Born rule - Born rule

Del av en artikkelserie om
Kvantemekanikk
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partiell t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Schrödinger ligning
Introduksjon Ordliste Historie
Bakgrunn Klassisk mekanikk Gammel kvanteteori Bra -ket -notasjon Hamiltonian Innblanding
Grunnleggende Komplementaritet Dekoherens Forvikling Energinivå Mål Ikke -lokalitet Kvantum Stat Superposisjon Symmetri Tunnel Usikkerhet Wave -funksjon  ( skjul )
Eksperimenter Bells ulikhet Davisson - Germer Dobbel spalte Elitzur - Vaidman Franck - Hertz Leggett - Garg ulikhet Mach - Zehnder Popper Quantum viskelær  ( forsinket valg ) Schrödingers katt Stern - Gerlach Wheelers forsinkede valg
Formuleringer Oversikt Heisenberg Interaksjon Matrise Fase-plass Schrödinger Sum-over-historier (stiintegral)
Likninger Dirac Klein – Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Tolkninger Oversikt Bayesiansk Konsekvente historier København de Broglie – Bohm Ensemble Skjult-variabel Mange verdener Objektiv kollaps Kvantelogikk Relasjonelle Transaksjonell
Avanserte emner Relativistisk kvantemekanikk Kvantfeltteori Kvantinformasjonsvitenskap Quantum computing Quantum kaos Tetthetsmatrise Spredningsteori Kvantestatistisk mekanikk Kvantemaskinlæring
Forskere Aharonov Klokke Blackett Bloch Bohm Bohr Født Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramers Pauli lam Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger
v t e

Den Born regelen (også kalt Born regel ) er en nøkkel postulat kvantemekanikk som gir sannsynligheten for at en måling av et kvantesprang system vil gi et gitt resultat. I sin enkleste form heter det at sannsynlighetstettheten for å finne en partikkel på et gitt punkt, når den er målt, er proporsjonal med kvadratet av størrelsen på partikkelenes bølgefunksjon på det punktet. Den ble formulert av den tyske fysikeren Max Born i 1926.

Detaljer

Born-regelen sier at hvis en observerbar som tilsvarer en selvtilstøtende operatør med et diskret spektrum måles i et system med normalisert bølgefunksjon ( se Bra-ket-notasjon ), så ${\ textstyle A}$ ${\ textstyle | \ psi \ rangle}$

• det målte resultatet vil være en av egenverdiene til , og${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle A}$
• sannsynligheten for å måle en gitt egenverdi vil være lik , hvor er projeksjonen på eigenspace tilsvarende .${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ displaystyle \ langle \ psi | P_ {i} | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle P_ {i}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$

(I tilfellet hvor eigenspace til tilsvarende er endimensjonalt og spenner over den normaliserte egenvektoren , er lik , så er sannsynligheten lik . Siden det komplekse tallet er kjent som sannsynlighetsamplituden som tilstandsvektoren tilordner egenvektoren , er det vanlig å beskrive Born-regelen som at sannsynligheten er lik amplituden i kvadrat (egentlig amplituden ganger sitt eget komplekse konjugat ). På samme måte kan sannsynligheten skrives som .)${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ displaystyle | \ lambda _ {i} \ rangle}$${\ displaystyle P_ {i}}$${\ displaystyle | \ lambda _ {i} \ rangle \ langle \ lambda _ {i} |}$${\ displaystyle \ langle \ psi | P_ {i} | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle \ langle \ psi | \ lambda _ {i} \ rangle \ langle \ lambda _ {i} | \ psi \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle \ lambda _ {i} | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ lambda _ {i} \ rangle}$${\ displaystyle | \ langle \ lambda _ {i} | \ psi \ rangle |^{2}}$

I tilfellet der spekteret av ikke er helt diskret, beviser spektralsetet eksistensen av et bestemt projeksjon-verdsatt mål , det spektrale målet på . I dette tilfellet, ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle A}$

• sannsynligheten for at resultatet av målingen ligger i et målbart sett er gitt av .${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ langle \ psi | Q (M) | \ psi \ rangle}$

Gitt en bølgefunksjon for en enkelt strukturløs partikkel i posisjonsrom, innebærer det at sannsynlighetstetthetsfunksjonen for en måling av posisjonen på et tidspunkt er ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle p (x, y, z)}$${\ displaystyle t_ {0}}$

${\ displaystyle p (x, y, z) = | \ psi (x, y, z, t_ {0}) |^{2}}$.

