon	Rent løft	Lorentz transformasjon
Generatorer	${\ displaystyle \ left [J_ {a}, J_ {b} \ right] = i \ varepsilon _ {abc} J_ {c}}$	${\ displaystyle \ left [K_ {a}, K_ {b} \ right] =-i \ varepsilon _ {abc} J_ {c}}$	${\ displaystyle \ left [J_ {a}, K_ {b} \ right] = i \ varepsilon _ {abc} K_ {c}}$
Representasjoner	${\ displaystyle \ left [{D (J_ {a})}, {D (J_ {b})} \ right] = i \ varepsilon _ {abc} {D (J_ {c})}}}$	${\ displaystyle \ left [{D (K_ {a})}, {D (K_ {b})} \ right] =-i \ varepsilon _ {abc} {D (J_ {c})}}}$	${\ displaystyle \ left [{D (J_ {a})}, {D (K_ {b})} \ right] = i \ varepsilon _ {abc} {D (K_ {c})}}}$

I alle kommutatorer blandes boost -enhetene med dem for rotasjoner, selv om rotasjoner alene bare gir en ny rotasjon. Eksponentisering av generatorene gir boost- og rotasjonsoperatørene som kombineres til den generelle Lorentz -transformasjonen, under hvilken romtidskoordinatene transformeres fra en hvileramme til en annen forsterket og/eller roterende ramme. På samme måte gir eksponentiering av representasjonene til generatorene representasjonene til boost- og rotasjonsoperatørene, der en partikkels spinorfelt transformeres.

Transformasjonslover
	Rent løft	Ren rotasjon	Lorentz transformasjon
Transformasjoner	${\ displaystyle {\ widehat {B}} (\ varphi, {\ hat {\ mathbf {n}}}) = \ exp \ left (-{\ frac {i} {\ hbar}} \ varphi {\ hat { \ mathbf {n}}} \ cdot \ mathbf {K} \ right)}$	${\ displaystyle {\ widehat {R}} (\ theta, {\ hat {\ mathbf {a}}}) = \ exp \ left (-{\ frac {i} {\ hbar}} \ theta {\ hat { \ mathbf {a}}} \ cdot \ mathbf {J} \ right)}$	${\ displaystyle \ Lambda (\ varphi, {\ hat {\ mathbf {n}}}, \ theta, {\ hat {\ mathbf {a}}}) = \ exp \ left [-{\ frac {i} { \ hbar}} \ venstre (\ varphi {\ hat {\ mathbf {n}}} \ cdot \ mathbf {K} +\ theta {\ hat {\ mathbf {a}}} \ cdot \ mathbf {J} \ høyre )\Ikke sant]}$
Representasjoner	${\ displaystyle D [{\ widehat {B}} (\ varphi, {\ hat {\ mathbf {n}}})] = \ exp \ left (-{\ frac {i} {\ hbar}} \ varphi { \ hat {\ mathbf {n}}} \ cdot D (\ mathbf {K}) \ right)}$	${\ displaystyle D [{\ widehat {R}} (\ theta, {\ hat {\ mathbf {a}}})] = \ exp \ left (-{\ frac {i} {\ hbar}} \ theta { \ hat {\ mathbf {a}}} \ cdot D (\ mathbf {J}) \ høyre)}$	${\ displaystyle D [\ Lambda (\ theta, {\ hat {\ mathbf {a}}}, \ varphi, {\ hat {\ mathbf {n}}})] = \ exp \ left [-{\ frac { i} {\ hbar}} \ venstre (\ varphi {\ hat {\ mathbf {n}}} \ cdot D (\ mathbf {K})+\ theta {\ hat {\ mathbf {a}}} \ cdot D (\ mathbf {J}) \ right) \ right]}$

I litteraturen blir boostgeneratorene K og rotasjonsgeneratorene J noen ganger kombinert til en generator for Lorentz-transformasjoner M , en antisymmetrisk fire-dimensjonal matrise med oppføringer:

{\ displaystyle M^{0a} =-M^{a0} = K_ {a} \ ,, \ quad M^{ab} = \ varepsilon _ {abc} J_ {c} \ ,.}

og tilsvarende samles boost- og rotasjonsparametrene inn i en annen antisymmetrisk fire-dimensjonal matrise ω , med oppføringer:

{\ displaystyle \ omega _ {0a} =-\ omega _ {a0} = \ varphi n_ {a} \ ,, \ quad \ omega _ {ab} = \ theta \ varepsilon _ {abc} a_ {c} \, ,}

Den generelle Lorentz -transformasjonen er da:

{\ displaystyle \ Lambda (\ varphi, {\ hat {\ mathbf {n}}}, \ theta, {\ hat {\ mathbf {a}}}) = \ exp \ left (-{\ frac {i} { 2}} \ omega _ {\ alpha \ beta} M^{\ alpha \ beta} \ right) = \ exp \ left [-{\ frac {i} {2}} \ left (\ varphi {\ hat {\ mathbf {n}}} \ cdot \ mathbf {K} +\ theta {\ hat {\ mathbf {a}}} \ cdot \ mathbf {J} \ right) \ right]}

med summering over gjentatte matriseindekser α og β . Λ-matrisene virker på alle fire vektorer A = ( A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ ) og blander de tidslignende og de romlignende komponentene, i henhold til:

{\ displaystyle \ mathbf {A} '= \ Lambda (\ varphi, {\ hat {\ mathbf {n}}}, \ theta, {\ hat {\ mathbf {a}}}) \ mathbf {A}}

Transformasjoner av spinorbølgefunksjoner i relativistisk kvantemekanikk

I relativistisk kvantemekanikk er bølgefunksjoner ikke lenger enkeltkomponent skalarfelt, men nå 2 (2 s + 1) komponent spinorfelt, hvor s er spinnet til partikkelen. Transformasjonene av disse funksjonene i romtiden er gitt nedenfor.

Under en riktig ortokron Lorentz-transformasjon ( r , t ) → Λ ( r , t ) i Minkowski-rommet , transformeres alle enpartikkeltalltilstander ψ _σ lokalt under en representasjon D av Lorentz-gruppen :

{\ displaystyle \ psi _ {\ sigma} (\ mathbf {r}, t) \ rightarrow D (\ Lambda) \ psi _ {\ sigma} (\ Lambda ^{-1} (\ mathbf {r}, t) )}}

hvor D (Λ) er en endelig-dimensjonal representasjon, med andre ord en (2 s + 1) × (2 s + 1) dimensjonal kvadratmatrise , og ψ tenkes som en kolonnevektor som inneholder komponenter med (2 s + 1) tillatte verdier av σ :

{\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}, t) = {\ begin {bmatrix} \ psi _ {\ sigma = s} (\ mathbf {r}, t) \\\ psi _ {\ sigma = s- 1} (\ mathbf {r}, t) \\\ vdots \\\ psi _ {\ sigma = -s+1} (\ mathbf {r}, t) \\\ psi _ {\ sigma = -s} (\ mathbf {r}, t) \ end {bmatrix}} \ quad \ rightleftharpoons \ quad {\ psi (\ mathbf {r}, t)}^{\ dagger} = {\ begin {bmatrix} {\ psi _ {\ sigma = s} (\ mathbf {r}, t)}^{\ star} & {\ psi _ {\ sigma = s-1} (\ mathbf {r}, t)}^{\ star} & \ cdots & {\ psi _ {\ sigma = -s+1} (\ mathbf {r}, t)}^{\ star} & {\ psi _ {\ sigma = -s} (\ mathbf {r}, t)}^{\ star} \ end {bmatrix}}}

Ekte ureduserbare representasjoner og spinn

De ureduserbare representasjonene av D ( K ) og D ( J ) , kort sagt "irreps", kan brukes til å bygge for å spinne representasjoner av Lorentz -gruppen. Definere nye operatører:

{\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ frac {\ mathbf {J} +i \ mathbf {K}} {2}} \ ,, \ quad \ mathbf {B} = {\ frac {\ mathbf {J} -i \ mathbf {K}} {2}} \ ,,}

så A og B er ganske enkelt komplekse konjugater av hverandre, det følger at de tilfredsstiller de symmetrisk formede kommutatorene:

{\ displaystyle \ left [A_ {i}, A_ {j} \ right] = \ varepsilon _ {ijk} A_ {k} \ ,, \ quad \ left [B_ {i}, B_ {j} \ right] = \ varepsilon _ {ijk} B_ {k} \ ,, \ quad \ left [A_ {i}, B_ {j} \ right] = 0 \ ,,}

og disse er i hovedsak kommutatorene som orbital- og spinnvinkelmomentoperatørene tilfredsstiller. Derfor danner A og B operatøralgebraer analoge med vinkelmoment; samme stigeoperatører , z -projeksjoner, etc., uavhengig av hverandre når hver av komponentene pendler gjensidig. Ved analogien med spinnkvantetallet kan vi introdusere positive heltall eller halve heltall, a, b , med tilsvarende sett med verdier m = a , a - 1, ... - a + 1, - a og n = b , b - 1, ... - b + 1, - b . Matrisene som tilfredsstiller kommutasjonsforholdene ovenfor er de samme som for spinn a og b har komponenter gitt ved å multiplisere Kronecker -deltaverdier med vinkelmomentmatriseelementer:

{\ displaystyle \ left (A_ {x} \ right) _ {m'n ', mn} = \ delta _ {n'n} \ left (J_ {x}^{(m)} \ right) _ {m 'm} \, \ quad \ left (B_ {x} \ right) _ {m'n', mn} = \ delta _ {m'm} \ left (J_ {x}^{(n)} \ right ) _ {n'n}}

{\ displaystyle \ left (A_ {y} \ right) _ {m'n ', mn} = \ delta _ {n'n} \ left (J_ {y}^{(m)} \ right) _ {m 'm} \, \ quad \ left (B_ {y} \ right) _ {m'n', mn} = \ delta _ {m'm} \ left (J_ {y}^{(n)} \ right ) _ {n'n}}

{\ displaystyle \ left (A_ {z} \ right) _ {m'n ', mn} = \ delta _ {n'n} \ left (J_ {z}^{(m)} \ right) _ {m 'm} \, \ quad \ left (B_ {z} \ right) _ {m'n', mn} = \ delta _ {m'm} \ left (J_ {z}^{(n)} \ right ) _ {n'n}}

hvor i hvert tilfelle radnummeret m′n ′ og kolonnetallet mn er atskilt med et komma, og igjen:

{\ displaystyle \ left (J_ {z}^{(m)} \ right) _ {m'm} = m \ delta _ {m'm} \, \ quad \ left (J_ {x}^{(m )} \ pm iJ_ {y}^{(m)} \ høyre) _ {m'm} = m \ delta _ {a ', a \ pm 1} {\ sqrt {(a \ mp m) (a \ pm m+1)}}}}

og tilsvarende for J ^{( n )} . De tre J ^{( m )} -matrisene er hver (2 m + 1) × (2 m + 1) firkantmatriser, og de tre J ^{( n )} er hver (2 n + 1) × (2 n + 1) firkantmatriser. Heltallene eller halvtallene m og n nummererer alle de ureduserbare representasjonene av, i ekvivalente notasjoner som brukes av forfattere: D ^{( m , n )} ≡ ( m , n ) ≡ D ^{( m )} ⊗ D ^{( n )} , som hver er [ (2 m + 1) (2 n + 1)] × [(2 m + 1) (2 n + 1)] firkantmatriser.

