Topologisk strengteori - Topological string theory

Strengteori
Calabi yau formatted.svg
Fundamentale gjenstander
Perturbativ teori
Ikke-forstyrrende resultater
Fenomenologi
Matematikk
Relaterte begreper
Teoretikere

I teoretisk fysikk er topologisk strengteori en versjon av strengteori . Topologisk strengteori dukket opp i papirer fra teoretiske fysikere, som Edward Witten og Cumrun Vafa , analogt med Wittens tidligere ide om topologisk kvantefeltsteori .

Oversikt

Det er to hovedversjoner av topologisk strengteori: den topologiske A-modellen og den topologiske B-modellen. Resultatene av beregningene i topologisk strengteori koder generisk for alle holomorfe størrelser innen full strengteori hvis verdier er beskyttet av romtids supersymmetri. Ulike beregninger i topologisk strengteori er nært knyttet til Chern – Simons teori , Gromov – Witten invarianter , speilsymmetri , geometrisk Langlands-program og mange andre emner.

De operatører i topologisk streng teori representerer algebra av operatørene i den hele strengen teorien om at bevare en viss mengde av supersymmetri . Topologisk strengteori oppnås ved en topologisk vri på verdensarkbeskrivelsen av vanlig strengteori: operatørene får forskjellige spinn. Operasjonen er helt analog med konstruksjonen av topologisk feltteori som er et relatert begrep. Følgelig er det ingen lokale frihetsgrader i topologisk strengteori.

Tillatte romtider

De grunnleggende strengene i strengteori er todimensjonale overflater. En kvantefeltsteori kjent som N = (1,1) sigma-modellen er definert på hver overflate. Denne teorien består av kart fra overflaten til et supermanifold . Fysisk tolkes supermanifolden som romtid og hvert kart tolkes som innebygging av strengen i romtiden.

Bare spesielle mellomrom tillater topologiske strenger. Klassisk må man velge en romtid slik at teorien respekterer et ekstra par supersymmetrier, noe som gjør romtiden til en N = (2,2) sigma-modell. Et spesielt tilfelle av dette er hvis romtiden er en Kähler-manifold og H-fluksen er identisk lik null. Generelle Kähler-manifolder kan ha en ikke-stor H-fluks.

Topologisk vri

Vanlige strenger på spesiell bakgrunn er aldri topologiske. For å gjøre disse strengene topologiske, må man modifisere sigma-modellen via en prosedyre kalt en topologisk vri som ble oppfunnet av Edward Witten i 1988. Den sentrale observasjonen er at disse teoriene har to U (1) symmetrier kjent som R-symmetrier , og den Lorentz symmetri kan modifiseres ved å blande rotasjoner og R-symmetrier. Man kan bruke en av de to R-symmetriene, noe som fører til to forskjellige teorier, kalt A-modellen og B-modellen. Etter denne vrien er handlingen av teorien BRST nøyaktig , og som et resultat har teorien ingen dynamikk. I stedet avhenger alle observerbare av topologien til en konfigurasjon. Slike teorier er kjent som topologiske teorier .

Klassisk er denne prosedyren alltid mulig.

Kvantemekanisk kan U (1) symmetriene være uregelmessige , noe som gjør vrien umulig. For eksempel, i Kähler-tilfellet med H = 0, er vridningen som fører til A-modellen alltid mulig, men den som fører til B-modellen er bare mulig når den første Chern-klassen i romtiden forsvinner, noe som betyr at romtiden er Calabi– Yau . Mer generelt (2,2) teorier har to komplekse strukturer, og B-modellen eksisterer når de første Chern-klassene med tilhørende bunter summerer til null, mens A-modellen eksisterer når forskjellen mellom Chern-klassene er null. I Kähler-saken er de to komplekse strukturene de samme, og forskjellen er alltid null, og det er derfor A-modellen alltid eksisterer.

Det er ingen begrensninger på antall dimensjoner av romtid, annet enn at det må være enda fordi romtid er generalisert Kähler. Imidlertid forsvinner alle korrelasjonsfunksjoner med verdensark som ikke er kuler, med mindre den komplekse dimensjonen til romtiden er tre, og så romtider med den komplekse dimensjonen tre er de mest interessante. Dette er heldig for fenomenologi , ettersom fenomenologiske modeller ofte bruker en fysisk strengteori komprimert på et 3 kompleksdimensjonalt rom. Den topologiske strengteorien tilsvarer ikke den fysiske strengteorien, selv på samme rom, men visse supersymmetriske størrelser er enige i de to teoriene.

