Kvantestatistisk mekanikk - Quantum statistical mechanics

Moderne fysikk
${\ displaystyle {\ hat {H}} | \ psi _ {n} (t) \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ partiell} {\ delvis t}} | \ psi _ {n} (t) \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {{c}^{2}}} {\ frac {{\ partial}^{2} {\ phi} _ {n}} {{\ delvis t}^{2} }}-{{\ nabla}^{2} {\ phi} _ {n}}+{\ venstre ({\ frac {mc} {\ hbar}} \ høyre)}^{2} {\ phi} _ {n} = 0}$ Mangfoldig dynamikk : Schrödinger og Klein – Gordon -ligninger
Grunnleggerne Max Planck  · Albert Einstein  · Niels Bohr  · Max Born  · Werner Heisenberg  · Erwin Schrödinger  · Pascual Jordan  · Wolfgang Pauli  · Paul Dirac  · Ernest Rutherford  · Louis de Broglie  · Satyendra Nath Bose
Begreper Topologi  · Space  · Tid  · Energi  · Matter  · Arbeid Random  · Informasjon  · Entropy  · Mind Lys  · Partikkel  · Wave
Grener Anvendt  · Eksperimentell  · Teoretisk matematisk  · Fysikkfilosofi Kvantemekanikk ( kvantefeltteori  · Kvantinformasjon  · Kvantberegning ) Elektromagnetisme  · Svak interaksjon  · Elektrosvak interaksjon Sterk interaksjon Atomisk  · Partikkel  · Kjernefysisk atomisk, molekylært og optisk kondensert materiale  · Statistiske komplekse systemer  · Ikke-lineær dynamikk  · Biofysikk Neurofysikk Plasmafysikk Spesiell relativitet  · Generell relativitet Astrofysikk  · Kosmologi Gravitasjonsteorier Kvantegravitasjon  · Teori om alt
Forskere Witten  · Röntgen  · Becquerel  · Lorentz  · Planck  · Curie  · Wien  · Skłodowska-Curie  · Sommerfeld  · Rutherford  · Soddy  · Onnes  · Einstein  · Wilczek  · Born  · Weyl  · Bohr  · Kramers  · Schrödinger  · de Broglie  · Laue  · Bose  · Compton  · Pauli  · Walton  · Fermi  · van der Waals  · Heisenberg  · Dyson  · Zeeman  · Moseley  · Hilbert  · Gödel  · Jordan  · Dirac  · Wigner  · Hawking  · PW Anderson  · Lemaître  · Thomson  · Poincaré  · Wheeler  · Penrose  · Millikan  · Nambu  · von Neumann  · Higgs  · Hahn  · Feynman  · Yang  · Lee  · Lenard  · Salam  · t Hooft  · Veltman  · Bell  · Gell-Mann  · JJ Thomson  · Raman  · Bragg  · Bardeen  · Shockley  · Chadwick  · Lawrence  · Zeilinger  · Goudsmit  · Uhlenbeck
Kategorier Moderne fysikk
v t e

Del av en artikkelserie om
Kvantemekanikk
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partiell t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Schrödinger ligning
Introduksjon Ordliste Historie
Bakgrunn Klassisk mekanikk Gammel kvanteteori Bra -ket -notasjon Hamiltonian Innblanding
Grunnleggende Komplementaritet Dekoherens Forvikling Energinivå Mål Ikke -lokalitet Kvantum Stat Superposisjon Symmetri Tunnel Usikkerhet Bølgefunksjon Kollapse
Eksperimenter Bells ulikhet Davisson - Germer Dobbel spalte Elitzur - Vaidman Franck - Hertz Leggett - Garg ulikhet Mach - Zehnder Popper Quantum viskelær Forsinket valg Schrödingers katt Stern - Gerlach Wheelers forsinkede valg
Formuleringer Oversikt Heisenberg Interaksjon Matrise Fase-plass Schrödinger Sum-over-historier (stiintegral)
Likninger Dirac Klein – Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Tolkninger Oversikt Bayesiansk Konsekvente historier København de Broglie – Bohm Ensemble Skjult-variabel Lokal Mange verdener Objektiv kollaps Kvantelogikk Relasjonelle Transaksjonell
Avanserte emner Relativistisk kvantemekanikk Kvantfeltteori Kvantinformasjonsvitenskap Quantum computing Quantum kaos Tetthetsmatrise Spredningsteori Kvantestatistisk mekanikk Kvantemaskinlæring
Forskere Aharonov Klokke Blackett Bloch Bohm Bohr Født Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramers Pauli lam Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger
v t e

Kvantestatistisk mekanikk er statistisk mekanikk som brukes på kvantemekaniske systemer . I kvantemekanikken er et statistisk ensemble (sannsynlighetsfordeling over mulige kvantetilstander ) beskrevet av en tetthetsoperator S , som er en ikke-negativ, selvtilknyttet , sporklasseoperatør av spor 1 på Hilbert-rommet H som beskriver kvantesystemet. Dette kan vises under forskjellige matematiske formalismer for kvantemekanikk . En slik formalisme er gitt av kvantelogikk .