Påfør dette på partikler med spinn s ;

venstrehendte (2 s + 1) -komponent -spinorer transformerer under de virkelige irreps D ^{( s , 0)} ,
høyrehendte (2 s + 1) -komponent -spinorer transformerer under de virkelige irreps D ^{(0, s )} ,
ved å ta direkte summer symbolisert med ⊕ (se direkte sum av matriser for det enklere matrisekonseptet), oppnår man representasjonene som 2 (2 s + 1) -komponent -spinorer transformerer under: D ^{( m , n )} ⊕ D ^{( n , m )} hvor m + n = s . Dette er også ekte irreps, men som vist ovenfor deler de seg i komplekse konjugater.

I disse tilfellene refererer D til noen av D ( J ) , D ( K ) , eller en fullstendig Lorentz -transformasjon D (Λ) .

Relativistiske bølgelikninger

I konteksten av Dirac-ligningen og Weyl-ligningen er Weyl-spinorene som tilfredsstiller Weyl-ligningstransformen under de enkleste ureduserbare spinnrepresentasjonene til Lorentz-gruppen, siden spinnkvantumnummeret i dette tilfellet er det minste tillatte tallet null: 1/2 . 2-komponent venstrehendt Weyl-spinor transformerer under D ^{(1/2, 0)} og 2-komponent høyrehendt Weyl-spinor transformerer under D ^{(0, 1/2)} . Dirac -spinorer som tilfredsstiller Dirac -ligningstransformasjonen under representasjonen D ^{(1/2, 0)} ⊕ D ^{(0, 1/2)} , den direkte summen av irreps for Weyl -spinorene.

Poincaré -gruppen i relativistisk kvantemekanikk og feltteori

Romoversettelser , tidsoversettelser , rotasjoner og boosts , alt sammen, utgjør Poincaré -gruppen . Gruppelementene er de tre rotasjonsmatrisene og tre boostmatrisene (som i Lorentz -gruppen), og en for tidsoversettelser og tre for romoversettelser i romtiden. Det er en generator for hver. Derfor er Poincaré-gruppen 10-dimensjonal.

I spesielle relativitets , kan rom og tid bli samlet inn i en fireposisjonsvektor X = ( ct , - r ) , og i parallell så kan energi og bevegelsesmengde som sammen til en fire-momentum vektoren P = ( E / c , - p- ) . Med relativistisk kvantemekanikk i tankene, tidsvarighet og romlige forskyvningsparametrene (fire i total, en for gang og tre på plass) sammen til et rom og tid for forskyvning Δ X = ( c Δ t , -Δ r ) , og den energi og bevegelses operatører settes inn i fire-momentum for å oppnå en fire-momentum-operatør,

{\ displaystyle {\ widehat {\ mathbf {P}}} = \ left ({\ frac {\ widehat {E}} {c}},-{\ widehat {\ mathbf {p}}} \ right) = i \ hbar \ venstre ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partiell} {\ delvis t}}, \ nabla \ høyre) \ ,,}

som er generatorer av romtidsoversettelser (totalt fire, en gang og tre mellomrom):

{\ displaystyle {\ widehat {X}} (\ Delta \ mathbf {X}) = \ exp \ left (-{\ frac {i} {\ hbar}} \ Delta \ mathbf {X} \ cdot {\ widehat { \ mathbf {P}}} \ right) = \ exp \ left [-{\ frac {i} {\ hbar}} \ left (\ Delta t {\ widehat {E}}+\ Delta \ mathbf {r} \ cdot {\ widehat {\ mathbf {p}}} \ right) \ right] \ ,.}

Det er kommutasjonsforhold mellom komponentene fire-momentum P (generatorer av romtidsoversettelser) og vinkelmoment M (generatorer av Lorentz-transformasjoner), som definerer Poincaré-algebraen:

${\ displaystyle [P _ {\ mu}, P _ {\ nu}] = 0 \,}$
${\ displaystyle {\ frac {1} {i}} [M _ {\ mu \ nu}, P _ {\ rho}] = \ eta _ {\ mu \ rho} P _ {\ nu}-\ eta _ {\ nu \ rho} P _ {\ mu} \,}$
${\ displaystyle {\ frac {1} {i}} [M _ {\ mu \ nu}, M _ {\ rho \ sigma}] = \ eta _ {\ mu \ rho} M _ {\ nu \ sigma}-\ eta _ {\ mu \ sigma} M _ {\ nu \ rho}-\ eta _ {\ nu \ rho} M _ {\ mu \ sigma}+\ eta _ {\ nu \ sigma} M _ {\ mu \ rho} \, }$

hvor η er Minkowski metrisk tensor. (Det er vanlig å slippe hatter for operatørene med fire momentum i kommuteringsforholdene). Disse ligningene er et uttrykk for de grunnleggende egenskapene til rom og tid så langt de er kjent i dag. De har et klassisk motstykke der kommutatorene erstattes av Poisson -braketter .

For å beskrive spinn i relativistisk kvantemekanikk, Pauli - Lubanski pseudovektoren

{\ displaystyle W _ {\ mu} = {\ frac {1} {2}} \ varepsilon _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} J^{\ nu \ rho} P^{\ sigma},}

en Casimir -operatør , er det konstante spinnbidraget til det totale vinkelmomentet, og det er kommutasjonsforhold mellom P og W og mellom M og W :

{\ displaystyle \ left [P^{\ mu}, W^{\ nu} \ right] = 0 \ ,,}

{\ displaystyle \ left [J^{\ mu \ nu}, W^{\ rho} \ right] = i \ left (\ eta^{\ rho \ nu} W^{\ mu}-\ eta^{\ rho \ mu} W^{\ nu} \ right) \ ,,}

{\ displaystyle \ left [W _ {\ mu}, W _ {\ nu} \ right] =-i \ epsilon _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} W^{\ rho} P^{\ sigma} \, .}

Invarianter konstruert fra W , forekomster av Casimir invarianter kan brukes til å klassifisere ureduserbare representasjoner av Lorentz -gruppen.

Symmetri i kvantefeltteori og partikkelfysikk

Enhetsgrupper i kvantefeltteori

Gruppeteori er en abstrakt måte for matematisk analyse av symmetrier. Enhetsoperatører er avgjørende for kvanteteorien, så enhetsgrupper er viktige i partikkelfysikk. Gruppen av N dimensjonale enhets kvadratiske matriser er betegnet U ( N ). Enhetsoperatører bevarer indre produkter, noe som betyr at sannsynligheter også bevares, så kvantemekanikken i systemet er uforanderlig under enhetlige transformasjoner. La oss være en enhetlig operatør, så det inverse er det hermitiske tillegget , som pendler med Hamiltonian: ${\ displaystyle {\ widehat {U}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {U}}^{-1} = {\ widehat {U}}^{\ dolk}}$

{\ displaystyle \ left [{\ widehat {U}}, {\ widehat {H}} \ right] = 0}

da blir det observerbare som tilsvarer operatøren bevart, og Hamiltonian er invariant under transformasjonen . ${\ displaystyle {\ widehat {U}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {U}}}$

Siden forutsigelsene om kvantemekanikk skulle være uforanderlige under handling av en gruppe, ser fysikere etter enhetstransformasjoner for å representere gruppen.

Viktige undergrupper for hver U ( N ) er de enhetlige matrisene som har enhetsdeterminant (eller er "unimodulær"): disse kalles de spesielle enhetsgruppene og betegnes SU ( N ).

