Relativistiske bølgelikninger - Relativistic wave equations

Del av en artikkelserie om
Kvantemekanikk
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partiell t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Schrödinger ligning
Introduksjon Ordliste Historie
Bakgrunn Klassisk mekanikk Gammel kvanteteori Bra -ket -notasjon Hamiltonian Innblanding
Grunnleggende Komplementaritet Dekoherens Forvikling Energinivå Mål Ikke -lokalitet Kvantum Stat Superposisjon Symmetri Tunnel Usikkerhet Wave -funksjon  ( skjul )
Eksperimenter Bells ulikhet Davisson - Germer Dobbel spalte Elitzur - Vaidman Franck - Hertz Leggett - Garg ulikhet Mach - Zehnder Popper Quantum viskelær  ( forsinket valg ) Schrödingers katt Stern - Gerlach Wheelers forsinkede valg
Formuleringer Oversikt Heisenberg Interaksjon Matrise Fase-plass Schrödinger Sum-over-historier (stiintegral)
Likninger Dirac Klein – Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Tolkninger Oversikt Bayesiansk Konsekvente historier København de Broglie – Bohm Ensemble Skjult-variabel Mange verdener Objektiv kollaps Kvantelogikk Relasjonelle Transaksjonell
Avanserte emner Relativistisk kvantemekanikk Kvantfeltteori Kvantinformasjonsvitenskap Quantum computing Quantum kaos Tetthetsmatrise Spredningsteori Kvantestatistisk mekanikk Kvantemaskinlæring
Forskere Aharonov Klokke Blackett Bloch Bohm Bohr Født Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramers Pauli lam Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger
v t e

Kvantfeltteori
Feynman -diagram
Historie
Bakgrunn Feltteori Elektromagnetisme Svak kraft Sterk kraft Kvantemekanikk Spesiell relativitet Generell relativitet Målerteori
Symmetrier Symmetri i kvantemekanikk C-symmetri P-symmetri T-symmetri Romoversettelsessymmetri Tidsoversettelsessymmetri Rotasjonssymmetri Lorentz symmetri Poincaré symmetri Målesymmetri Eksplisitt symmetribrudd Spontan symmetri brytes Yang - Mills teori Ingen kostnad Topologisk ladning
Verktøy Anomali Kryssing Effektiv feltteori Forventningsverdi Faddeev - Popov spøkelser Feynman -diagram Gittermålerteori LSZ reduksjonsformel Delingsfunksjon Propagator Kvantisering Regularisering Renormalisering Vakuumtilstand Wicks teorem Wightman aksiomer
Likninger Dirac ligning Klein - Gordon ligning Proca -ligninger Wheeler – DeWitt -ligningen Bargmann - Wigner ligninger
Standard modell Kvantelektrodynamikk Elektrisk svak interaksjon Kvantekromodynamikk Higgs -mekanisme
Ufullstendige teorier Topologisk kvantefeltteori Strengteori Supersymmetri Technicolor Teori om alt Quantum tyngdekraft
Forskere CD Anderson PW Anderson Vær den Bjorken Bogoliubov Brout Callan Coleman DeWitt Dirac Dyson Englert Fermi Feynman Fierz Fock Fröhlich Glashow Gell-Mann Ekkelt Guralnik Heisenberg Higgs Haag Hagen 't Hooft Jordan Kendall Kibble lam Landau Lee Majorana Mills Nambu Nishijima Parisi Polyakov Salam Schwinger Skyrme Sudarshan Tomonaga Veltman avdeling Weinberg Weisskopf Weyl Wilczek Wilson Yang Yukawa
v t e

I fysikk , spesielt relativistisk kvantemekanikk (RQM) og dens anvendelser på partikkelfysikk , forutsier relativistiske bølgelikninger oppførselen til partikler ved høye energier og hastigheter som kan sammenlignes med lysets hastighet . I sammenheng med kvantefeltteori (QFT) bestemmer ligningene dynamikken i kvantefelt . Løsningene til ligningene, universelt betegnet som ψ eller Ψ ( gresk psi ), blir referert til som " bølgefunksjoner " i sammenheng med RQM, og " felt " i sammenheng med QFT. Selve ligningene kalles "bølgelikninger" eller "feltligninger", fordi de har den matematiske formen for en bølgeligning eller er generert fra en Lagrangian tetthet og de feltteoretiske Euler-Lagrange-ligningene (se klassisk feltteori for bakgrunn).

