Pauli ligning - Pauli equation

En del av en serie på
Kvantemekanikk
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Schrödinger ligning
Introduksjon Ordliste Historie Lærebøker
Bakgrunn Klassisk mekanikk Gammel kvanteteori Bra-ket notasjon Hamiltonian Innblanding
Grunnleggende Sammenheng Dekoherens Komplementaritet Energinivå Forvikling Hamiltonian Usikkerhetsprinsipp Grunntilstanden Innblanding Mål Ikke-lokalitet Observerbar Operatør Kvantum Kvantesvingninger Kvantumnummer Kvantestøy Kvanteområdet Kvantetilstand Kvantesystem Kvante teleportering Qubit Snurre rundt Superposisjon Kvantestøvsugetilstand Symmetri (Spontan) symmetribrudd Vakuumtilstand Bølgeforplantning Bølgefunksjon Bølgefunksjon kollapser Bølge-partikkel dualitet Materiebølge Rektangulær potensiell barriere
Effekter Zeeman-effekt Stark effekt Aharonov – Bohm-effekt Landau kvantisering Quantum Hall-effekt Quantum Zeno-effekt Kvantetunnel Fotoelektrisk effekt Casimir-effekt
Eksperimenter Bells ulikhet Davisson – Germer Dobbeltspalt Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Ulikhet i Leggett – Garg Mach – Zehnder Popper Kvantegummi  ( forsinket valg ) Schrödingers katt Stern – Gerlach Wheelers forsinkede valg
Formuleringer Oversikt Dynamiske bilder ( Heisenberg ; Interaksjon ; Schrödinger ) Matrise Faserom Sum-over-historier (baneintegral)
Ligninger Dirac Hellmann – Feynman Klein – Gordon Lippmann – Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger
Tolkninger Oversikt Bayesian Konsistente historier København de Broglie – Bohm Ensemble Skjult variabel Mange verdener Objektiv kollaps Kvantelogikk Relasjonelt Stokastisk Transaksjonell
Avanserte emner Quantum gløding Kvantekaos Kvanteberegning Kvantegeometri Tetthetsmatrise Kvantefeltsteori Brøkkvantemekanikk Kvantitet Kvanteinformasjonsvitenskap Quantum maskinlæring Forstyrrelsesteori (kvantemekanikk) Relativistisk kvantemekanikk Spredningsteori Superfluid vakuumteori Spontan parametrisk nedkonvertering Kvantestatisk mekanikk
Forskere Aharonov Klokke Blackett Bloch Bohm Bohr Født Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramers Pauli lam Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger Goudsmit Uhlenbeck Yang
Kategorier ► Kvantemekanikk
v t e

I kvantemekanikk er Pauli-ligningen eller Schrödinger – Pauli-ligningen formuleringen av Schrödinger-ligningen for spin-½ partikler, som tar hensyn til samspillet mellom partikkelens spinn og et eksternt elektromagnetisk felt . Det er den ikke- relativistiske grensen for Dirac-ligningen og kan brukes der partikler beveger seg med hastigheter som er mye mindre enn lysets hastighet , slik at relativistiske effekter kan overses. Den ble formulert av Wolfgang Pauli i 1927.

Ligning

For en partikkel med masse og elektrisk ladning , i et elektromagnetisk felt beskrevet av magnetvektorpotensialet og det elektriske skalarpotensialet , lyder Pauli-ligningen: ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ ${\ displaystyle \ phi}$

Her er Pauli-operatørene samlet i en vektor for enkelhets skyld, og er momentumoperatøren . Systemets tilstand, (skrevet i Dirac-notasjon ), kan betraktes som en to-komponent spinor- bølgefunksjon , eller en kolonnevektor (etter valg av basis): ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = (\ sigma _ {x}, \ sigma _ {y}, \ sigma _ {z})}$${\ displaystyle \ mathbf {p} = -i \ hbar \ nabla}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

${\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ psi _ {+} | {\ mathord {\ uparrow}} \ rangle + \ psi _ {-} | {\ mathord {\ downarrow}} \ rangle \, {\ stackrel { \ cdot} {=}} \, {\ begin {bmatrix} \ psi _ {+} \\\ psi _ {-} \ end {bmatrix}}}$ .

Den Hamilton-operator er en 2 x 2-matrise på grunn av den Pauli operatørene .