Objekter

En modell

Den topologiske A-modellen leveres med et målrom som er en 6 real-dimensjonal generalisert Kähler-romtid. I tilfelle der romtiden er Kähler, beskriver teorien to objekter. Det er grunnleggende strenger som omslutter to virkelige dimensjonale holomorfe kurver. Amplitudene for spredning av disse strengene avhenger bare av Kähler-formen for romtiden, og ikke av den komplekse strukturen. Klassisk er disse korrelasjonsfunksjonene bestemt av kohomologiringen . Det er kvantemekaniske momentoneffekter som korrigerer disse og gir Gromov-Witten-invarianter , som måler koppproduktet i en deformert kohomologiring kalt quantum cohomology . Strengfeltteorien til A-modellen lukkede strenger er kjent som Kähler gravitasjon , og ble introdusert av Michael Bershadsky og Vladimir Sadov i Theory of Kähler Gravity .

I tillegg er det D2-braner som vikler lagrangiske underrør av romtid. Dette er submanifolds hvis dimensjoner er halvparten av romtiden, og slik at tilbaketrekningen av Kähler-formen til submanifolden forsvinner. Worldvolume-teorien på en stabel med N D2-branes er strengfeltsteorien om A-modellens åpne strenger, som er en U (N) Chern – Simons teori .

De grunnleggende topologiske strengene kan ende på D2-branene. Mens innebygging av en streng bare avhenger av Kähler-formen, er innblanding av branene helt avhengig av den komplekse strukturen. Spesielt når en streng ender på en brane, vil krysset alltid være ortogonal, da kileproduktet til Kähler-formen og den holomorfe 3-formen er null. I den fysiske strengen er dette nødvendig for stabiliteten i konfigurasjonen, men her er det en egenskap til Lagrangian og holomorfe sykluser på en Kahler manifold.

Det kan også være koisotrope braner i forskjellige dimensjoner annet enn halve dimensjoner av Lagrangian submanifolds . Disse ble først introdusert av Anton Kapustin og Dmitri Orlov i Bemerkninger om A-Branes, Mirror Symmetry og Fukaya-kategorien

B-modell

B-modellen inneholder også grunnleggende strenger, men deres spredningsamplituder avhenger helt av den komplekse strukturen og er uavhengig av Kähler-strukturen. Spesielt er de ufølsomme for øyeblikkelige effekter på verdensarket, og det kan ofte beregnes nøyaktig. Speilssymmetri knytter dem deretter til A-modellamplituder, slik at man kan beregne Gromov-Witten-invarianter. Strengfeltteorien om de lukkede strengene til B-modellen er kjent som Kodaira – Spencer gravitasjonsteori og ble utviklet av Michael Bershadsky , Sergio Cecotti , Hirosi Ooguri og Cumrun Vafa i Kodaira – Spencer Gravity Theory and Exact Results for Quantum String Amplitudes .

B-modellen leveres også med D (-1), D1, D3 og D5-branes, som vikler henholdsvis holomorfe 0, 2, 4 og 6-submanifolds. 6-delmanifolden er en tilkoblet komponent i romtiden. Teorien om en D5-bran er kjent som holomorf teori om Chern – Simons . Den Lagrangsk tetthet er den kile produkt av den for vanlig Chern-Simons teori med holomorfe (3,0) -formen, som eksisterer i den Calabi-Yau tilfelle. Lagrangiske tettheter av teoriene på de nederdimensjonale branene kan oppnås fra holomorfisk Chern – Simons-teori ved dimensjonsreduksjoner.

Topologisk M-teori

Topologisk M-teori, som har en syv-dimensjonell romtid, er ikke en topologisk strengteori, da den ikke inneholder noen topologiske strenger. Imidlertid har topologisk M-teori på en sirkelbunt over en 6-manifold blitt antatt å være ekvivalent med den topologiske A-modellen på den 6-manifolden.