U (1)

Den enkleste enhetsgruppen er U (1), som bare er de komplekse tallene for modul 1. Denne endimensjonale matriseoppføringen har formen:

{\ displaystyle U = e^{-i \ theta}}

der θ er parameteren til gruppen, og gruppen er abelsk, siden endimensjonale matriser alltid pendler under matrisemultiplikasjon. Lagrangianere i kvantefeltteori for komplekse skalarfelt er ofte uforanderlige under U (1) transformasjoner. Hvis det er et kvantetall a assosiert med U (1) symmetrien, for eksempel baryon og de tre leptontallene i elektromagnetiske interaksjoner, har vi:

{\ displaystyle U = e^{-ia \ theta}}

U (2) og SU (2)

Den generelle formen for et element i et U (2) -element parametriseres av to komplekse tall a og b :

{\ displaystyle U = {\ begin {pmatrix} a & b \\-b^{\ star} & a^{\ star} \\\ end {pmatrix}}}

og for SU (2) er determinanten begrenset til 1:

{\ displaystyle \ det (U) = aa^{\ star}+bb^{\ star} = {| a |}^{2}+{| b |}^{2} = 1}

I gruppeteoretisk språk er Pauli -matrisene generatorene for den spesielle enhetsgruppen i to dimensjoner, betegnet SU (2). Kommutasjonsforholdet deres er det samme som for orbitalt vinkelmoment, bortsett fra en faktor 2:

{\ displaystyle [\ sigma _ {a}, \ sigma _ {b}] = 2i \ hbar \ varepsilon _ {abc} \ sigma _ {c}}

Et gruppeelement i SU (2) kan skrives:

{\ displaystyle U (\ theta, {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {j}) = e^{i \ theta \ sigma _ {j}/2}}

hvor σ _j er en Pauli -matrise, og gruppeparametrene er vinklene som er snudd rundt en akse.

Den todimensjonale isotrope kvanteharmoniske oscillatoren har symmetrogruppe SU (2), mens symmetrialgebraen til den rasjonelle anisotrope oscillatoren er en ikke-lineær forlengelse av u (2).

U (3) og SU (3)

De åtte Gell-Mann-matrisene λ _n (se artikkelen for dem og strukturkonstantene) er viktige for kvantekromodynamikk . De oppsto opprinnelig i teorien SU (3) om smak som fremdeles er av praktisk betydning i kjernefysikk. De er generatorene for SU (3) -gruppen, så et element i SU (3) kan skrives analogt med et element i SU (2):

{\ displaystyle U (\ theta, {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {j}) = \ exp \ left (-{\ frac {i} {2}} \ sum _ {n = 1}^ {8} \ theta _ {n} \ lambda _ {n} \ høyre)}

hvor θ _n er åtte uavhengige parametere. De λ _n matrisene tilfreds kommutatoren:

{\ displaystyle \ left [\ lambda _ {a}, \ lambda _ {b} \ right] = 2if_ {abc} \ lambda _ {c}}

der indeksene a , b , c tar verdiene 1, 2, 3 ... 8. Strukturkonstantene f _abc er totalt antisymmetriske i alle indekser analoge med SU (2). I standardfargeladningsgrunnlaget ( r for rødt, g for grønt, b for blått):

{\ displaystyle | r \ rangle = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}} \ ,, \ quad | g \ rangle = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} \ ,, \ quad | b \ rangle = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}

fargetilstandene er egenstater for λ ₃ og λ ₈ matrisene, mens de andre matrisene blander fargetilstander sammen.

De åtte gluontilstandene (8-dimensjonale kolonnevektorer) er samtidige egenstater for den tilstøtende representasjonen av $SU (3)$ , den 8-dimensjonale representasjonen som virker på sin egen Lie algebra $su (3)$ , for λ ₃ og λ ₈ matrisene. Ved å danne tensorprodukter av representasjoner (standardrepresentasjonen og dens dual) og ta passende kvoter, protoner og nøytroner og andre hadroner er egenstater for forskjellige representasjoner av $SU (3)$ av farge. Representasjonene til SU (3) kan beskrives ved et "teorem med høyeste vekt".

Materiale og antimateriale

I relativistisk kvantemekanikk forutsier relativistiske bølgelikninger en bemerkelsesverdig natursymmetri: at hver partikkel har en tilsvarende antipartikkel . Dette er matematisk inneholdt i spinorfeltene som er løsningene til de relativistiske bølgelikningene.