Forventning

Fra klassisk sannsynlighetsteori vet vi at forventningen til en tilfeldig variabel X er definert av fordelingen D _X av

${\ displaystyle \ mathbb {E} (X) = \ int _ {\ mathbb {R}} \ lambda \, d \, \ operatorname {D} _ {X} (\ lambda)}$

forutsatt selvfølgelig at den tilfeldige variabelen er integrerbar eller at den tilfeldige variabelen er ikke-negativ. La A på samme måte være en observerbar av et kvantemekanisk system. A er gitt av en tett definert selv adjungerte operatør på H . Det spektrale målet på A definert av

${\ displaystyle \ operatorname {E} _ {A} (U) = \ int _ {U} \ lambda d \ operatorname {E} (\ lambda),}$

entydig bestemmer A og omvendt, blir entydig bestemt av A . E _A er en boolsk homomorfi fra Borel undergrupper av R i gitteret Q av selv Adjoint projeksjoner av H . I analogi med sannsynlighetsteori, gitt en tilstand S , introduserer vi fordelingen av A under S som er sannsynlighetsmål som er definert på Borels undersett av R med

${\ displaystyle \ operatorname {D} _ {A} (U) = \ operatorname {Tr} (\ operatorname {E} _ {A} (U) S).}$

På samme måte er den forventede verdien av A definert i form av sannsynlighetsfordelingen D _A med

${\ displaystyle \ mathbb {E} (A) = \ int _ {\ mathbb {R}} \ lambda \, d \, \ operatorname {D} _ {A} (\ lambda).}$

Merk at denne forventning er i forhold til det blandede tilstand S som benyttes i definisjonen av D- _A .

Bemerkning . Av tekniske årsaker må man separat vurdere de positive og negative delene av A som er definert av Borel funksjonell beregning for ubegrensede operatører.

Man kan enkelt vise:

${\ displaystyle \ mathbb {E} (A) = \ operatorname {Tr} (AS) = \ operatorname {Tr} (SA).}$

Vær oppmerksom på at hvis S er en ren tilstand som tilsvarer vektoren ψ, så:

${\ displaystyle \ mathbb {E} (A) = \ langle \ psi | A | \ psi \ rangle.}$

Sporet av en operator A er skrevet som følger:

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} (A) = \ sum _ {m} \ langle m | A | m \ rangle.}$

Von Neumann entropi

Av spesiell betydning for å beskrive tilfeldighet av en tilstand er von Neumann -entropien S formelt definert av

${\ displaystyle \ operatorname {H} (S) =-\ operatorname {Tr} (S \ log _ {2} S)}$.

Egentlig er operatøren S log ₂ S ikke nødvendigvis sporklasse. Imidlertid, hvis S er en ikke-negativ selvtilstøtende operatør som ikke er av kursklasse, definerer vi Tr ( S ) = +∞. Vær også oppmerksom på at enhver tetthetsoperator S kan diagonaliseres, at den kan representeres på en eller annen ortonormal basis med en (muligens uendelig) matrise av skjemaet

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {1} & 0 & \ cdots & 0 & \ cdots \\ 0 & \ lambda _ {2} & \ cdots & 0 & \ cdots \\ vdots & \ vdots & \ ddots & \\ 0 & 0 && \ lambda _ {n} & \\\ vdots & \ vdots &&& \ ddots \ end {bmatrix}}}$

og vi definerer

${\ displaystyle \ operatorname {H} (S) =-\ sum _ {i} \ lambda _ {i} \ log _ {2} \ lambda _ {i}.}$

Konvensjonen er at siden en hendelse med sannsynlighet null ikke skal bidra til entropien. Denne verdien er en utvidet reelt tall (det vil si i [0, ∞]), og dette er helt klart en enhetlig invariant av S . ${\ displaystyle \; 0 \ log _ {2} 0 = 0}$

Bemerkning . Det er faktisk mulig at H ( S ) = + ∞ for noen tetthet operatør S . Faktisk T være diagonal matrise

${\ displaystyle T = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {2 (\ log _ {2} 2)^{2}}} & 0 & \ cdots & 0 & \ cdots \\ 0 & {\ frac {1} { 3 (\ log _ {2} 3)^{2}}} & \ cdots & 0 & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \\ 0 & 0 && {\ frac {1} {n (\ log _ {2 } n)^{2}}} & \\\ vdots & \ vdots &&& \ ddots \ end {bmatrix}}}$

T er ikke-negativ sporklasse, og man kan vise T log ₂ T er ikke sporingsklasse.