I Schrödinger -bildet er bølgefunksjonen eller feltet løsningen på Schrödinger -ligningen ;

${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partiell} {\ delvis t}} \ psi = {\ hat {H}} \ psi}$

et av kvantemekanikkens postulater . Alle relativistiske bølgelikninger kan konstrueres ved å spesifisere forskjellige former for den hamiltonske operatøren Ĥ som beskriver kvantesystemet . Alternativt kan Feynman 's bane integral formulering anvender en Lagrangesk snarere enn en Hamilton-operator.

Mer generelt - den moderne formalismen bak relativistiske bølgelikninger er Lorentz -gruppeteori, hvor partikkels spinn har en korrespondanse med representasjonene til Lorentz -gruppen .

Historie

Tidlig på 1920 -tallet: Klassisk og kvantemekanikk

Feilen i den klassiske mekanikken gjaldt for molekylære , atomare og kjernefysiske systemer og mindre induserte behovet for en ny mekanikk: kvantemekanikk . Den matematiske formuleringen ble ledet av De Broglie , Bohr , Schrödinger , Pauli og Heisenberg , og andre, rundt midten av 1920-tallet, og var på den tiden analog med klassisk mekanikk. Den Schrödingerligningen og Heisen bilde ligner den klassiske ligninger for bevegelse i grensen av store kvantetall , og som den reduserte Plancks konstant Ħ , quantum av virkningen , har en tendens til null. Dette er korrespondanseprinsippet . På dette tidspunktet ble spesiell relativitet ikke fullt ut kombinert med kvantemekanikk, så Schrödinger og Heisenberg -formuleringene, som opprinnelig foreslått, kunne ikke brukes i situasjoner der partiklene beveger seg nær lysets hastighet , eller når antallet av hver type partikkel endringer (dette skjer i virkelige partikkelinteraksjoner ; de mange formene for partikkelfall , utslettelse , stoffskaping , parproduksjon og så videre).

Sent på 1920-tallet: Relativistisk kvantemekanikk for spin-0 og spin- 1/2 partikler

Mange teoretiske fysikere søkte en beskrivelse av kvantemekaniske systemer som kunne redegjøre for relativistiske effekter. fra slutten av 1920-tallet til midten av 1940-tallet. Det første grunnlaget for relativistisk kvantemekanikk , dvs. spesiell relativitet brukt med kvantemekanikk sammen, ble funnet av alle de som oppdaget det som ofte kalles Klein - Gordon -ligningen :

${\ displaystyle -\ hbar ^{2} {\ frac {\ partiell ^{2} \ psi} {\ delvis t ^{2}}}+(\ hbar c) ^{2} \ nabla ^{2} \ psi = (mc^{2})^{2} \ psi \ ,,}$

( 1 )

ved å sette inn energioperatøren og momentumoperatoren i den relativistiske energimomentforholdet :

${\ displaystyle E^{2}-(pc)^{2} = (mc^{2})^{2} \ ,,}$

( 2 )

Løsningene på ( 1 ) er skalarfelt . KG -ligningen er uønsket på grunn av forutsigelsen av negative energier og sannsynligheter , som et resultat av den kvadratiske naturen til ( 2 ) - uunngåelig i en relativistisk teori. Denne ligningen ble opprinnelig foreslått av Schrödinger, og han kastet den av slike grunner, bare for å innse noen måneder senere at den ikke-relativistiske grensen (det som nå kalles Schrödinger-ligningen ) fortsatt var av betydning. Likevel gjelder-( 1 ) for spin-0 bosoner .

Verken de ikke-relativistiske eller relativistiske likningene som Schrödinger fant, kunne forutsi den fine strukturen i Hydrogens spektralserie . Den mystiske underliggende eiendommen var spinn . De første todimensjonale spinnmatrisene (bedre kjent som Pauli-matrisene ) ble introdusert av Pauli i Pauli-ligningen ; Schrödinger-ligningen med en ikke-relativistisk Hamiltonian inkludert et ekstra begrep for partikler i magnetfelt , men dette var fenomenologisk . Weyl fant en relativistisk ligning når det gjelder Pauli -matrisene; den Weyl ligningen , for masseløse utskillelsen1/2fermioner. Problemet ble løst av Dirac på slutten av 1920 -tallet, da han videreførte anvendelsen av ligning ( 2 ) til elektronet - ved forskjellige manipulasjoner faktoriserte han ligningen til formen:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {E} {c}} -{\ boldsymbol {\ alpha}} \ cdot \ mathbf {p} -\ beta mc \ right) \ left ({\ frac {E} {c }} +{\ boldsymbol {\ alpha}} \ cdot \ mathbf {p} +\ beta mc \ right) \ psi = 0 \ ,,}$