Ladningskonjugering bytter partikler og antipartikler. Fysiske lover og interaksjoner uendret ved denne operasjonen har C -symmetri .

Diskrete romtidssymmetrier

Paritet speiler orienteringen til de romlige koordinatene fra venstrehendte til høyrehendte. Uformelt "reflekteres" rommet inn i speilbildet. Fysiske lover og interaksjoner uendret ved denne operasjonen har P -symmetri .
Tids reversering vender tidskoordinaten, noe som tilsvarer tid som løper fra fremtid til fortid. En merkelig egenskap av tid, som rommet ikke har, er at den er enveis: partikler som beveger seg fremover i tid, tilsvarer antipartikler som reiser tilbake i tid. Fysiske lover og interaksjoner uendret ved denne operasjonen har T -symmetri .

C , P , T symmetrier

Målerteori

I kvanteelektrodynamikk er symmetri -gruppen U (1) og er abelsk . I kvantekromodynamikk er symmetri-gruppen SU (3) og er ikke-abelsk .

Den elektromagnetiske interaksjonen formidles av fotoner , som ikke har elektrisk ladning. Den elektromagnetiske tensor har en elektromagnetisk fire-potensial felt som innehar måler symmetri.

Den sterke (farge) interaksjonen medieres av gluoner , som kan ha åtte fargeladninger . Det er åtte gluonfeltstyrketensorer med tilsvarende gluon fire potensialfelt , som hver har målesymmetri.

Den sterke (farge) interaksjonen

Fargeladning

Analogt med spinnoperatøren er det fargeladningsoperatorer når det gjelder Gell-Mann-matrisene λ _j :

{\ displaystyle {\ hat {F}} _ {j} = {\ frac {1} {2}} \ lambda _ {j}}

og siden fargeladning er en bevart ladning, må alle fargeladningsoperatører pendle med Hamiltonian:

{\ displaystyle \ left [{\ hat {F}} _ {j}, {\ hat {H}} \ right] = 0}

Isospin

Isospin er konservert i sterke interaksjoner.

De svake og elektromagnetiske interaksjonene

Dualitetstransformasjon

Magnetiske monopoler kan realiseres teoretisk, selv om nåværende observasjoner og teori stemmer overens med at de eksisterer eller ikke eksisterer. Elektriske og magnetiske ladninger kan effektivt "roteres inn i hverandre" ved en dualitetstransformasjon .

Elektrosvak symmetri

Supersymmetri

En Lie superalgebra er en algebra der (passende) grunnelementer enten har en kommutasjonsrelasjon eller har en antikommutasjonsrelasjon. Symmetrier har blitt foreslått om at alle fermioniske partikler har bosoniske analoger, og omvendt. Disse symmetriene har teoretisk appell ved at det ikke gjøres noen ekstra forutsetninger (for eksempel eksistens av strenger) som sperrer symmetrier. I tillegg kan en rekke forvirrende problemer løses ved å anta supersymmetri. Disse symmetriene, som er representert av Lie superalgebras, har ikke blitt bekreftet eksperimentelt. Det antas nå at de er ødelagte symmetrier, hvis de eksisterer. Men det har blitt spekulert i at mørkt materie utgjør gravitinos , en spinn 3/2 partikkel med masse, og dens supersymmetriske partner er graviton .

Bytt symmetri eller permutasjonssymmetri

Begrepet utvekslingssymmetri eller permutasjonssymmetri er avledet fra et grunnleggende postulat av kvantestatistikk , som sier at ingen observerbar fysisk mengde bør endres etter utveksling av to identiske partikler . Den sier at fordi alle observerbare ting er proporsjonale med for et system med identiske partikler , må bølgefunksjonen enten forbli den samme eller endre tegn ved en slik utveksling. Mer generelt, for et system med n identiske partikler må bølgefunksjonen transformere som en ureduserbar representasjon av den endelige symmetriske gruppen S _n . Det viser seg at, ifølge Spin-statistikk-teoremet , transformerer fermiontilstander seg som den antisymmetriske ureduserbare representasjonen av S _n og bosonstater som den symmetriske ureduserbare representasjonen. For symmetri-klassifisering av de rovibroniske tilstandene til molekyler introduserte Longuet-Higgins Molecular Symmetry Group som en gruppe passende identiske kjernefysiske permutasjoner og permutasjoner med romlig inversjon. ${\ displaystyle \ left | \ psi \ right |^{2}}$ ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle \ psi}$