${\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ frac {1} {2m}} \ venstre [{\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A}) \ høyre ] ^ {2} + q \ phi}$

Substitusjon i Schrödinger-ligningen gir Pauli-ligningen. Dette Hamiltonian ligner på det klassiske Hamiltonian for en ladet partikkel som samhandler med et elektromagnetisk felt. Se Lorentz-styrken for detaljer om denne klassiske saken. Den kinetiske energibegrepet for en fri partikkel i fravær av et elektromagnetisk felt er akkurat hvor det kinetiske momentet er , mens det i nærvær av et elektromagnetisk felt involverer minimal kobling , der det nå er det kinetiske momentet og er det kanoniske momentet . ${\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {p} ^ {2}} {2m}}}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Pi} = \ mathbf {p} -q \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ Pi}}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$

Pauli-operatørene kan fjernes fra kinetisk energi ved å bruke Pauli-vektoridentiteten :

${\ displaystyle ({\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {a}) ({\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ mathbf {b}) = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + i {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot \ left (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} \ right)}$

Merk at i motsetning til en vektor har differensialoperatøren ikke-null kryssprodukt med seg selv. Dette kan sees ved å vurdere kryssproduktet som brukes på en skalarfunksjon : ${\ displaystyle \ mathbf {p} -q \ mathbf {A} = -i \ hbar \ nabla -q \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle \ left [\ left (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A} \ right) \ times \ left (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A} \ right) \ right] \ psi = -q \ left [\ mathbf {p} \ times \ left (\ mathbf {A} \ psi \ right) + \ mathbf {A} \ times \ left (\ mathbf {p} \ psi \ right) \ right] = iq \ hbar \ left [\ nabla \ times \ left (\ mathbf {A} \ psi \ right) + \ mathbf {A} \ times \ left (\ nabla \ psi \ right) \ right] = iq \ hbar \ left [\ psi \ left (\ nabla \ times \ mathbf {A} \ right) - \ mathbf {A} \ times \ left (\ nabla \ psi \ right) + \ mathbf {A} \ times \ left (\ nabla \ psi \ right) \ right] = iq \ hbar \ mathbf {B} \ psi}$

hvor er magnetfeltet. ${\ displaystyle \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A}}$

For den fulle Pauli-ligningen oppnår man deretter

Svake magnetfelt

For tilfeller der magnetfeltet er konstant og homogent, kan man utvide seg ved hjelp av den symmetriske måleren , hvor er posisjonsoperatøren . Vi oppnår ${\ textstyle (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A}) ^ {2}}$${\ textstyle \ mathbf {A} = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {B} \ times \ mathbf {r}}$${\ textstyle \ mathbf {r}}$

${\ displaystyle (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A}) ^ {2} = | \ mathbf {p} | ^ {2} -q (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}) \ cdot \ mathbf {B} + {\ frac {1} {4}} q ^ {2} \ left (| \ mathbf {B} | ^ {2} | \ mathbf {r} | ^ {2} - | \ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {r} | ^ {2} \ right) \ approx \ mathbf {p} ^ {2} -q \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {B} \ ,,}$

der er partikkeldreieimpuls og vi neglisjert betingelser i det magnetiske felt kvadrert . Derfor oppnår vi ${\ textstyle \ mathbf {L}}$${\ textstyle B ^ {2}}$

hvor er rotasjonen av partikkelen. Faktor 2 foran spinnet er kjent som Dirac g- faktoren . Begrepet i er av formen som er den vanlige interaksjonen mellom et magnetisk øyeblikk og et magnetfelt, som i Zeeman-effekten . ${\ textstyle \ mathbf {S} = \ hbar {\ boldsymbol {\ sigma}} / 2}$${\ textstyle \ mathbf {B}}$${\ textstyle - {\ boldsymbol {\ mu}} \ cdot \ mathbf {B}}$${\ textstyle {\ boldsymbol {\ mu}}}$

For et ladningselektron i et isotropisk konstant magnetfelt, kan man ytterligere redusere ligningen ved å bruke det totale vinkelmomentet og Wigner-Eckart-setningen . Dermed finner vi ${\ textstyle -e}$${\ textstyle \ mathbf {J} = \ mathbf {L} + \ mathbf {S}}$

${\ displaystyle \ left [{\ frac {| \ mathbf {p} | ^ {2}} {2m}} + \ mu _ {\ rm {B}} g_ {J} m_ {j} | \ mathbf {B } | -e \ phi \ right] | \ psi \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi \ rangle}$

hvor er Bohr magneton og er det magnetiske kvantetallet relatert til . Begrepet er kjent som Landé g-faktor , og er gitt her av ${\ textstyle \ mu _ {\ rm {B}} = {\ frac {e \ hbar} {2m}}}$${\ textstyle m_ {j}}$${\ textstyle \ mathbf {J}}$${\ textstyle g_ {J}}$

${\ displaystyle g_ {J} = {\ frac {3} {2}} + {\ frac {{\ frac {3} {4}} - \ ell (\ ell +1)} {2j (j + 1) }},}$

hvor er det orbitale kvantetallet relatert til og er det totale orbitale kvantetallet relatert til . ${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle L ^ {2}}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle J ^ {2}}$

Fra Dirac-ligning

Pauli-ligningen er den ikke-relativistiske grensen til Dirac-ligningen , den relativistiske kvantebevegelsen for partikler spin-½.

