Schrödinger bilde - Schrödinger picture

Del av en artikkelserie om
Kvantemekanikk
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partiell t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Schrödinger ligning
Introduksjon Ordliste Historie
Bakgrunn Klassisk mekanikk Gammel kvanteteori Bra -ket -notasjon Hamiltonian Innblanding
Grunnleggende Komplementaritet Dekoherens Forvikling Energinivå Mål Ikke -lokalitet Kvantum Stat Superposisjon Symmetri Tunnel Usikkerhet Wave -funksjon  ( skjul )
Eksperimenter Bells ulikhet Davisson - Germer Dobbel spalte Elitzur - Vaidman Franck - Hertz Leggett - Garg ulikhet Mach - Zehnder Popper Quantum viskelær  ( forsinket valg ) Schrödingers katt Stern - Gerlach Wheelers forsinkede valg
Formuleringer Oversikt Heisenberg Interaksjon Matrise Fase-plass Schrödinger Sum-over-historier (stiintegral)
Likninger Dirac Klein – Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Tolkninger Oversikt Bayesiansk Konsekvente historier København de Broglie – Bohm Ensemble Skjult-variabel Mange verdener Objektiv kollaps Kvantelogikk Relasjonelle Transaksjonell
Avanserte emner Relativistisk kvantemekanikk Kvantfeltteori Kvantinformasjonsvitenskap Quantum computing Quantum kaos Tetthetsmatrise Spredningsteori Kvantestatistisk mekanikk Kvantemaskinlæring
Forskere Aharonov Klokke Blackett Bloch Bohm Bohr Født Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramers Pauli lam Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger
v t e

I fysikken er Schrödinger -bildet en formulering av kvantemekanikk der tilstandsvektorene utvikler seg i tid, men operatørene (observerbare og andre) er konstante med hensyn til tid. Dette skiller seg fra Heisenberg -bildet som holder statene konstante mens de observerbare utvikler seg i tid, og fra interaksjonsbildet der både tilstandene og de observerbare utvikler seg i tid. Schrödinger- og Heisenberg -bildene er relatert til aktive og passive transformasjoner, og kommutasjonsforhold mellom operatører bevares i passasjen mellom de to bildene.

I Schrödinger -bildet utvikler tilstanden til et system seg med tiden. Utviklingen for et lukket kvantesystem er forårsaket av en enhetsoperatør , tidsutviklingsoperatøren . For tidsutvikling fra en tilstandsvektor på tidspunktet t ₀ til en tilstandsvektor på tidspunktet t , er tidsutviklingsoperatoren vanligvis skrevet , og man har ${\ displaystyle | \ psi (t_ {0}) \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle}$${\ displaystyle U (t, t_ {0})}$

${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = U (t, t_ {0}) | \ psi (t_ {0}) \ rangle.}$

I tilfellet der Hamiltonian av systemet ikke varierer med tiden, har tidsutviklingsoperatøren formen

${\ displaystyle U (t, t_ {0}) = e^{-iH (t-t_ {0})/\ hbar},}$

der eksponenten evalueres via Taylor -serien .

Schrödinger-bildet er nyttig når det gjelder en tidsuavhengig Hamiltonian H ; det vil si ,. ${\ displaystyle \ partial _ {t} H = 0}$

Bakgrunn

I elementær kvantemekanikk er tilstanden til et kvantemekanisk system representert ved en kompleks-verdsatt bølgefunksjon ψ ( x , t ) . Mer abstrakt, kan tilstanden representeres som en tilstandsvektor, eller Ket , . Dette ket er et element i et Hilbert -rom , et vektorrom som inneholder alle mulige tilstander i systemet. En kvantemekanisk operatør er en funksjon som tar et ket og returnerer et annet ket . ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi '\ rangle}$

Forskjellene mellom Schrödinger- og Heisenberg-bildene av kvantemekanikk dreier seg om hvordan man skal håndtere systemer som utvikler seg i tid: systemets tidsavhengige natur må bæres av en kombinasjon av statsvektorene og operatørene. For eksempel kan en kvanteharmonisk oscillator være i en tilstand som forventningsverdien for momentum , svinger sinusformet i tid. Man kan da spørre om denne sinusformede svingningen skal reflekteres i tilstandsvektoren , momentumoperatoren eller begge deler. Alle disse tre valgene er gyldige; den første gir Schrödinger -bildet, den andre Heisenberg -bildet, og den tredje interaksjonsbildet. ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle \ langle \ psi | {\ hat {p}} | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle {\ hat {p}}}$