( 3A )

og en av disse faktorene er Dirac -ligningen (se nedenfor) ved innsetting av energi- og momentoperatørene. For første gang introduserte dette nye fire-dimensjonale spinnmatriser α og β i en relativistisk bølgeligning, og forklarte den fine strukturen til hydrogen. Løsningene på ( 3A ) er multikomponent- spinorfelt , og hver komponent tilfredsstiller ( 1 ). Et bemerkelsesverdig resultat av spinorløsninger er at halvparten av komponentene beskriver en partikkel mens den andre halvparten beskriver en antipartikkel ; i dette tilfellet elektron og positron . Dirac-ligningen er nå kjent for å gjelde for alle massive spin-1/2 fermioner . I den ikke-relativistiske grensen gjenopprettes Pauli-ligningen, mens den masseløse saken resulterer i Weyl-ligningen.

Selv om det er et landemerke i kvanteteorien, er Dirac-ligningen bare sant for spin-1/2fermioner, og spår fortsatt negative energiløsninger, som forårsaket kontrovers på den tiden (spesielt - ikke alle fysikere var komfortable med " Dirac -havet " av negative energistater).

1930–60-årene: Relativistisk kvantemekanikk for partikler med høyere spinn

Det naturlige problemet ble klart: å generalisere Dirac -ligningen til partikler med ethvert spinn ; både fermioner og bosoner, og i de samme ligningene deres antipartikler (mulig på grunn av spinorformalismen som Dirac introduserte i sin ligning, og den siste utviklingen i spinorberegning av van der Waerden i 1929), og ideelt sett med positive energiløsninger.

Dette ble introdusert og løst av Majorana i 1932, ved en avvikende tilnærming til Dirac. Majorana regnet som en "rot" av ( 3A ):

${\ displaystyle \ left ({\ frac {E} {c}}+{\ boldsymbol {\ alpha}} \ cdot \ mathbf {p} -\ beta mc \ right) \ psi = 0 \ ,,}$

( 3B )

hvor ψ er et spinorfelt nå med uendelig mange komponenter, ureduserbare til et begrenset antall tensorer eller spinorer, for å fjerne ubestemmeligheten i tegn. De matrisene a og β er uendelig-dimensjonale matriser, relatert til forsvinnende Lorentz transformasjoner . Han krevde ikke at hver komponent i 3B skulle tilfredsstille ligning ( 2 ), i stedet regenererte han ligningen ved hjelp av en Lorentz-invariant handling , via prinsippet om minste handling og anvendelse av Lorentz gruppeteori.

Majorana produserte andre viktige bidrag som var upubliserte, inkludert bølgelikninger av forskjellige dimensjoner (5, 6 og 16). De ble forventet senere (på en mer involvert måte) av de Broglie (1934), og Duffin, Kemmer og Petiau (rundt 1938–1939) se Duffin - Kemmer - Petiau algebra . Formalismen i Dirac - Fierz - Pauli var mer sofistikert enn Majoranas, ettersom spinorer var nye matematiske verktøy i begynnelsen av det tjuende århundre, selv om Majoranas papir fra 1932 var vanskelig å forstå fullt ut; det tok Pauli og Wigner litt tid å forstå det, rundt 1940.

Dirac i 1936, og Fierz og Pauli i 1939, bygde ligninger fra ureduserbare spinorer A og B , symmetriske i alle indekser, for en massiv spinnpartikkel n + ½ for heltall n (se Van der Waerden -notasjon for betydningen av de prikkede indeksene ):

${\ displaystyle p _ {\ gamma {\ dot {\ alpha}}} A _ {\ epsilon _ {1} \ epsilon _ {2} \ cdots \ epsilon _ {n}}^{{\ dot {\ alpha}} { \ dot {\ beta}} _ {1} {\ dot {\ beta}} _ {2} \ cdots {\ dot {\ beta}} _ {n}} = mcB _ {\ gamma \ epsilon _ {1} \ epsilon _ {2} \ cdots \ epsilon _ {n}}^{{\ dot {\ beta}} _ {1} {\ dot {\ beta}} _ {2} \ cdots {\ dot {\ beta}} _ {n}}}$