Derivasjon

Dirac-ligning kan skrives som:

${\ displaystyle \ mathrm {i} \, \ hbar \, \ partial _ {t} \, \ left ({\ begin {array} {c} \ psi _ {1} \\\ psi _ {2} \ end {array}} \ right) = c \, \ left ({\ begin {array} {c} {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Pi}} \, \ psi _ {2} \ \ {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Pi}} \, \ psi _ {1} \ end {array}} \ right) + q \, \ phi \, \ left ({\ begin {array} {c} \ psi _ {1} \\\ psi _ {2} \ end {array}} \ right) + mc ^ {2} \, \ left ({\ begin {array} {c} \ psi _ {1} \\ - \ psi _ {2} \ end {array}} \ right)}$ ,

hvor og er to-komponent spinor , som danner en bispinor.${\ textstyle \ partial _ {t} = {\ frac {\ partial} {\ partial t}}}$${\ displaystyle \ psi _ {1}, \ psi _ {2}}$

Bruker du følgende ansatz:

${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} \ psi _ {1} \\\ psi _ {2} \ end {array}} \ right) = \ mathrm {e} ^ {- \ displaystyle i {\ frac {mc ^ {2} t} {\ hbar}}} \ venstre ({\ begin {array} {c} \ psi \\\ chi \ end {array}} \ høyre)}$ ,

med to nye spinorer blir ligningen ${\ displaystyle \ psi, \ chi}$

${\ displaystyle i \ hbar \ partial _ {t} \ left ({\ begin {array} {c} \ psi \\\ chi \ end {array}} \ right) = c \, \ left ({\ begin { array} {c} {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Pi}} \, \ chi \\ {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Pi}} \, \ psi \ end {array}} \ right) + q \, \ phi \, \ left ({\ begin {array} {c} \ psi \\\ chi \ end {array}} \ right) + \ left ({ \ begin {array} {c} 0 \\ - 2 \, mc ^ {2} \, \ chi \ end {array}} \ right)}$ .

I den ikke-relativistiske grensen, og de kinetiske og elektrostatiske energiene er små i forhold til resten energi . ${\ displaystyle \ partial _ {t} \ chi}$${\ displaystyle mc ^ {2}}$

Dermed

${\ displaystyle \ chi \ approx {\ frac {{\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Pi}} \, \ psi} {2 \, mc}} \ ,.}$

Sett inn i den øvre komponenten av Dirac-ligningen, finner vi Pauli-ligning (generell form):

${\ displaystyle \ mathrm {i} \, \ hbar \, \ partial _ {t} \, \ psi = \ left [{\ frac {({\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Pi} }) ^ {2}} {2 \, m}} + q \, \ phi \ right] \ psi.}$

Fra en Foldy-Wouthuysen transformasjon

Man kan også grundig utlede Pauli-ligningen, med utgangspunkt i Dirac-ligning i et eksternt felt og utfører en Foldy-Wouthuysen-transformasjon .

Pauli kobling

Paulis ligning er avledet ved å kreve minimal kobling , som gir en g- faktor g = 2. De fleste elementære partikler har avvikende g- faktorer, forskjellig fra 2. I domenet til relativistisk kvantefeltsteori definerer man en ikke-minimal kobling, noen ganger kalt Pauli-kobling, for å legge til en avvikende faktor

${\ displaystyle p _ {\ mu} \ to p _ {\ mu} -qA _ {\ mu} + a \ sigma _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}}$

der er fire-momentum operatør, hvis elektromagnetiske fire-potensialet , er det avvikende magnetiske dipolmoment , er elektromagnetisk tensor , og er de Lorentzian spin matriser og kommutatoren av gamma matriser . I sammenheng med ikke-relativistisk kvantemekanikk, i stedet for å jobbe med Schrödinger-ligning, tilsvarer Pauli-kobling Pauli-ligning (eller for å postulere Zeeman-energi ) for en vilkårlig g- faktor. ${\ displaystyle p _ {\ mu}}$${\ displaystyle A _ {\ mu}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu}}$${\ textstyle \ sigma _ {\ mu \ nu} = {\ frac {i} {2}} [\ gamma _ {\ mu}, \ gamma _ {\ nu}]}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu}}$

Se også

• Semiklassisk fysikk
• Atomisk, molekylær og optisk fysikk
• Gruppesammentrekning
• Gordon nedbrytning

Fotnoter

Referanser

Bøker

• Schwabl, Franz (2004). Quantenmechanik jeg . Springer. ISBN   978-3540431060 .
• Schwabl, Franz (2005). Quantenmechanik für Fortgeschrittene . Springer. ISBN   978-3540259046 .
• Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu; Frank Laloe (2006). Kvantemekanikk 2 . Wiley, J. ISBN   978-0471569527 .