Tidsutviklingsoperatøren

Definisjon

Tidsutviklingsoperatoren U ( t , t ₀ ) er definert som operatøren som virker på ket på tidspunktet t _{0 for} å produsere ket på et annet tidspunkt t :

${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = U (t, t_ {0}) | \ psi (t_ {0}) \ rangle.}$

For BH -er ,

${\ displaystyle \ langle \ psi (t) | = \ langle \ psi (t_ {0}) | U^{\ dolk} (t, t_ {0}).}$

Egenskaper

• Enhet

Tidsutviklingsoperatoren må være enhetlig . Dette er normen for statens ket må ikke endres med tiden. Det er,

${\ displaystyle \ langle \ psi (t) | \ psi (t) \ rangle = \ langle \ psi (t_ {0}) | U^{\ dolk} (t, t_ {0}) U (t, t_ { 0}) | \ psi (t_ {0}) \ rangle = \ langle \ psi (t_ {0}) | \ psi (t_ {0}) \ rangle.}$

Derfor,

${\ displaystyle U^{\ dolk} (t, t_ {0}) U (t, t_ {0}) = I.}$

• Identitet

Ved t  = t ₀ , U er den identitet operatør , ettersom

${\ displaystyle | \ psi (t_ {0}) \ rangle = U (t_ {0}, t_ {0}) | \ psi (t_ {0}) \ rangle.}$

• Lukking

Tidsutvikling fra t ₀ til t kan sees på som en evolusjon i to trinn, først fra t ₀ til en mellomtid t ₁ , og deretter fra t ₁ til siste gang t . Derfor,

${\ displaystyle U (t, t_ {0}) = U (t, t_ {1}) U (t_ {1}, t_ {0}).}$

Differensialligning for operatør for tidsutvikling

Vi slipper t ₀ -indeksen i tidsutviklingsoperatoren med konvensjonen at t ₀ = 0 og skriver den som U ( t ). Den Schrödinger ligningen er

${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partiell} {\ delvis t}} | \ psi (t) \ rangle = H | \ psi (t) \ rangle,}$

hvor H er Hamiltonian . Når du bruker tidsutviklingsoperatoren U til å skrive , ${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = U (t) | \ psi (0) \ rangle}$

${\ displaystyle i \ hbar {\ delvis \ over \ delvis t} U (t) | \ psi (0) \ rangle = HU (t) | \ psi (0) \ rangle.}$

Siden er en konstant ket (tilstanden ket ved t = 0 ), og siden ligningen ovenfor er sant for enhver konstant ket i Hilbert -rommet, må tidsutviklingsoperatøren følge ligningen ${\ displaystyle | \ psi (0) \ rangle}$

${\ displaystyle i \ hbar {\ delvis \ over \ delvis t} U (t) = HU (t).}$

Hvis Hamiltonian er uavhengig av tid, er løsningen på ligningen ovenfor

${\ displaystyle U (t) = e^{-iHt/\ hbar}.}$

Siden H er en operator, skal dette eksponensielle uttrykket evalueres via Taylor -serien :

${\ displaystyle e^{-iHt/\ hbar} = 1-{\ frac {iHt} {\ hbar}}-{\ frac {1} {2}} \ venstre ({\ frac {Ht} {\ hbar} } \ høyre)^{2}+\ cdots.}$

Derfor,

${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = e^{-iHt/\ hbar} | \ psi (0) \ rangle.}$

Vær oppmerksom på at dette er en vilkårlig ket. Imidlertid, hvis den innledende ket er en egenstat til Hamiltonian, med egenverdi E : ${\ displaystyle | \ psi (0) \ rangle}$

${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = e^{-iEt/\ hbar} | \ psi (0) \ rangle.}$

Egetilstandene til Hamiltonian er stasjonære stater : de tar bare opp en samlet fasefaktor etter hvert som de utvikler seg med tiden.