Fordi utvekslingen av to identiske partikler er matematisk ekvivalent med rotasjonen av hver partikkel med 180 grader (og så rotasjonen av en partikkels ramme med 360 grader), avhenger den symmetriske naturen til bølgefunksjonen av partikkels spinn etter rotasjonsoperatoren brukes på den. Heltall spinnpartikler endrer ikke tegnet på bølgefunksjonen ved en 360 graders rotasjon - derfor endres ikke tegnet på bølgefunksjonen til hele systemet. Halvtalls spinnpartikler endrer tegnet på bølgefunksjonen ved en 360 graders rotasjon (se mer i spinn – statistikk-setning ).

Partikler som bølgefunksjonen ikke endrer tegn ved utveksling kalles bosoner , eller partikler med en symmetrisk bølgefunksjon. Partiklene som bølgefunksjonen til systemet endrer tegn på kalles fermioner , eller partikler med en antisymmetrisk bølgefunksjon.

Fermions adlyder derfor annen statistikk (kalt Fermi - Dirac -statistikk ) enn bosoner (som adlyder Bose - Einstein -statistikk ). En av konsekvensene av Fermi - Dirac -statistikk er eksklusjonsprinsippet for fermioner - ingen to identiske fermioner kan dele den samme kvantetilstanden (med andre ord er bølgefunksjonen til to identiske fermioner i samme tilstand null). Dette resulterer igjen i degenerasjonstrykk for fermioner - fermions sterke motstand mot komprimering til mindre volum. Denne motstanden gir opphav til "stivhet" eller "stivhet" i vanlig atomstoff (ettersom atomer inneholder elektroner som er fermioner).

Se også

Fotnoter

Referanser

Videre lesning

KJ Barnes (2010). Gruppeteori for standardmodellen og utover . Serier innen fysikk, kosmologi og gravitasjon med høy energi. Taylor & Francis. ISBN 978-142-007-874-9.
M. Chaichian; R. Hagedorn (1998). Symmetri i kvantemekanikk: Fra vinkelmoment til supersymmetri . Utdannet studentserie i fysikk. Institutt for fysikk (Bristol og Philadelphia). ISBN 0-7503-0408-1.
Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians , Graduate Texts in Mathematics, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras og Representations: An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, 222 (2. utg.), Springer, ISBN 978-3319134666
S. Haywood (2011). Symmetrier og bevaringslover i partikkelfysikk: En introduksjon til gruppeteori for partikkelfysikere . World Scientific. ISBN 978-184-816-703-2.
MFC Ladd (1989). Symmetri i molekyler og krystaller . Solid state vitenskap. Ellis Horwood -serien i fysisk kjemi. ISBN 0-85312-255-5.
W. Ludwig; C. Falter (1996). Symmetri i fysikk . Solid state science (2. utg.). Springer. ISBN 3-540-60284-4.
BR Martin, G.Shaw (22. mars 2013). Particle Physics (3. utg.). Manchester Physics Series, John Wiley & Sons. s. 3. ISBN 978-0-470-03294-7.
D. McMahon (2008). Quantum Field Theory . Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-154382-8.
Moretti, V. (2018). Spektralteori og kvantemekanikk; Matematiske grunnlag for kvanteteorier, symmetrier og introduksjon til den algebraiske formuleringen 2. utgave . Berlin, Milano: Springer. ISBN 978-3-319-70705-1.

Languages

In other projects