Teorem . Entropi er en enhetlig invariant.

I analogi med klassisk entropi (legg merke til likheten i definisjonene), H ( S ) måler mengden av tilfeldigheten i den tilstand S . Jo mer spredte egenverdiene er, desto større er systemets entropi. For et system der rommet H er endelig-dimensjonalt, er entropi maksimert for tilstandene S som i diagonal form har representasjonen

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {n}} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & {\ frac {1} {n}} & \ dots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & {\ frac {1} {n}} \ end {bmatrix}}}$

For et slikt S , H ( S ) = log ₂ n . Tilstanden S kalles den maksimalt blandede tilstanden.

Husk at en ren tilstand er en av formene

${\ displaystyle S = | \ psi \ rangle \ langle \ psi |,}$

for ψ en vektor av norm 1.

Teorem . H ( S ) = 0 hvis og bare hvis S er en ren tilstand.

For S er en ren tilstand hvis og bare hvis den diagonale formen har nøyaktig en ikke-null oppføring som er en 1.

Entropi kan brukes som et mål på kvanteforvikling .

Gibbs kanoniske ensemble

Betrakt et ensemble av systemer som er beskrevet ved hjelp av en Hamilton- H med gjennomsnittlig energi E . Hvis H har et rent punktspekter og egenverdiene til H går til +∞ tilstrekkelig raskt, vil e ^{- r H} være en ikke-negativ sporklasse-operator for hver positiv r . ${\ displaystyle E_ {n}}$

Den Gibbs kanonisk ensemble er beskrevet av tilstanden

${\ displaystyle S = {\ frac {\ mathrm {e} ^{-\ beta H}} {\ operatorname {Tr} (\ mathrm {e} ^{-\ beta H})}}}.}$

Hvor β er slik at ensemblet gjennomsnitt av energi tilfredsstiller

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} (SH) = E}$

og

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} (\ mathrm {e} ^{-\ beta H}) = \ sum _ {n} \ mathrm {e} ^{-\ beta E_ {n}} = Z (\ beta) }$

Dette kalles partisjonsfunksjonen ; det er den kvantemekaniske versjonen av den kanoniske partisjonsfunksjonen til klassisk statistisk mekanikk. Sannsynligheten for at et system valgt tilfeldig fra ensemblet vil være i en tilstand som tilsvarer energi egenverdi er ${\ displaystyle E_ {m}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (E_ {m}) = {\ frac {\ mathrm {e} ^{-\ beta E_ {m}}} {\ sum _ {n} \ mathrm {e} ^ {-\ beta E_ {n}}}}.}$

Under visse forhold maksimerer Gibbs kanoniske ensemble von Neumann -entropien til staten som er underlagt energibesparelseskravet.

Grand kanonisk ensemble

For åpne systemer der energien og antallet partikler kan svinge, er systemet beskrevet av det grand canonical ensemble , beskrevet av tetthetsmatrisen

${\ displaystyle \ rho = {\ frac {\ mathrm {e} ^{\ beta (\ sum _ {i} \ mu _ {i} N_ {i} -H)}} {\ operatorname {Tr} \ left ( \ mathrm {e} ^{\ beta (\ sum _ {i} \ mu _ {i} N_ {i} -H)} \ høyre)}}.}$

hvor N ₁ , N ₂ , ... er partikkelnummeroperatørene for de forskjellige partikeltypene som utveksles med reservoaret. Vær oppmerksom på at dette er en tetthetsmatrise som inkluderer mange flere tilstander (med varierende N) sammenlignet med det kanoniske ensemblet.

Den store partisjonsfunksjonen er

${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} (\ beta, \ mu _ {1}, \ mu _ {2}, \ cdots) = \ operatorname {Tr} (\ mathrm {e} ^{\ beta (\ sum _ {i} \ mu _ {i} N_ {i} -H)})}$

Se også

• Kvantetermodynamikk
• Termisk kvantefeltteori

Referanser

• J. von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics , Princeton University Press , 1955.
• F. Reif, statistisk og termisk fysikk , McGraw-Hill, 1965.