Spesielt løfter D2-branene til A-modellen til punkter der sirkelbunten degenererer, eller mer presist Kaluza – Klein monopol . De grunnleggende strengene til A-modellen løfter til membraner kalt M2-branes i topologisk M-teori.

Et spesielt tilfelle som har vakt stor interesse er topologisk M-teori om et rom med G 2- holonomi og A-modellen på en Calabi – Yau. I dette tilfellet pakker M2-branene assosiative 3-sykluser. Strengt tatt har den topologiske M-teori-formodningen bare blitt gjort i denne sammenheng, da i dette tilfellet funksjoner introdusert av Nigel Hitchin i The Geometry of Three-Forms in Six and Seven Dimensions and Stable Forms and Special Metrics gir en kandidat lav energieffektiv handling.

Disse funksjonene kalles " Hitchin functional " og Topologisk streng er nært knyttet til Hitchins ideer om generalisert kompleks struktur , Hitchin-system og ADHM-konstruksjon osv.

Observerbare

Den topologiske vrien

Den todimensjonale verdensarkteorien er en N = (2,2) supersymmetrisk sigmamodell , (2,2) supersymmetri betyr at de fermioniske generatorene til den supersymmetriske algebra , kalt supercharges, kan settes sammen til en enkelt Dirac-spinor , som består av to Majorana – Weyl spinorer av hver chiralitet. Denne sigma-modellen er topologisk vridd, noe som betyr at Lorentz-symmetrigeneratorene som vises i supersymmetri-algebra, samtidig roterer den fysiske romtiden og også roterer de fermioniske retningene via virkningen av en av R-symmetriene . R-symmetri-gruppen til en 2-dimensjonal N = (2,2) feltteori er U (1) × U (1), vendinger av de to forskjellige faktorene fører til henholdsvis A- og B-modellene. Den topologiske vridd konstruksjon av topologiske strengteorier ble introdusert av Edward Witten i sin artikkel fra 1988.

Hva er korrelatorene avhengige av?

Den topologiske vrien fører til en topologisk teori fordi stress-energitensoren kan skrives som en antikommutator for en overladning og et annet felt. Ettersom stress-energitensoren måler avhengigheten av handlingen av den metriske tensoren , innebærer dette at alle korrelasjonsfunksjoner til Q-invariante operatører er uavhengige av metriske. Slik sett er teorien topologisk.

Mer generelt er ethvert D-begrep i handlingen, som er et hvilket som helst begrep som kan uttrykkes som en integral over hele superområdet , en antikommutator for en overladning og påvirker derfor ikke de topologiske observerbare. Ennå mer generelt, i B-modellen , bidrar ikke ethvert begrep som kan skrives som en integral over de fermioniske koordinatene, mens i A-modellen ikke noe begrep som er en integral over eller over ikke bidrar. Dette innebærer at en modell observerbar er uavhengig av det superpotensielle (som det kan skrives som et integrert over rettferdig ), men avhenger holomorfisk av den vridne superpotensialet , og omvendt for B-modellen.

Dualiteter

Dualiteter mellom TST

En rekke dualiteter forholder de ovennevnte teoriene. A-modellen og B-modellen på to speilmanifold er relatert av speilsymmetri , som har blitt beskrevet som en T-dualitet på en tre-torus. A-modellen og B-modellen på samme manifold antas å være relatert av S-dualitet , noe som innebærer at det eksisterer flere nye braner, kalt NS-braner analogt med NS5-branen , som pakker de samme syklusene som originalen branes men i motsatt teori. Også en kombinasjon av A-modellen og en sum av B-modellen og dens konjugat er relatert til topologisk M-teori ved en slags dimensjonell reduksjon . Her ser frihetsgraden til A-modellen og B-modellene ikke ut til å være samtidig observerbare, men snarere å ha et forhold som ligner det mellom posisjon og momentum i kvantemekanikken .