( 4A )

${\ displaystyle p^{\ gamma {\ dot {\ alpha}}} B _ {\ gamma \ epsilon _ {1} \ epsilon _ {2} \ cdots \ epsilon _ {n}}^{{\ dot {\ beta }} _ {1} {\ dot {\ beta}} _ {2} \ cdots {\ dot {\ beta}} _ {n}} = mcA _ {\ epsilon _ {1} \ epsilon _ {2} \ cdots \ epsilon _ {n}}^{{\ dot {\ alpha}} {\ dot {\ beta}} _ {1} {\ dot {\ beta}} _ {2} \ cdots {\ dot {\ beta} } _ {n}}}$

( 4B )

hvor p er momentumet som en kovariant spinoroperator. For n = 0 reduserer ligningene til de koblede Dirac -ligningene og A og B transformeres sammen som den opprinnelige Dirac -spinoren . Eliminering av enten A eller B viser at A og B hver oppfyller ( 1 ).

I 1941 fokuserte Rarita og Schwinger på spin- 3 ⁄ 2 partikler og avledet Rarita- Schwinger-ligningen , inkludert en Lagrangian for å generere den, og generaliserte senere likningene som er analoge med spin n + ½ for heltall n . I 1945 foreslo Pauli Majoranas papir fra 1932 til Bhabha , som kom tilbake til de generelle ideene som ble introdusert av Majorana i 1932. Bhabha og Lubanski foreslo et helt generelt sett med ligninger ved å erstatte masseordene i ( 3A ) og ( 3B ) med en vilkårlig konstant , underlagt et sett med betingelser som bølgefunksjonene må følge.

Til slutt, i året 1948 (samme år som Feynman 's bane integral formulering ble støpt), Bargmann og Wigner formulert den generelle ligning for store partikler, som kan ha en hvilken som helst spinn, ved å vurdere Diraclikningen med en helt symmetrisk endelig-komponent Spinor , og bruk av Lorentz -gruppeteori (som Majorana gjorde): Bargmann - Wigner -ligningene . På begynnelsen av 1960 -tallet ble det gjort en omformulering av Bargmann - Wigner -ligningene av H. Joos og Steven Weinberg , Joos - Weinberg -ligningen . Ulike teoretikere på dette tidspunktet forsket nærmere på relativistiske Hamiltonians for høyere spinnpartikler.

1960 -tallet - nåtid

Den relativistiske beskrivelsen av spinnpartikler har vært et vanskelig problem i kvanteteorien. Det er fortsatt et område av dagens forskning fordi problemet bare er delvis løst; å inkludere interaksjoner i ligningene er problematisk, og paradoksale spådommer (selv fra Dirac -ligningen) er fremdeles tilstede.

Lineære ligninger

Følgende ligninger har løsninger som tilfredsstiller superposisjonsprinsippet , det vil si at bølgefunksjonene er additive .

Gjennomgående brukes standardkonvensjonene for tensorindeksnotasjon og Feynman -skråstreknotasjon , inkludert greske indekser som tar verdiene 1, 2, 3 for de romlige komponentene og 0 for den tidlignende komponenten i de indekserte størrelsene. Bølgefunksjonene er betegnet ψ , og ∂ _μ er komponentene i firetrinnsoperatoren .

I matriksligninger er Pauli -matrisene betegnet med σ ^μ der μ = 0, 1, 2, 3 , hvor σ ⁰ er 2 × 2 identitetsmatrisen :

${\ displaystyle \ sigma ^{0} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\ end {pmatrix}}}$

og de andre matrisene har sine vanlige representasjoner. Uttrykket

${\ displaystyle \ sigma ^{\ mu} \ partiell _ {\ mu} \ equiv \ sigma ^{0} \ delvis _ {0}+\ sigma ^{1} \ delvis _ {1}+\ sigma ^{2 } \ delvis _ {2}+\ sigma ^{3} \ delvis _ {3}}$

er en 2 × 2 matrise- operatør som virker på 2-komponent spinorfelt .

De gamma matrisene er betegnet med -y ^μ , i hvilket igjen μ = 0, 1, 2, 3 , og det finnes en rekke fremstillinger for å velge fra. Matrisen γ ⁰ er ikke nødvendigvis 4 × 4 identitetsmatrisen . Uttrykket

${\ displaystyle i \ hbar \ gamma ^{\ mu} \ partiell _ {\ mu}+mc \ equiv i \ hbar (\ gamma ^{0} \ partiell _ {0}+\ gamma ^{1} \ delvis _ {1}+\ gamma ^{2} \ partial _ {2}+\ gamma ^{3} \ partial _ {3})+mc {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$

er en 4 x 4 matrise operatør som virker på fire-komponent Spinor felt .