Hvis Hamiltonian er avhengig av tid, men Hamiltonians på forskjellige tidspunkter pendler, kan tidsutviklingsoperatoren skrives som

${\ displaystyle U (t) = \ exp \ left ({-{\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {0}^{t} H (t ') \, dt'} \ right), }$

Hvis Hamiltonian er avhengig av tid, men Hamiltonians på forskjellige tidspunkter ikke pendler, kan tidsutviklingsoperatoren skrives som

${\ displaystyle U (t) = \ mathrm {T} \ exp \ left ({-{\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {0}^{t} H (t ') \, dt' }\Ikke sant),}$

der T er tidsordnende operatør, som noen ganger er kjent som Dyson-serien , etter Freeman Dyson .

Alternativet til Schrödinger -bildet er å bytte til en roterende referanseramme, som selv roteres av utbrederen. Siden den bølgende rotasjonen nå antas av selve referanserammen, ser en uforstyrret tilstandsfunksjon ut til å være virkelig statisk. Dette er Heisenberg -bildet .

Sammendrag av evolusjon i alle bildene

For en tidsuavhengig Hamilton H _S , hvor H _{0, S} er den frie Hamilton,

Utvikling	Bilde ( v t e )
av:	Heisenberg	Interaksjon	Schrödinger
Ket tilstand	konstant	${\ displaystyle | \ psi _ {\ rm {I}} (t) \ rangle = e^{iH_ {0, \ mathrm {S}} ~ t/\ hbar} | \ psi _ {\ rm {S}} (t) \ rangle}$	${\ displaystyle | \ psi _ {\ rm {S}} (t) \ rangle = e^{-iH _ {\ rm {S}} ~ t/\ hbar} | \ psi _ {\ rm {S}} ( 0) \ rangle}$
Observerbar	${\ displaystyle A _ {\ rm {H}} (t) = e^{iH _ {\ rm {S}} ~ t/\ hbar} A _ {\ rm {S}} e^{-iH _ {\ rm {S }} ~ t/\ hbar}}$	${\ displaystyle A _ {\ rm {I}} (t) = e^{iH_ {0, \ mathrm {S}} ~ t/\ hbar} A _ {\ rm {S}} e^{-iH_ {0, \ mathrm {S}} ~ t/\ hbar}}$	konstant
Tetthetsmatrise	konstant	${\ displaystyle \ rho _ {\ rm {I}} (t) = e^{iH_ {0, \ mathrm {S}} ~ t/\ hbar} \ rho _ {\ rm {S}} (t) e ^{-iH_ {0, \ mathrm {S}} ~ t/\ hbar}}$	${\ displaystyle \ rho _ {\ rm {S}} (t) = e^{-iH _ {\ rm {S}} ~ t/\ hbar} \ rho _ {\ rm {S}} (0) e^ {iH _ {\ rm {S}} ~ t/\ hbar}}$

Se også

• Hamilton - Jacobi -ligningen
• Interaksjonsbilde
• Heisenberg bilde
• Faseformulering
• POVM
• Matematisk formulering av kvantemekanikk

Merknader

Referanser

• Cohen-Tannoudji, Claude ; Bernard Diu; Frank Laloe (1977). Quantum Mechanics (bind 1) . Paris: Wiley. s. 312–314. ISBN 0-471-16433-X.
• Albert Messiah , 1966. Quantum Mechanics (bind I), engelsk oversettelse fra fransk av GM Temmer. Nord -Holland, John Wiley & Sons.
• Merzbacher E. , Quantum Mechanics (3. utg., John Wiley 1998) s. 430–1 ISBN  0-471-88702-1
• LD Landau , EM Lifshitz (1977). Kvantemekanikk: Ikke-relativistisk teori . Vol. 3 (3. utg.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1. |volume=har ekstra tekst ( hjelp ) Online kopi
• R. Shankar (1994); Principles of Quantum Mechanics , Plenum Press, ISBN  978-0-306-44790-7 .
• JJ Sakurai (1993); Modern Quantum Mechanics (revidert utgave), ISBN  978-0-201-53929-5 .