Den holomorfe anomalien

Summen av B-modellen og dens konjugat vises i ovennevnte dualitet fordi det er teorien hvis lavenergieffektive virkning forventes å bli beskrevet av Hitchins formalisme. Dette er fordi B-modellen lider av en holomorf anomali , som sier at avhengigheten av komplekse størrelser, mens den er klassisk holomorf, mottar ikke-holomorfe kvantekorreksjoner. I Quantum Bakgrunn Independence i String Theory , Edward Witten hevdet at denne strukturen er analog med en struktur som man finner geometrisk kvantisere løpet av komplekse strukturer. Når dette rommet er blitt kvantifisert, pendler bare halvparten av dimensjonene samtidig, og antall frihetsgrader er dermed halvert. Denne halveringen avhenger av et vilkårlig valg, kalt en polarisering . Konjugatmodellen inneholder de manglende gradene av frihet, og ved å spenne B-modellen og dens konjugat oppnår man igjen alle de manglende gradene av frihet og eliminerer også avhengigheten av det vilkårlige valget av polarisering.

Geometriske overganger

Det er også en rekke dualiteter som forholder seg til konfigurasjoner med D-branes, som er beskrevet av åpne strenger, til de med branes, branene erstattet av fluks og med geometrien beskrevet av nær horisont horisonten til de tapte branene. Sistnevnte er beskrevet av lukkede strenger.

Kanskje den første slike dualiteten er Gopakumar-Vafa-dualiteten, som ble introdusert av Rajesh Gopakumar og Cumrun Vafa i On the Gauge Theory / Geometry Correspondence . Dette relaterer en stabel N D6-braner på en 3-kule i A-modellen på den deformerte konifolden til den lukkede strengteorien til A-modellen på en løst konifold med et B-felt lik N ganger strengkoblingskonstanten. De åpne strengene i A-modellen er beskrevet av en U (N) Chern – Simons-teori, mens den lukkede strengteorien på A-modellen er beskrevet av Kähler-tyngdekraften.

Selv om conifold sies å være løst, er arealet til den blåste to-sfæren null, det er bare B-feltet, som ofte blir ansett for å være den komplekse delen av området, som ikke forsvinner. Faktisk, ettersom Chern – Simons-teorien er topologisk, kan man krympe volumet av den deformerte tre-sfæren til null og så komme til samme geometri som i dobbelteorien.

Speilet dual av denne dualiteten er en annen dualitet, som relaterer åpne strenger i B-modellen på en bran som pakker 2-syklusen i den løste bøylen til lukkede strenger i B-modellen på den deformerte bøylen. Åpne strenger i B-modellen er beskrevet av dimensjonale reduksjoner av homolomorf Chern – Simons teori på branene som de ender på, mens lukkede strenger i B-modellen er beskrevet av Kodaira – Spencer tyngdekraften.

Dualiteter med andre teorier

Krystallsmelting, kvanteskum og U (1) målerteori

I papir Quantum Calabi-Yau og klassiske krystaller , Andrei Okounkov , Nicolai Reshetikhin og Cumrun Vafa antatt at den quantum A-modellen er dobbelt til en klassisk smelte krystall ved en temperatur lik den inverse av strengen koblingskonstant. Denne antagelsen ble tolket i Quantum Foam and Topological Strings , av Amer Iqbal , Nikita Nekrasov , Andrei Okounkov og Cumrun Vafa . De hevder at det statistiske sum over smeltende krystall konfigurasjoner er ekvivalent med en bane integral over endringene i rom og tid topologi som støttes i små områder med område av orden produktet av strengen koblingskonstant og α'.

Slike konfigurasjoner, med romtid full av mange små bobler, dateres tilbake til John Archibald Wheeler i 1964, men har sjelden dukket opp i strengteori, da det er notorisk vanskelig å presisere. Imidlertid er forfatterne i denne dualiteten i stand til å kaste kvanteskumdynamikken i det kjente språket til en topologisk vridd U (1) teori , hvis feltstyrke er lineært relatert til Kähler-formen til A-modellen. Spesielt antyder dette at A-modellen Kähler-form bør kvantifiseres.

applikasjoner

A-modell topologiske strengteori amplituder brukes til å beregne prepotensialer i N = 2 supersymmetriske målerteorier i fire og fem dimensjoner. Amplitudene til den topologiske B-modell, med flussmidler og eller braner, blir brukt til å beregne superpotentials i N = 1 supersymmetriske gaugeteorier i fire dimensjoner. Perturbative A-modellberegninger teller også BPS-tilstander for spinning av svarte hull i fem dimensjoner.

Se også

Referanser