Vær oppmerksom på at begreper som " mc " skalar multipliserer en identitetsmatrise med den relevante dimensjonen , de vanlige størrelsene er 2 × 2 eller 4 × 4 , og er vanligvis ikke skrevet for enkelhets skyld.

Partikkelspinn kvantetall s	Navn	Ligning	Typiske partikler ligningen beskriver
0	Klein - Gordon ligning	${\ displaystyle (\ hbar \ partiell _ {\ mu}+imc) (\ hbar \ delvis ^{\ mu} -imc) \ psi = 0}$	Masseløs eller massiv spin-0 partikkel (for eksempel Higgs bosoner ).
1/2	Weyl ligning	${\ displaystyle \ sigma ^{\ mu} \ delvis _ {\ mu} \ psi = 0}$	Masseløse spin-1/2 partikler.
	Dirac ligning	${\ displaystyle \ left (i \ hbar \ partial \! \! \!/-mc \ right) \ psi = 0}$	Massive spin-1/2 partikler (for eksempel elektroner ).
	To-kropps Dirac-ligninger	${\ displaystyle [(\ gamma _ {1}) _ {\ mu} (p_ {1}-{\ tilde {A}} _ {1})^{\ mu}+m_ {1}+{\ tilde { S}} _ {1}] \ Psi = 0,}$ ${\ displaystyle [(\ gamma _ {2}) _ {\ mu} (p_ {2}-{\ tilde {A}} _ {2})^{\ mu}+m_ {2}+{\ tilde { S}} _ {2}] \ Psi = 0.}$	Massive spin-1/2 partikler (for eksempel elektroner ).
	Majorana ligning	${\ displaystyle i \ hbar \ delvis \! \! \!/\ psi -mc \ psi _ {c} = 0}$	Massive Majorana -partikler .
	Breit ligning	${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partiell \ Psi} {\ delvis t}} = \ venstre (\ sum _ {i} {\ hat {H}} _ {D} (i)+\ sum _ { i> j} {\ frac {1} {r_ {ij}}}-\ sum _ {i> j} {\ hat {B}} _ {ij} \ right) \ Psi}$	To massive spin-1/2 partikler (for eksempel elektroner ) som interagerer elektromagnetisk til første orden i forstyrrelsesteorien.
1	Maxwell -ligninger (i QED ved bruk av Lorenz -måleren )	${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ partial ^{\ mu} A ^{\ nu} = e {\ overline {\ psi}} \ gamma ^{\ nu} \ psi}$	Fotoner , masseløse spin-1 partikler.
	Proca -ligning	${\ displaystyle \ partiell _ {\ mu} (\ delvis ^{\ mu} A ^{\ nu}-\ delvis ^{\ nu} A ^{\ mu})+\ venstre ({\ frac {mc} { \ hbar}} \ høyre)^{2} A^{\ nu} = 0}$	Massiv spin-1 partikkel (som W og Z bosoner ).
3/2	Rarita - Schwinger ligning	${\ displaystyle \ epsilon ^{\ mu \ nu \ rho \ sigma} \ gamma ^{5} \ gamma _ {\ nu} \ delvis _ {\ rho} \ psi _ {\ sigma}+m \ psi ^{\ mu} = 0}$	Massive spin-3/2 partikler.
s	Bargmann - Wigner ligninger	${\ displaystyle (-i \ hbar \ gamma ^{\ mu} \ partiell _ {\ mu}+mc) _ {\ alfa _ {1} \ alpha _ {1} '} \ psi _ {\ alpha' _ { 1} \ alpha _ {2} \ alpha _ {3} \ cdots \ alpha _ {2s}} = 0}$ ${\ displaystyle (-i \ hbar \ gamma ^{\ mu} \ partiell _ {\ mu}+mc) _ {\ alfa _ {2} \ alpha _ {2} '} \ psi _ {\ alpha _ {1 } \ alpha '_ {2} \ alpha _ {3} \ cdots \ alpha _ {2s}} = 0}$ ${\ displaystyle \ qquad \ vdots}$ ${\ displaystyle (-i \ hbar \ gamma ^{\ mu} \ delvis _ {\ mu}+mc) _ {\ alpha _ {2s} \ alpha '_ {2s}} \ psi _ {\ alpha _ {1 } \ alpha _ {2} \ alpha _ {3} \ cdots \ alpha '_ {2s}} = 0}$ hvor ψ er en rang-2 s 4-komponents spinor .	Frie partikler av vilkårlig spinn (bosoner og fermioner).
	Joos - Weinberg ligning	${\ displaystyle [(i \ hbar) ^{2s} \ gamma ^{\ mu _ {1} \ mu _ {2} \ cdots \ mu _ {2s}} \ delvis _ {\ mu _ {1}} \ delvis _ {\ mu _ {2}} \ cdots \ delvis _ {\ mu _ {2s}}+(mc)^{2s}] \ psi = 0}$	Frie partikler av vilkårlig spinn (bosoner og fermioner).