I noen applikasjoner er denne behandlingen av Born-regelen generalisert ved hjelp av tiltak som er positivt av operatører . En POVM er et mål hvis verdier er positive semi-bestemte operatører på et Hilbert-rom . POVM er en generalisering av von Neumann-målinger og tilsvarende er kvantemålinger beskrevet av POVM en generalisering av kvantemåling beskrevet av selvtilstøtende observerbare. I grov analogi er en POVM til en PVM hva en blandet tilstand er til en ren tilstand . Blandede tilstander er nødvendig for å spesifisere tilstanden til et delsystem i et større system (se rensing av kvantetilstand ); analogt er POVM nødvendig for å beskrive effekten på et undersystem av en projektiv måling utført på et større system. POVM er den mest generelle typen måling i kvantemekanikk, og kan også brukes i kvantefeltteori . De er mye brukt innen kvanteinformasjon .

I det enkleste tilfellet, for en POVM med et begrenset antall elementer som virker på et endelig-dimensjonalt Hilbert-rom , er en POVM et sett med positive semi-bestemte matriser på et Hilbert-rom som summerer til identitetsmatrisen , ${\ displaystyle \ {F_ {i} \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} F_ {i} = \ operatorname {I}.}$

POVM -elementet er knyttet til måleresultatet , slik at sannsynligheten for å oppnå det når du foretar en måling på kvantetilstanden er gitt av ${\ displaystyle F_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle p (i) = \ operatorname {tr} (\ rho F_ {i})}$,

hvor er sporoperatøren . Dette er POVM -versjonen av Born -regelen. Når kvantetilstanden som måles er en ren tilstand reduseres denne formelen til ${\ displaystyle \ operatorname {tr}}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

${\ displaystyle p (i) = \ operatorname {tr} (| \ psi \ rangle \ langle \ psi | F_ {i}) = \ langle \ psi | F_ {i} | \ psi \ rangle}$.

Born regel sammen med den unitarity av tidsutviklingen operatør (eller, ekvivalent, Hamilton vesen Hermitisk ), innebærer unitarity av teorien, noe som anses nødvendig for konsistens. For eksempel sikrer enhetlighet at sannsynligheten for alle mulige utfall summerer seg til 1 (selv om det ikke er det eneste alternativet for å få dette bestemte kravet). ${\ displaystyle e^{-i {\ hat {H}} t}}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}}}$

Historie

Born -regelen ble formulert av Born i et papir fra 1926. I denne oppgaven løser Born Schrödinger -ligningen for et problem med spredning, og, inspirert av Albert Einstein og Einsteins sannsynlighetsregel for den fotoelektriske effekten , konkluderer i en fotnote med at Born -regelen gir den eneste mulige tolkningen av løsningen. I 1954, sammen med Walther Bothe , ble Born tildelt Nobelprisen i fysikk for dette og annet arbeid. John von Neumann diskuterte anvendelsen av spektralteori til Born's styre i sin bok fra 1932.

Avledning fra mer grunnleggende prinsipper

Gleasons teorem viser at Born-regelen kan stammer fra den vanlige matematiske representasjonen av målinger i kvantefysikk sammen med antagelsen om ikke-kontekstualitet . Andrew M. Gleason beviste først teoremet i 1957, på grunn av et spørsmål fra George W. Mackey . Denne teoremet var historisk viktig for rollen den spilte for å vise at brede klasser av skjulte-variable teorier er uforenlige med kvantefysikk.

Flere andre forskere har også prøvd å utlede Born -regelen fra mer grunnleggende prinsipper. Selv om det har blitt hevdet at Born-regelen kan stammer fra tolkningen av mange verdener , har de eksisterende bevisene blitt kritisert som sirkulære. Det har også blitt hevdet at pilotbølge -teori kan brukes til statistisk å utlede Born -regelen, selv om dette fortsatt er kontroversielt. Kastner hevder at transaksjonstolkningen er unik ved å gi en fysisk forklaring på Born -regelen.

I 2019 presenterte Lluis Masanes og Thomas Galley fra Perimeter Institute for Theoretical Physics , og Markus Müller fra Institute for Quantum Optics and Quantum Information en avledning av Born -regelen. Selv om resultatet ikke bruker de samme første antagelsene som Gleasons teorem, forutsetter det en Hilbert-romstruktur og en type kontekst-uavhengighet.

Innenfor QBist -tolkningen av kvanteteorien blir Born -regelen sett på som en modifikasjon av standardloven for total sannsynlighet , som tar hensyn til Hilbert -romdimensjonen i det involverte fysiske systemet. I stedet for å prøve å utlede Born -regelen, som mange tolkninger av kvantemekanikk gjør, tar QBists en formulering av Born -regelen som primitiv og tar sikte på å få så mye kvanteteori som mulig fra den.

Referanser

Eksterne linker

• Quantum Mechanics Not in Jeopardy: Physicists Confirm a Decades-Old Key Principle Experimentally ScienceDaily (23. juli 2010)