Lineære målerfelt

Den Duffin-Kemmer-Petiau ligning er en alternativ likning for spinn 0 og spin-1 partikler:

${\ displaystyle (i \ hbar \ beta ^{a} \ partiell _ {a} -mc) \ psi = 0}$

Konstruere RWE

Bruk av 4-vektorer og energimomentforholdet

Start med standard spesialrelativitet (SR) 4-vektorer

4-posisjon ${\ displaystyle X^{\ mu} = \ mathbf {X} = (ct, {\ vec {\ mathbf {x}}})}}$

4-hastighet ${\ displaystyle U^{\ mu} = \ mathbf {U} = \ gamma (c, {\ vec {\ mathbf {u}}}))}$

4-momentum ${\ displaystyle P^{\ mu} = \ mathbf {P} = \ left ({\ frac {E} {c}}, {\ vec {\ mathbf {p}}} \ right)}$

4-bølgevektor ${\ displaystyle K^{\ mu} = \ mathbf {K} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {\ mathbf {k}}} \ right)}$

4-gradient ${\ displaystyle \ partial ^{\ mu} = \ mathbf {\ partial} = \ left ({\ frac {\ partiell _ {t}} {c}},-{\ vec {\ mathbf {\ nabla}}} \Ikke sant)}$

Vær oppmerksom på at hver 4-vektor er relatert til en annen av en Lorentz-skalar :

${\ displaystyle \ mathbf {U} = {\ frac {d} {d \ tau}} \ mathbf {X}}$, hvor er den riktige tiden${\ displaystyle \ tau}$

${\ displaystyle \ mathbf {P} = m_ {o} \ mathbf {U}}$, hvor er resten masse${\ displaystyle m_ {o}}$

${\ displaystyle \ mathbf {K} = (1/\ hbar) \ mathbf {P}}$, Som er 4-vektoren versjon av Planck-Einstein forhold og den de Broglie saken bølge relasjon

${\ displaystyle \ mathbf {\ partial} = -i \ mathbf {K}}$, som er den 4-graders versjonen av komplekse verdier av planbølger

Nå er det bare å bruke standard Lorentz skalarproduktregel for hver enkelt:

${\ displaystyle \ mathbf {U} \ cdot \ mathbf {U} = (c)^{2}}$

${\ displaystyle \ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {P} = (m_ {o} c)^{2}}$

${\ displaystyle \ mathbf {K} \ cdot \ mathbf {K} = \ left ({\ frac {m_ {o} c} {\ hbar}} \ right)^{2}}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ partial} \ cdot \ mathbf {\ partial} = \ left ({\ frac {-im_ {o} c} {\ hbar}} \ right)^{2} =-\ left ({ \ frac {m_ {o} c} {\ hbar}} \ høyre)^{2}}$

Den siste ligningen er et grunnleggende kvantforhold.

Når den brukes på et Lorentz -skalarfelt , får man Klein - Gordon -ligningen, den mest grunnleggende av de kvantrelativistiske bølgelikningene. ${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle [\ mathbf {\ partial} \ cdot \ mathbf {\ partiell} +\ venstre ({\ frac {m_ {o} c} {\ hbar}} \ høyre)^{2}] \ psi = 0}$: i 4-vektorformat

${\ displaystyle [\ partiell _ {\ mu} \ delvis ^{\ mu}+\ venstre ({\ frac {m_ {o} c} {\ hbar}} \ høyre) ^{2}] \ psi = 0}$: i tensorformat

${\ displaystyle [(\ hbar \ partial _ {\ mu}+im_ {o} c) (\ hbar \ partial ^{\ mu} -im_ {o} c)] \ psi = 0}$: i fakturert tensorformat

Den Schrödingerligningen er den lav-hastighetsgrensetilfellet ( v  <<  c ) av Klein-Gordon-ligningen .

Når relasjonen brukes på et firvektorfelt i stedet for et Lorentz-skalarfelt , får man Proca-ligningen (i Lorenz-måler ): ${\ displaystyle A^{\ mu}}$${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle [\ mathbf {\ partial} \ cdot \ mathbf {\ partiell} +\ venstre ({\ frac {m_ {o} c} {\ hbar}} \ høyre)^{2}] A^{\ mu } = 0}$

Hvis resten masseterm er satt til null (lyslignende partikler), gir dette den gratis Maxwell-ligningen (i Lorenz-måler )

${\ displaystyle [\ mathbf {\ partial} \ cdot \ mathbf {\ partial}] A^{\ mu} = 0}$

Representasjoner fra Lorentz -gruppen

Under en riktig orthochronous Lorentz transformasjon x → Λ x i Minkowski plass , alle en-partikkel kvantetilstander Y gis ^j _σ av spinn j med spinn z-komponenten σ lokalt omforme under en representasjon D av Lorentz-gruppen :

${\ displaystyle \ psi (x) \ rightarrow D (\ Lambda) \ psi (\ Lambda ^{-1} x)}$

hvor D (Λ) er en endelig dimensjonal representasjon, dvs. en matrise. Her er ψ tenkt på som en kolonnevektor som inneholder komponenter med de tillatte verdiene til σ . Den kvantetall j og σ , så vel som andre etiketter, kontinuerlig eller diskret, som representerer annen kvantetall undertrykkes. En verdi av σ kan forekomme mer enn én gang, avhengig av representasjonen. Representasjoner med flere mulige verdier for j vurderes nedenfor.

De ureduserbare representasjonene er merket med et par halvtall eller heltall ( A , B ) . Fra disse kan alle andre representasjoner bygges opp ved hjelp av en rekke standardmetoder, som å ta tensorprodukter og direkte summer . Spesielt rom-tid i seg selv utgjør en 4-vektor representasjon (1/2, 1/2) slik at Λ ∈ D ' ^{(1/2, 1/2)} . For å sette dette i kontekst; Dirac -spinorer transformerer under (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) representasjon. Generelt er ( A , B ) har representasjon plass underrom at under den undergruppen av romlige rotasjoner , SO (3) , omdanne ugjenkallelig lignende gjenstander av spinn j , hvor hver tillatte verdi:

${\ displaystyle j = A+B, A+B-1, ..., | AB |,}$

skjer nøyaktig en gang. Generelt er tensorprodukter med ureduserbare representasjoner reduserbare; de brytes ned som direkte summer av ureduserbare representasjoner.

Representasjonene D ^{( j , 0)} og D ^{(0, j )} kan hver for seg representere partikler av spin j . En tilstand eller et kvantefelt i en slik representasjon ville ikke tilfredsstille noen feltligning unntatt Klein - Gordon -ligningen.

Ikke-lineære ligninger

Det er ligninger som har løsninger som ikke tilfredsstiller superposisjonsprinsippet.

Ikke -lineære målerfelt

• Yang-Mills ligning : beskriver et ikke-abelsk målefelt
• Yang-Mills-Higgs-ligninger : beskriver et ikke-abelsk målefelt kombinert med en massiv spin-0-partikkel

Spinn 2

• Einstein-feltligninger : beskriv stoffets interaksjon med gravitasjonsfeltet (masseløst spin-2-felt):

${\ displaystyle R _ {\ mu \ nu}-{1 \ over 2} g _ {\ mu \ nu} \, R+g _ {\ mu \ nu} \ Lambda = {8 \ pi G \ over c^{4} } T _ {\ mu \ nu}}$

Løsningen er et metrisk tensorfelt , i stedet for en bølgefunksjon.

Se også

• Liste over ligninger i kjernefysisk og partikkelfysikk
• Liste over ligninger i kvantemekanikk
• Lorentz -transformasjoner
• Matematiske beskrivelser av det elektromagnetiske feltet
  • Kvantisering av det elektromagnetiske feltet
• Minimal kobling
• Skalarfeltteori
• Status for spesiell relativitet

Referanser

Videre lesning